Przeczytaj

Styczna do okręgu

Przypomnijmy, że styczna i promień okręgu poprowadzony do punktu styczności są wzajemnie prostopadłe. Fakt ten będzie podstawą konstrukcjikonstrukcje klasycznekonstrukcji przeprowadzanych w trakcie tej lekcji.

styczna przez punkt na okręgu

Przykład 1

Styczna przechodząca przez punkt na okręgu

Rozważmy okrąg o środku $O_{1}$ i promieniu $r_{1}$ i punkt $P$ leżący na tym okręgu. Naszym zadaniem będzie wykreślenie stycznej do danego okręgu, dla której punkt $P$ będzie punktem styczności.

Rozwiązanie

Prowadzimy promień $O_{1} P$ . Naszym zadaniem jest wykreślenie prostej prostopadłej do tego promienia przechodzącej przez $P$ . W tym celu prowadzimy prostą $O_{1} P$ . Z punktu $P$ zakreślamy okrąg o promieniu równym $O_{1} P$ i na przecięciu z prostą otrzymujemy punkt $S \neq P$ . Pozostaje skonstruować symetralną odcinka $O_{1} S$ . Z punktów $O_{1}$ i $S$ kreślimy łuki o jednakowym promieniu, aż do ich przecięcia po obu stronach prostej $O_{1} P$ . Przez punkty przecięcia się łuków prowadzimy symetralną odcinka $O_{1} S$ , która jest szukaną styczną.

RRhD6ztxb1UOT

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O indeks dolny jeden. Na okręgu wyróżniono punkt P. Przez środek okręgu i punkt poprowadzono linią przerywaną prostą, na której poza okręgiem leży również punkt S. Odcinek O indeks dolny 1 koniec indeksu P jest promieniem okręgu. Przez punkt P poprowadzono prostopadłą do promienia prostą, którą wyznaczono konstrukcyjnie. Prosta ta jest styczna do okręgu, a punkt P jest punktem styczności. — Styczna przez punkt na okręgu

Uwaga!

Powyższa, doskonale znana konstrukcja symetralnej odcinka nie będzie każdorazowo opisywana przy rozwiązywaniu kolejnych zadań – będziemy wówczas mówili krótko, że prowadzimy symetralną. Podobnie z prostą równoległą – gdyby naszym zadaniem było wykreślenie równoległej do naszej stycznej i przechodzącej przez punkt $S$ , to moglibyśmy powtórzyć konstrukcję symetralnej dla odcinka leżącego na prostej $O_{1} P$ , którego punkt $S$ byłby środkiem. Tym samym często będziemy mówić o poprowadzeniu równoległej, bez formalnego opisu tej części konstrukcji.

Przykład 2

Styczna przechodząca przez punkt poza okręgiem

Teraz naszym zadaniem będzie wykreślenie stycznej do danego okręgu, przechodzącej przez punkt $P$ leżący poza okręgiem. Rozważmy okrąg o środku $O_{1}$ i promieniu $r_{1}$ i punkt $P$ leżący na zewnątrz okręgu. Rozwiązanie Prowadzimy odcinek $O_{1} P$ i wyznaczamy jego środek – $S$ . Z punktu $S$ kreślimy okrąg o promieniu równym $O_{1} S$ i otrzymujemy punkty $A$ i $B$ . Przez punkty $A$ i $P$ oraz $B$ i $P$ prowadzimy proste, które są szukanymi stycznymi.

RA3kyVGB0iaOd

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O indeks dolny jeden. Po prawej stronie okręgu narysowano dwie proste przecinające się w punkcie P. Prosta w górnej części rysunku jest styczna do okręgu w punkcie A, prosta leżąca w dolnej części rysunku jest styczna do okręgu w punkcie B. Poprowadzono dwa promienie okręgu rozpinające kąt rozwarty. Promienie te to: O indeks dolny jeden A oraz O indeks dolny 1 B. Ze środka okręgu linią przerywaną poprowadzono odcinek O indeks dolny 1 P, który jest średnicą okręgu pomocniczego. Na środku tej średnicy zaznaczono punkt S, następnie linią przerywaną wykreślono okrąg pomocniczy. — Styczna przez punkt poza okręgiem

Zauważmy, że poprawność konstrukcji wynika z faktu, że trójkąt wpisany w okrąg i rozpięty na średnicy jest trójkątem prostokątnym.

Styczna do dwóch danych okręgów

Zanim zajmiemy się konstrukcją stycznych do dwóch danych okręgów, zastanówmy się nad następującymi kwestiami:

Czy zawsze jest możliwe poprowadzenie stycznych do dwóch danych okręgów?

Czy liczba stycznych do dwóch danych okręgów zależy od wzajemnego ich położenia?

Przyjrzyjmy się poniższym rysunkom.

Przypadek 1

Ren9NElHa4Zbj

Ilustracja przedstawia większy okrąg, wewnątrz którego narysowano mniejszy okrąg. Obie figury są rozłączne. Linią przerywaną poprowadzono styczną do mniejszego okręgu, która przecina większy okrąg, zatem jest ona sieczną większego okręgu. — Okrąg leży wewnątrz drugiego

Zauważmy, że w sytuacji, gdy jeden okrąg leży wewnątrz drugiego okręgu, to każda styczna do okręgu wewnętrznego musi być sieczną okręgu leżącego na zewnątrz. Dlatego w takiej sytuacji nie istnieje prosta, która byłaby styczna do obu okręgów jednocześnie.

Przypadek 2

RRPbYqydVlJFi

Ilustracja przedstawia dwa okręgi styczne wewnętrznie o różnej wielkości. W punkcie ich styczności linią przerywaną poprowadzono styczną, która jest styczną obu tych okręgów jednocześnie. — Okręgi styczne wewnętrznie

Zauważmy, że w sytuacji, gdy okręgi są styczne wewnętrznie, to jedynie prosta przechodząca przez punkt styczności obu okręgów może być styczna do obu okręgów jednocześnie. Bezpośrednio z własności stycznej wynika, że jest ona prostopadła do prostej łączącej środki obu okręgów.

Przypadek 3

RwkMuTFeIPz19

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi przecinające się. Linią przerywaną poprowadzono dwie półproste o wspólnym początku rozpinające kąt ostry, będące stycznymi okręgów. Punkty styczności zarówno przy jednej jak i drugiej półprostej są różne, to znaczy punkty przecięcia znajdują się pomiędzy punktem styczności jednego okręgu i drugiego okręgu z daną półprostą.

Jeśli okręgi przecinają się w dwóch różnych punktach, to istnieją dwie proste, które byłyby styczne do obu okręgów jednocześnie. Pozostaje zauważyć, że są one symetryczne względem prostej łączącej środki obu okręgów.

Przypadek 4

R1KC7VcT4bopa

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi styczne zewnętrznie. Linią przerywaną narysowano trzy styczne tych okręgów: jedna ze stycznych przebiega przez punkt styczności okręgów, druga przebiega w górnej części okręgów i jest styczna do każdego okręgu w innym punkcie, trzecia przebiega analogicznie jak druga, przy czym biegnie ona w dolnej części rysunku.

Zauważmy, że w sytuacji, gdy okręgi są styczne zewnętrznie, to zarówno prosta przechodząca przez punkt styczności obu okręgów może być styczna do obu okręgów jednocześnie, jak również dwie proste poprowadzone analogicznie, jak w przypadku okręgów przecinających się w dwóch różnych punktach. Istnieją zatem trzy różne proste, które są jednocześnie styczne do obu okręgów, przy czym jedna z nich jest prostopadła do prostej łączącej środki obu okręgów, a dwie pozostałe są symetryczne względem prostej łączącej środki obu okręgów.

Przypadek 5

RFmSkXQESYhWH

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi rozłączne zewnętrznie ustawione obok siebie. Linią przerywaną poprowadzono 4 styczne tych okręgów. Pierwsza styczna biegnie w górnej części rysunku, druga w dolnej, trzecia biegnie ukośnie pomiędzy okręgami od lewej do prawej strony, a czwarta styczna biegnie również między okręgami od prawej do lewej strony rysunku.

Zauważmy, że w sytuacji, gdy okręgi są wzajemnie zewnętrzne, to istnieją cztery różne styczne, parami symetryczne względem prostej łączącej środki obu tych okręgów. Dwie z tych stycznych, te których punkt przecięcia leży na odcinku łączącym środki obu okręgów, noszą nazwę stycznych wewnętrznych, a dwie pozostałe to styczne zewnętrzne.

Konstrukcja stycznych do danych, wzajemnie stycznych, okręgów, poprowadzonych w punkcie ich styczności, sprowadza się do wykreślenia odcinków prostopadłych przechodzących przez dany punkt. Dlatego pominiemy ich opis i zaproponujemy ich samodzielne wykonanie w ramach ćwiczeń.

Przykład 3

Styczna zewnętrzna do dwóch okręgów

My w tym miejscu zajmiemy się konstrukcją stycznych zewnętrznych do okręgów, gdy okręgi nie mają punktów wspólnych i są wzajemnie zewnętrzne, a ich promienie są różne.

RXAPUiOCCLNP6

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi rozłączne zewnętrznie. Okrąg z lewej strony jest większy, ma środek w punkcie O indeks dolny 1 i promień r indeks dolny 1, prawy, mniejszy okrąg ma środek w punkcie O indeks dolny 2 i promień r indeks dolny dwa. Narysowano dwie styczne do obu okręgów jednocześnie: jedną na górze rysunku, drugą na dole. Linią przerywaną wykreślono okrąg przebiegający przez środki obu wyjściowych okręgów. Środek trzeciego okręgu znajduje się w punkcie S leżącym pomiędzy dwoma wyjściowymi okręgami. Następnie linią przerywaną poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku S. Styczne te są styczne do trzeciego okręgu w punkcie O indeks dolny jeden. Pierwsza styczna przecina górną styczną dwóch okręgów w punkcie P, druga styczna przecina dolną styczną dwóch wyjściowych okręgów w punkcie Q. Wewnątrz większego okręgu narysowano mniejszy okrąg współśrodkowy o promieniu r indeks dolny 1 odjąć r indeks dolny dwa. Zaznaczono punkty przecięcia tego okręgu ze stycznymi okręgu o środku S. Punkty te opisano literami A oraz B. Mamy więc styczną do okręgu o środku S przebiegającą przez punkty P A O indeks dolny 1 oraz drugą styczną przebiegającą przez punkty Q B O indeks dolny jeden. Poprowadzono również proste przebiegające przez następujące punkty: pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz O indeks dolny 2, druga przez punkty O indeks dolny 1 oraz S oraz O indeks dolny 2, trzecia prosta przez punkty B oraz O indeks dolny dwa.

Opis konstrukcji:

Przez punkty $O_{1}$ , $O_{2}$ prowadzimy prostą.
Ze środka $O_{1}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $r_{1} - r_{2}$ , gdzie $r_{1} > r_{2}$ .
Wyznaczamy środek odcinka $O_{1} O_{2}$ - oznaczamy go przez $S$ .
Z punktu $S$ kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym połowie odległości $|O_{1} O_{2}|$ – oznaczamy przez $A$ i $B$ punkty wspólne obu dorysowanych pomocniczych okręgów.
Przez punkty odpowiednio $A$ i $O_{2}$ oraz $B$ i $O_{2}$ kreślimy proste – otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu $r_{1} - r_{2}$ .
Prowadzimy odpowiednio proste $O_{1} A$ oraz $O_{1} B$ , które przecinają okrąg o promieniu $r_{1}$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ .
Kreślimy proste równoległe odpowiednio do prostych $A O_{2}$ i $B O_{2}$ oraz przechodzące przez punkty odpowiednio $P$ , $Q$ .

Dla dowodu poprawności konstrukcji należy zauważyć, że trójkąt $O_{1} A O_{2}$ jest wpisany w okrąg, dla którego odcinek $O_{1} O_{2}$ jest średnicą – oznacza to, że kąt $O_{1} A O_{2}$ jest prosty. Prosta równoległa do $A O_{2}$ jest prostopadła do promienia $O_{1} P$ - stąd punkt $P$ jest punktem styczności. Pozostaje teraz skorzystać z faktu, że odległość prostej poprowadzonej przez punkt $P$ , od środka $O_{2}$ jest równa $r_{2}$ , co oznacza, że jest ona styczna do tego okręgu.

Słownik

konstrukcje klasyczne

konstrukcje klasyczne lub platońskie, to wyznaczanie pewnych obiektów (figur) geometrycznych na płaszczyźnie przy użyciu cyrkla i liniału, czyli linijki bez podziałki

Wprowadzenie

Aplet