Przykłady

Przykład 1

Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w poprzednich przykładach, uzupełnimy tabelkę, wpisując wartości sinusa, cosinusa i tangensa kątów: $30 °$ , $45 °$ , $60 °$ .

Tabela 0.1
$α$	$30 °$	$45 °$	$60 °$
$sinα$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cosα$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tgα$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Przykład 2

Trójkąt na rysunku jest prostokątny.

RdceORbDTzWF81

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 8 i 15 oraz przeciwprostokątnej długości 17. Kąt alfa leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej.

Dla tego trójkąta zachodzą następujące związki trygonometryczne:

sinα = \frac{8}{17}, cosα = \frac{15}{17}, tgα = \frac{8}{15}

oraz

\sin (90 ° - α) = \frac{15}{17}, \cos (90 ° - α) = \frac{8}{17}, tg (90 ° - α) = \frac{15}{8} .

Przykład 3

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $α$ , przyprostokątna leżąca naprzeciw tego kąta ma długość $5$ , a druga przyprostokątna ma długość $4$ . Wtedy

tgα = \frac{5}{4} .

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej $c$ tego trójkąta

c^{2} = 4^{2} + 5^{2} .

Ponieważ $c > 0,$ stąd

c = \sqrt{41 .}

Zatem

sinα = \frac{5}{\sqrt{41}}, cosα = \frac{4}{\sqrt{41}},

czyli

sinα = \frac{5 \sqrt{41}}{41}, cosα = \frac{4 \sqrt{41}}{41} .

Ri9PAUbO3uGa71

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 5 i 4, przeciwprostokątnej równej c. Kąt ostry leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej.

Przykład 4

Obliczymy wartość wyrażenia

\frac{2 \sin 42 ° + 3 \cos 48 °}{5 \cos 48 ° - 4 \sin 42 °} .

Zauważmy, że

42 ° + 48 ° = 90 ° .

Wobec tego

\cos 48 ° = \cos (90 ° - 42 °) = \sin 42 °,

a zatem

\frac{2 \sin 42 ° + 3 \cos 48 °}{5 \cos 48 ° - 4 \sin 42 °} = \frac{2 \sin 42 ° + 3 \sin 42 °}{5 \sin 42 ° - 4 \sin 42 °} = \frac{5 \sin 42 °}{\sin 42 °} = 5 .

Przykład 5

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = \frac{2}{3}$ . Znajdziemy wartości $cosα$ i $tgα$ .
Wystarczy w tym celu rozpatrzyć dowolny trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\frac{2}{3}$ . Najprostszym przykładem jest trójkąt o przeciwprostokątnej długości $3$ i jednej z przyprostokątnych długości $2$ . Kąt $α$ leży wtedy naprzeciwko tej przyprostokątnej.

R1DmJdkWuu35U1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 2 i b, przeciwprostokątnej równej 3. Kąt ostry leży naprzeciw przyprostokątne równej 2.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość $b$ drugiej przyprostokątnej

2^{2} + b^{2} = 3^{2} .

Ponieważ $b > 0$ , stąd

b = \sqrt{5 .}

Zatem

cosα = \frac{\sqrt{5}}{3}, tgα = \frac{2}{\sqrt{5}},

czyli

tgα = \frac{2 \sqrt{5}}{5} .

Przykład 6

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $cosα = \frac{2}{5}$ , to $α > 60 °$ .
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym $|AC| = 2$ i $|AB| = 5$ . Wtedy $\cos (∡ BAC) = \frac{2}{5}$ , co oznacza, że miary kątów $|∡ BAC|$ i $α$ są równe.

R1SLyS87LwMgA1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C, w którym przeciwprostokątna AB = 5, przyprostokątna leżąca przy kącie alfa AC =2.

Wybierzmy na przyprostokątnej $BC$ taki punkt $D$ , że $|AD| = 4$ .

RBGXOAgdynGik1

Rysunek trójkątów prostokątnych A B C i A D C, gdzie AB =5, AD =4, AC =2 i kąt DAC =60 stopni.

Wówczas $\cos (∡ DAC) = \frac{2}{4}$ , czyli $\cos (∡ DAC) = \frac{1}{2}$ , więc $|∡ DAC| = 60 °$ . Ponieważ $|∡ DAC| < |∡ BAC|$ , to $60 ° < α$ . Koniec dowodu.
Uwaga. Zestaw wzorów, przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki, zawiera tablicę wartości funkcji trygonometrycznych. Można z niej odczytać, że $\cos 68 ° \approx 0,4040$ i $\cos 69 ° \approx 0,3839$ . Wynika stąd, że kąt ostry $α$ , dla którego $cosα = 0,4$ , jest kątem z przedziału $(68 °, 69 °)$ .

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

Zadania. Część I