Jakie zasługi w badaniu wielokątów gwiaździstych miał Jan Brożek, profesor Akademii Krakowskiej?

Każdy zajmujący się matematyką czy jej historią, zna postać francuskiego matematyka Pierre de Fermata. Ale niewielu zdaje sobie sprawę, że jedno z podstawowych twierdzeń teorii liczb, tzw. małe twierdzenie Fermata, zostało sformułowane wcześniej przez wybitnego polskiego matematyka, żyjącego w latach 1585 – 1652, profesora Akademii Krakowskiej, a w latach 1632 – 1652 proboszcza parafii w Staszowie - Jana Brożka. To słynne twierdzenie sformułował on na 42 lata przed Fermatem i podobnie jak Fermat, zajmował się wielokątami foremnymi gwiaździstymi.

Dla danego $n$-kąta foremnego możemy rozważyć łamaną zamkniętą o $n$ wierzchołkach, utworzoną z tych przekątnych tego wielokąta, które mają równą długość - otrzymujemy wówczas wielokąt foremny gwiaździsty.

Najbardziej znanym wielokątem foremnym gwiaździstym jest pentagram (patrz rysunek).

Rb22UJpAGMgDF1

Ilustracja przedstawia pięciokąt gwiaździsty, który jak wskazuje jego nazwa, jest w kształcie pięcioramiennej gwiazdy. Figura ta jest pięciokątem foremnym, którego boki stanowią podstawy trójkątów równoramiennych. Na każdym z boków pięciokąta oparto identyczny trójkąt, uzyskując figurę w kształcie foremnej gwiazdy.

To właśnie Jan Brożek nazwał kąty przy wierzchołkach wielokąta gwiaździstego kątami sterczącymi. Brożek podał sposób kreślenia różnych wielokątów gwiaździstych dla danej liczby wierzchołków $n$. Temu celowi służy odpowiedni rozkład liczby $n$ na składniki. Liczba możliwych do zbudowania różnych pięciokątów jest równa $2$, ponieważ liczbę $5$ możemy rozłożyć, z dokładnością do kolejności, na następujące dwie sumy: $5=1+4=2+3$. Oznacza to, że po podzieleniu okręgu na $5$ równych części otrzymamy: pięciokąt foremny, gdy połączymy kolejne punkty podziału oraz pięciokąt gwiaździsty, gdy połączymy co drugi z takich punktów (co drugi wierzchołek pięciokąta foremnego).