O dowodzeniu twierdzeń

Geometria przez setki, a nawet tysiące lat opierała się na wyciąganiu wniosków z kilku przesłanek zwanych aksjomatami i na intuicyjnym rozumieniu niektórych pojęć, takich jak punkt, czy prosta. Ostatnie dwieście lat to czas, gdy matematycy próbują zaksjomatyzować niemal wszystko. Niewykluczone, że w praktyce szkolnej zdarzyło Ci się  spotkać z aksjomatyczną definicją rachunku prawdopodobieństwa. Podejmując studia na kierunkach ścisłych czy technicznych, niemal na początku poznasz  aksjomaty teorii mnogości, a nawet aksjomatyczną definicję liczb naturalnych. Ale matematyka nie tkwi w owych aksjomatach, które można przyjmować w różnym kształcie, ale w ścisłym, uporządkowanym i logicznie konsekwentnym wyciąganiu wniosków, które mają wykazać, czyli dowieść prawdziwości wypowiadanych zdań. To wyciąganie wniosków, na podstawie przyjętych założeń, jest często określane jako dowodzenie. Byłoby trudne takie realizowanie procesu kształcenia matematycznego, w którym na przykład zdobywanie wiedzy i umiejętności z geometrii byłoby od początku do końca oparte o aksjomaty Euklidesa i wprowadzone przez niego pojęcia pierwotne oraz przyjęte, znane z logiki formalnej, zasady dowodzenia. Ograniczenia wynikają nie tylko z czasu, jaki należałoby na to poświęcić, a którego „zawsze” brakuje, ale także z relacji między intuicją, związaną z kształtowaniem pewnych pojęć już od lat dziecinnych, a formalizmem, który jest czymś naturalnym dla naukowca zajmującego się daną dziedziną. Rozwiązywanie problemów np. związanych z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa, nie wymaga od nas pogłębionej refleksji dotyczącej znajomości dowodu tego twierdzenia – tym samym niektórzy adepci szkolnej matematyki korzystają z tego narzędzia nawet wówczas, gdy nigdy z jego dowodem się nie spotkali. Co więcej ich rozwiązania przez nikogo nie będą kwestionowane, bowiem pewne fakty przyjmuje się jako powszechnie znane i jednym z takich faktów jest z pewnością relacja znana pod nazwą twierdzenia Pitagorasa.