O konstrukcjach klasycznych inaczej

Nie będzie nadużyciem stwierdzenie, że geometria starożytna, to geometria cyrkla i linijki. Do dzisiaj stosujemy metody kreślenia symetralnych, dwusiecznych czy stycznych do okręgu, które były zaproponowane blisko trzy tysiące lat temu. Ale tak, jak matematycy próbowali ograniczyć liczbę aksjomatów zaproponowanych przez Euklidesa, tak samo próbowali rozstrzygnąć, czy możliwe jest wyznaczanie określonych obiektów geometrycznych, o zadanych własnościach, dysponując ograniczonym do minimum zestawem narzędzi. Okazało się, o czym mówi twierdzenie Ponceleta-Steinera, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Co więcej, jeśli przez konstrukcję będziemy rozumieli tylko wyznaczanie punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii, to każda konstrukcja wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, jest wykonalna także za pomocą samego cyrkla (twierdzenie Mohra-Mascheroniego). Te w pewien sposób wyjątkowe konstrukcje zilustrujemy kreśląc styczne do okręgu przez punkt leżący poza okręgiem. Poniżej opisane są kolejne etapy konstrukcji i narysowany jest odpowiedni model.

• Z danego punktu kreślimy dwie sieczne wyznaczające na okręgu cięciwy o różnej długości.

• Otrzymane punkty wyznaczają czworokąt, w którym prowadzimy przekątne oraz przedłużamy, aż do przecięcia, boki czworokąta.

• Przez punkt przecięcia przekątnych i punkt przecięcia prostych zawierających boki (różne od siecznych) prowadzimy prostą – punkty wspólne tej prostej i danego okręgu są punktami styczności dla szukanych stycznych.

• Prowadzimy szukane styczne.

RDUiSUEciXg6I

Ilustracja przedstawia okrąg oraz narysowane linią przerywaną dwie proste przecinające się w punkcie w górnej części rysunku. Proste te przecinają okrąg, tworząc dwie cięciwy o równej długości. W prawej części rysunku linią przerywaną narysowano dwie kolejne proste przecinające się tak, że przecinają one okrąg i tworzą dwie różnej długości cięciwy. Mamy więc cztery cięciwy i cztery punkty przez nie wyznaczone znajdujące się na okręgu. Cięciwy te wyznaczają czworokąt znajdujący się wewnątrz okręgu. Linią przerywaną poprowadzono przekątne czworokąta. Zaznaczono punkt przecięcia przekątnych. Przez punkt przecięcia prostych biegnących od prawej strony i przez punkt przecięcia przekątnych czworokąta linią przerywaną poprowadzono prostą. Punkty, w których ta prosta przecina okrąg to punkty styczności z dwiema stycznymi do okręgu prostymi, które przecinają się w punkcie przecięcia prostych biegnących z górnej części rysunku.