Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Definicja: Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $α$ . Wprowadzimy nazwy stosunków długości boków tego trójkąta.

R1YPlNgbkD7Kt1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a.

$Sinusem$ kąta ostrego $α$ (w skrócie sin $α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przeciwprostokątnej.
$Cosinusem$ kąta ostrego $α$ (w skrócie cos $α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ do długości przeciwprostokątnej.
$Tangensem$ kąta ostrego $α$ (w skrócie $tgα$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ .
R11IrucBqLrHi1
Animacja prezentuje definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. Kąt 90 minus alfa leży naprzeciw przyprostokątnej b. Zmieniając długości boków trójkąta lub miarę kąta alfa, obliczamy zgodnie z definicją sinus, cosinus i tangens kąta alfa i kąta 90 minus alfa.
Animacja prezentuje definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. Kąt 90 minus alfa leży naprzeciw przyprostokątnej b. Zmieniając długości boków trójkąta lub miarę kąta alfa, obliczamy zgodnie z definicją sinus, cosinus i tangens kąta alfa i kąta 90 minus alfa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DtTIRqwDI

Korzystając z oznaczeń na rysunku, zapisujemy
$sinα = \frac{a}{c}, cosα = \frac{b}{c}, tgα = \frac{a}{b} .$
Powyższe zależności nazywa się funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego $α .$

Przykład 1

Rt2HVcYJpyExY1

RbhpO5VcRPPpV1

Uwaga!

Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego kąta ostrego $α$

sinα > 0, cosα > 0 .

Ponadto, w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, zatem dla dowolnego kąta ostrego $α$

sinα < 1, cosα < 1 .

Twierdzenie: 1

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwe są nierówności:

0 < sinα < 1

0 < cosα < 1 .

Uwaga!

Jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę $α$ , to drugi kąt ostry w tym trójkącie ma miarę $90 ° - α$ . Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, zapisujemy