Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Skonstruuj styczne zewnętrzne do dwóch okręgów o równych promieniach, gdy okręgi nie mają punktów wspólnych i są wzajemnie zewnętrzne.

Zaproponuj opis konstrukcji stycznych zewnętrznych do dwóch okręgów o równych promieniach, gdy okręgi nie mają punktów wspólnych i są wzajemnie zewnętrzne.

Ćwiczenie 2

Skonstruuj styczne zewnętrzne do dwóch okręgów o promieniach $r_{1} = 7$ , $r_{2} = 2$ , których środki są odległe o $13$ .

Zaproponuj opis konstrukcji stycznych zewnętrznych do dwóch okręgów o promieniach $r_{1} = 7$ , $r_{2} = 2$ , których środki są odległe o $13$ .

Opis konstrukcji:

Prowadzimy prostą i zaznaczamy na niej punkty $O_{1}, O_{2}$ odległe o $13$ .
Ze środka $O_{1}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $7$ .
Ze środka $O_{2}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $2$ .
Ze środka $O_{1}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $5$ .
Wyznaczamy środek odcinka $O_{1} O_{2}$ - oznaczamy go przez $S$ .
Z punktu $S$ kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym $6 \frac{1}{2}$ - oznaczamy przez $A$ i $B$ punkty wspólne obu dorysowanych pomocniczych okręgów.
Przez punkty odpowiednio $A$ i $O_{2}$ oraz $B$ i $O_{2}$ kreślimy proste – otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu $5$ .
Prowadzimy odpowiednio proste $O_{1} A$ oraz $O_{1} B$ , które przecinają okrąg o promieniu $7$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ .
Kreślimy proste równoległe odpowiednio do prostych $A O_{2}$ i $B O_{2}$ oraz przechodzące przez punkty odpowiednio $P$ , $Q$ .

Ćwiczenie 3

Dane są dwa okręgi o promieniach odpowiednio $r_{1} = 7$ , $r_{2} = 2$ , których środki są odległe o $13$ . Wyznacz długości odcinka stycznej zewnętrznej do tych okręgów, którego końcami są punkty styczności.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

RQinC6jSvUWIi

Ilustracja przedstawia dwa okręgi. Po lewej stronie znajduje się większy okrąg o środku A, po prawej stronie znajduje się mniejszy okrąg o środku B, odcinek AB ma długość trzynaście. Na krawędzi większego okręgu o środku w punkcie A znajduje się punkt C, a na krawędzi mniejszego okręgu znajduje się punkt D. Punkty te połączone są prostą, która jest styczna do obu tych okręgów. Z punktu B równolegle do tej prostej biegnie linia przerwana, która kończy się w miejscu przecięcia się jej z promieniem AC. Punkt przecięcia podpisano literą E. Odcinek AE ma długość pięć.

Odcinki $A C$ i $B D$ są promieniami poprowadzonymi odpowiednio ze środków okręgów. Odcinek $B E$ jest równoległy do stycznej. Wtedy $|A E| = 7 - 2 = 5$ . Trójkąt $A B E$ jest prostokątny, zatem $|D C| = |B E| = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$ .

Ćwiczenie 4

Dana jest prosta $l$ i punkty: $P$ położony na tej prostej oraz punkt $Q$ leżący poza tą prostą. Przeprowadź konstrukcję okręgu stycznego do prostej $l$ w punkcie $P$ i przechodzącego przez punkt $Q$ .

Dana jest prosta $l$ i punkty: $P$ położony na tej prostej oraz punkt $Q$ leżący poza tą prostą. Zaproponuj opis konstrukcji okręgu stycznego do prostej $l$ w punkcie $P$ i przechodzącego przez punkt $Q$ .

Zauważ, że środek okręgu leży na prostej prostopadłej do prostej $l$ i przechodzącej przez punkt styczności oraz na symetralnej cięciwy $Q P$ .

Opis konstrukcji:

Prowadzimy prostą prostopadłą do $l$ i przechodzącą przez punkt $P$ .
Prowadzimy symetralną odcinka $P Q$ – punkt wspólny tej symetralnej i prostopadłej do $l$ oznaczamy jako $S$ .
Z punktu $S$ kreślimy okrąg przechodzący przez punkt $P$ – otrzymujemy szukany okrąg.

Ćwiczenie 5

R2DVhpgBJVBDL

Okrąg jest styczny do prostej $l$ w punkcie $P$ i przechodzi przez punkt $Q$ . Cięciwa tego okręgu przechodząca przez punkt $Q$ leży w odległości $9$ od prostej $l$ i ma długość $30$ . Promień tego okręgu jest równy

$15$
$17$
$19$
$21$

Ćwiczenie 6

R13o4QNW4tV17

Wspólne styczne wewnętrzne do dwóch wzajemnie zewnętrznych okręgów przecinają się pod kątem prostym. Promienie okręgów są równe odpowiednio $r_{1} = 4 \sqrt{2}$ , $r_{2} = 3 \sqrt{2}$ . Odległość środków obu okręgów jest równa

$7 \sqrt{2}$
$14$
$14 \sqrt{2}$
$28$

Rg0TrGsVllr5Y2

Ćwiczenie 7

Zbadaj liczbę wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów, mając dane: odległość

|O_{1} O_{2}|

ich środków i ich promienie

r_{1}

r_{2}

. Dopasuj, łącząc w pary. brak stycznych Możliwe odpowiedzi: 1.

|O_{1} O_{2}| = 12

r_{1} = 7

r_{2} = 5

, 2.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 6

r_{2} = 7

, 3.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 4

r_{2} = 14

, 4.

|O_{1} O_{2}| = 4

r_{1} = 10

r_{2} = 2

, 5.

|O_{1} O_{2}| = 8

r_{1} = 3

r_{2} = 4

jedna styczna Możliwe odpowiedzi: 1.

|O_{1} O_{2}| = 12

r_{1} = 7

r_{2} = 5

, 2.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 6

r_{2} = 7

, 3.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 4

r_{2} = 14

, 4.

|O_{1} O_{2}| = 4

r_{1} = 10

r_{2} = 2

, 5.

|O_{1} O_{2}| = 8

r_{1} = 3

r_{2} = 4

dwie styczne Możliwe odpowiedzi: 1.

|O_{1} O_{2}| = 12

r_{1} = 7

r_{2} = 5

, 2.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 6

r_{2} = 7

, 3.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 4

r_{2} = 14

, 4.

|O_{1} O_{2}| = 4

r_{1} = 10

r_{2} = 2

, 5.

|O_{1} O_{2}| = 8

r_{1} = 3

r_{2} = 4

trzy styczne Możliwe odpowiedzi: 1.

|O_{1} O_{2}| = 12

r_{1} = 7

r_{2} = 5

, 2.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 6

r_{2} = 7

, 3.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 4

r_{2} = 14

, 4.

|O_{1} O_{2}| = 4

r_{1} = 10

r_{2} = 2

, 5.

|O_{1} O_{2}| = 8

r_{1} = 3

r_{2} = 4

cztery styczne Możliwe odpowiedzi: 1.

|O_{1} O_{2}| = 12

r_{1} = 7

r_{2} = 5

, 2.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 6

r_{2} = 7

, 3.

|O_{1} O_{2}| = 10

r_{1} = 4

r_{2} = 14

, 4.

|O_{1} O_{2}| = 4

r_{1} = 10

r_{2} = 2

, 5.

|O_{1} O_{2}| = 8

r_{1} = 3

r_{2} = 4

Zbadaj liczbę wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów, mając dane: odległość $"|"O_{1} O_{2}"|"$ ich środków i ich promienie $r_{1}$ i $r_{2}$ . Dopasuj łącząc w pary.

brak stycznych
jedna styczna
dwie styczne
trzy styczne
cztery styczne

RSOzn9PYfLoUf2

Ćwiczenie 8

Dana jest prosta

l

i punkty:

P

położony na tej prostej oraz

Q

leżący poza tą prostą. Przeprowadź konstrukcję dwóch okręgów, w których różnica promieni wynosi

2

, takich, że: oba okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie

P

, oba są styczne do prostej

l

oraz mniejszy z okręgów przechodzi przez punkt

Q

. Ułóż w kolejności opis konstrukcji. Elementy do uszeregowania: 1. Z punktu

S

kreślimy okrąg o promieniu

P S

., 2. Z punktu

P

dowolną rozwartością cyrkla kreślimy okrąg – punkty wspólne z prostą

l

oznaczamy odpowiednio

A

B

., 3. Punkt wspólny prostych

k

m

oznaczamy jako

O

– jest to środek mniejszego z szukanych okręgów., 4. Z punktu

O

kreślimy okrąg o promieniu

2

– punkt wspólny z prostą

k

, leżący po drugiej stronie punktu

O

, w stosunku do

P

, oznaczamy przez

S

., 5. Kreślimy prostą

k

, która jest symetralną odcinka

A B

., 6. Kreślimy okrąg o środku

O

i promieniu

O P

., 7. Kreślimy prostą

m

, która jest symetralną odcinka

P Q

Dana jest prosta $l$ i punkty: $P$ położony na tej prostej oraz $Q$ leżący poza tą prostą. Przeprowadź konstrukcję dwóch okręgów, w których różnica promieni wynosi $2$ , takich, że: oba okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $P$ , oba są styczne do prostej $l$ oraz mniejszy z okręgów przechodzi przez punkt $Q$ . Ułóż w kolejności opis konstrukcji.

Punkt wspólny prostych $k$ i $m$ oznaczamy jako $O$ – jest to środek mniejszego z szukanych okręgów.
Z punktu $S$ kreślimy okrąg o promieniu $P S$ .
Z punktu $O$ kreślimy okrąg o promieniu $2$ – punkt wspólny z prostą $k$ , leżący po drugiej stronie punktu $O$ , w stosunku do $P$ , oznaczamy przez $S$ .
Kreślimy prostą $k$ , która jest symetralną odcinka $A B$ .
Kreślimy okrąg o środku $O$ i promieniu $O P$ .
Kreślimy prostą $m$ , która jest symetralną odcinka $P Q$ .
Z punktu $P$ dowolną rozwartością cyrkla kreślimy okrąg – punkty wspólne z prostą $l$ oznaczamy odpowiednio $A$ i $B$ .

Aplet

Dla nauczyciela