Współrzędne wierzchołka paraboli
Współrzędne wierzchołka paraboli
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ma współrzędne , gdzie oraz .
Zauważmy też, że współrzędne wierzchołka paraboli spełniają warunek .
Wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu
Odczytujemy , , , stąd , a więc . Zatem .
Odczytujemy , , , stąd . Wtedy , czyli .
Odczytujemy , , , stąd , więc , czyli .
Odczytujemy , , , stąd . Ponadto , stąd , czyli .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji
Odczytujemy współczynnik . Ponieważ jest on dodatni, więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział , gdzie to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku , zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Odczytujemy, że współczynnik jest ujemny (), więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do dołu. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział , gdzie to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku , zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Ponieważ oraz , to zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Ponieważ oraz , to zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Wyznaczymy maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca oraz maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca.
Współczynnik jest dodatni (), więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, to , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to .
Współczynnik jest ujemny (), więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, to , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to .
Ponieważ oraz , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja rośnie, jest , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest .
Ponieważ oraz , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja rośnie, jest , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest .
Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej. Przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji , na innym – wykres funkcji , a na jeszcze innym jest wykres funkcji . Wiadomo, że zbiorem wartości funkcji jest , wierzchołkiem wykresu funkcji jest punkt , a osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu . Na którym rysunku jest wykres funkcji , na którym - wykres , a na którym – wykres funkcji ?
Dana jest parabola o równaniu . Wówczas
Prosta o równaniu ma dokładnie jeden punkt wspólny
Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu .
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem . Oblicz wartości współczynników i , wiedząc, że wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.
<span aria-label="nawias, minus, sześć, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias jeden kropka cztery zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, jeden kropka cztery zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias pięć, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>
Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.
<span aria-label="nawias jeden przecinek pięć zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, dwa, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, dwa przecinek trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>
Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem jest parabola o wierzchołku . Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Do wykresu funkcji kwadratowej należą punkty: . Wynika z tego, że
Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu
Wykres funkcji określonej wzorem ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu
Wskaż równanie paraboli, której wierzchołkiem jest punkt .
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest
Największa wartość funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział , może być określona wzorem
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem .
Prosta jest osią symetrii wykresu funkcji określonej wzorem . Wtedy prawdziwa jest równość
Wierzchołkiem paraboli o równaniu jest punkt . Wtedy
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Można wskazać taką wartość , aby zbiorem wartości tej funkcji był przedział
Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową , określoną wzorem ogólnym
Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową , określoną wzorem ogólnym
Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej , której wykresem jest parabola o wierzchołku , przecinająca oś w punkcie .
W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.
Rxo5BEYvNR9rj1 R1MPtvffusl4W1 RpDwNJezn1Naz1 R4zURkwSjt3Gt1 RcO6yTxx51MFB1 RopCYo1Nolxfo1
Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej , wiedząc, że na jej wykresie leżą punkty .
i
i
Podaj zbiór wartości funkcji określonej wzorem
Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej .
Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie.
Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja maleje.
Wykres funkcji kwadratowej ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu . Oblicz .
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem . Wyznacz wartość , tak aby parabola będąca wykresem tej funkcji miała dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu .
Prosta jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji . Ustal wartość i wyznacz współrzędne wierzchołka tej paraboli.
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej określonej wzorem jest przedział . Wyznacz wartość .