Zadania. Część I

Ćwiczenie 1

Na rysunku zaznaczono długości boków trójkąta prostokątnego. Jeden z kątów ostrych tego trójkąta ma miarę $α$ .

RxVxOs06a1DhZ1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 5 i 12 oraz przeciwprostokątnej długości 13. Kąt ostry alfa leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej.

Wówczas

RAY9kfnAenN8W

$sinα = \frac{5}{13}$
$13 cosα = 12$
$tgα > 1$

Ćwiczenie 2

Jeżeli $α = 30 °$ i $β = 45 °$ , to

RYk5v71lqO1Os

$\sin α + sinβ = \frac{3}{4}$
$cosα \cdot cosβ = \frac{\sqrt{6}}{4}$
$\sqrt{3} \cdot tgα = tgβ$

Ćwiczenie 3

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $4$ i $7$ , a mniejszy z kątów ostrych ma miarę $α$ . Wówczas

R171GckGcuwBD

$cosα = \frac{7}{\sqrt{65}}$
$\cos (90 ° - α) = \frac{4}{11}$
$tg (90 ° - α) < 2$

Ćwiczenie 4

Jeżeli $α = 49 °$ , to

R1AgWdzsAbBXm

$tgα > 1$
$sinα > \frac{1}{2}$
$cosα > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ćwiczenie 5

Prawdziwa jest równość

RAKURaPJni3wl

$\cos 51 ° = \sin 59 °$
$\sin 12 ° = \cos 78 °$
$tg 65 ° \cdot tg 25 ° = 1$

Ćwiczenie 6

Kąt $α$ jest ostry oraz $sinα = 0,1$ . Wówczas

R1GjM9IcFAi5P

$cosα > 0,9$
$tgα < \frac{1}{11}$
$tgα \cdot cosα < 0,1$

Ćwiczenie 7

Kąt $α$ jest ostry oraz $cosα = \sin 38 °$ . Wynika z tego, że

RwiD7j0gS5wPZ

$sinα = \cos 38 °$
$α > 60 °$
$tg α > 1$

Ćwiczenie 8

W trójkącie prostokątnym kąty ostre $α$ i $β$ spełniają zależność $α = 4 β$ . Wówczas

RIvlZiiF35jeO

$\sin α > tg β$
$\cos α + \sin β < 1$
$\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β = 1$

Ćwiczenie 9

W trójkącie równoramiennym $ABC$ podstawa $AB$ ma długość $30$ , a każde z ramion ma długość $25$ . Oznaczmy miary kątów $ABC$ i $ACB$ odpowiednio przez $α$ i $2 β$ . Wtedy

R1NCmj0krD3aF

$cosα = 0,6$
$sinβ = 0,96$
$tgα \cdot tgβ = 1$

Ćwiczenie 10

W trapezie prostokątnym $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ są proste. Bok $AD$ jest dwa razy dłuższy od boku $CD$ i trzy razy krótszy od boku $AB$ . Wtedy

RvC2ZujqEjW55

tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy $\frac{2}{5}$
miara kąta ostrego tego trapezu jest równa $45 °$
kąt rozwarty tego trapezu ma miarę mniejszą od $150 °$

Ćwiczenie 11

Na rysunku podano długości boków i zaznaczono kąt ostry $α$ trójkąta prostokątnego.

RTmsgnfWwpz8u1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 8 i 15 oraz przeciwprostokątnej długości 17. Kąt ostry alfa leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej.

Wtedy

RK7aWqMIzscxQ

$tgα = \frac{8}{17}$
$tgα = \frac{15}{17}$
$tgα = \frac{8}{15}$
$tgα = \frac{15}{8}$

Ćwiczenie 12

Na rysunku podano długości dwóch boków i zaznaczono kąt ostry trójkąta prostokątnego.

R1Z4CyOsUpuDv1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości 6 i przeciwprostokątnej długości 10. Kąt ostry alfa leży między podanymi bokami.

Wtedy

R10lrVl05QGhg

$\sin (90 ° - α) = \frac{3}{5}$
$\sin (90 ° - α) = \frac{4}{5}$
$\sin (90 ° - α) = \frac{3}{4}$
$\sin (90 ° - α) = \frac{2}{3}$

Ćwiczenie 13

Na rysunku podane są długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, którego jeden z kątów ostrych jest równy $α$ .

R1VW6oRRmYwGu1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 5 i dwa pierwiastki z pięciu. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej długości dwa pierwiastki z pięciu.

Wówczas

RsXupBGWuHAvs

$sinα = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$sinα = \frac{2}{3}$
$sinα = \frac{\sqrt{5}}{3}$
$sinα = \frac{3}{2 \sqrt{5}}$

Ćwiczenie 14

Liczba $\frac{\sqrt{2} ∙ tg 60 ° + \sqrt{3} \cos 45 °}{\sin 30 °}$ jest równa

R1DxupcBUXZ6J

$\frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{2}$
$6 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{6}$
$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}}{3}$

Ćwiczenie 15

Kąt $α$ jest ostry i $tgα = \frac{2}{3}$ . Wtedy

RqTql2LN5vi1X

$α < 45 °$
$α = 45 °$
$α = 60 °$
$α < 60 °$

Ćwiczenie 16

W trójkącie prostokątnym dane są kąty ostre $α = 28 °$ i $β = 62 °$ . Wtedy $\frac{cosα + sinβ}{sinβ - 3 cosα}$ równa się

RgsXSgdWxbRdb

$2$
$- 2$
$1$
$- 1$

Przykłady

Zadania. Część II