Uruchom aplet i przeanalizuj konstrukcję wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów.
Zapoznaj się z apletem i przeanalizuj konstrukcję wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów.
R1Q8JT8oEM9uV
Aplet przedstawia dwa okręgi pierwszy z nich o środku O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, drugi z nich o środku O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Aplet daje nam możliwość ustawienia położenia punktu O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i wartości r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Ustawiając wartość r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego równą dwa i odsuwając okrąg o srodku O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego od okręgu pierwszego otrzymujemy dwa okręgi, które nie posiadają żadnych punktów wspólnych. W kroku pierwszym ze środka okręgu O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Okrąg ten jest na tyle duży że przecina się z okręgiem drugim w dwóch punktach. Następnie ze środka odcinka O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym połowie odległości wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej. Na rysunku pojawia się przerywana prosta przechodząca przez punkty O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego oraz okrąg zaznaczony również linią przerywaną, którego środek leży na tej prostej pomiędzy środkami okręgu pierwszego i drugiego. W kolejnym kroku zaznaczamy przez punkty A i B punkty wspólne dorysowanych okręgów. Zatem punkt A leży powyżej okręgu pierwszego i drugiego w miejscu przecięcia dorysowanych okręgów, a punkt B leży poniżej pierwszego i drugiego okręgu w miejscu przecięcia się dorysowanych okręgów. Przez punkty odpowiednio A i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i B i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego kreślimy proste - otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Na rysunku zaznaczono je linią ciągłą. Następnie kreślimy półproste O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego A oraz O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego B. Półproste te zaznaczono liniami przerywanymi. Kolejno wyznaczamy punkty przecięcia C i D półprostych O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego A oraz O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego B z okręgiem o środku O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Następnie przez punkt C prowadzimy prostą równoległą do prostej O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego A i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do prostej O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego B. Otrzymane proste są styczne do podanych okręgów. Ustawiając okręgi w taki sposób, że będą się na siebie nachodzić wyświetla się komunikat: Brak stycznych wewnętrznych! I nie na możliwości przeprowadzenia powyższych kroków.
Aplet przedstawia dwa okręgi pierwszy z nich o środku O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, drugi z nich o środku O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Aplet daje nam możliwość ustawienia położenia punktu O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i wartości r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Ustawiając wartość r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego równą dwa i odsuwając okrąg o srodku O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego od okręgu pierwszego otrzymujemy dwa okręgi, które nie posiadają żadnych punktów wspólnych. W kroku pierwszym ze środka okręgu O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Okrąg ten jest na tyle duży że przecina się z okręgiem drugim w dwóch punktach. Następnie ze środka odcinka O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym połowie odległości wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej. Na rysunku pojawia się przerywana prosta przechodząca przez punkty O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego oraz okrąg zaznaczony również linią przerywaną, którego środek leży na tej prostej pomiędzy środkami okręgu pierwszego i drugiego. W kolejnym kroku zaznaczamy przez punkty A i B punkty wspólne dorysowanych okręgów. Zatem punkt A leży powyżej okręgu pierwszego i drugiego w miejscu przecięcia dorysowanych okręgów, a punkt B leży poniżej pierwszego i drugiego okręgu w miejscu przecięcia się dorysowanych okręgów. Przez punkty odpowiednio A i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i B i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego kreślimy proste - otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Na rysunku zaznaczono je linią ciągłą. Następnie kreślimy półproste O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego A oraz O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego B. Półproste te zaznaczono liniami przerywanymi. Kolejno wyznaczamy punkty przecięcia C i D półprostych O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego A oraz O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego B z okręgiem o środku O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Następnie przez punkt C prowadzimy prostą równoległą do prostej O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego A i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do prostej O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego B. Otrzymane proste są styczne do podanych okręgów. Ustawiając okręgi w taki sposób, że będą się na siebie nachodzić wyświetla się komunikat: Brak stycznych wewnętrznych! I nie na możliwości przeprowadzenia powyższych kroków.
Polecenie 2
Dane są okręgi o promieniach , których odległość środków jest równa . Wykreśl styczne wewnętrzne do tych okręgów.
Opis konstrukcji:
Prowadzimy prostą i zaznaczamy na niej punkty odległe o .
Ze środka kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu .
Ze środka kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu .
Ze środka kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu .
Ze środka odcinka kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym – oznaczamy przez i punkty wspólne dorysowanych okręgów.
Przez punkty odpowiednio i oraz i kreślimy proste – otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu .
Kreślimy proste równoległe odpowiednio do prostych i oraz przechodzące przez punkty odpowiednio i .
Polecenie 3
Dane są okręgi o promieniach , których odległość środków jest równa . Wyznacz odległość punktu przecięcia się stycznych wewnętrznych do tych okręgów od punktu .
Zauważmy, że promienie poprowadzone do punktów styczności na wspólnej stycznej są równoległe. Z twierdzenia Talesa wynika, że odcinek łączący środki dzieli się w stosunku . Zatem odległość punktu wspólnego stycznych od środków okręgów są odpowiednio równe: oraz . Szukana odległość jest więc równa .
