Współrzędne wierzchołka paraboli
Współrzędne wierzchołka paraboli
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ma współrzędne , gdzie oraz .
Zauważmy też, że współrzędne wierzchołka paraboli spełniają warunek .
Wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu
Odczytujemy , , , stąd , a więc . Zatem .
Odczytujemy , , , stąd . Wtedy , czyli .
Odczytujemy , , , stąd , więc , czyli .
Odczytujemy , , , stąd . Ponadto , stąd , czyli .
Wyznaczymy zbiór wartości funkcji
Odczytujemy współczynnik . Ponieważ jest on dodatni, więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział , gdzie to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku , zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Odczytujemy, że współczynnik jest ujemny (), więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do dołu. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział , gdzie to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku , zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Ponieważ oraz , to zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Ponieważ oraz , to zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Wyznaczymy maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca oraz maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca.
Współczynnik jest dodatni (), więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, to , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to .
Współczynnik jest ujemny (), więc wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca, to , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to .
Ponieważ oraz , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja rośnie, jest , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest .
Ponieważ oraz , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja rośnie, jest , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest .
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DZajTVh6M
Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej. Przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji , na innym – wykres funkcji , a na jeszcze innym jest wykres funkcji . Wiadomo, że zbiorem wartości funkcji jest , wierzchołkiem wykresu funkcji jest punkt , a osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu . Na którym rysunku jest wykres funkcji , na którym - wykres , a na którym – wykres funkcji ?
![Wykresy czterech różnych funkcji kwadratowych f. Pierwsza funkcja to parabola leżąca w pierwszej , drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, 2). Do wykresu należy punkt (0, 1). Druga funkcja to: parabola leżąca w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (1, 2). Do wykresu należy punkt (0, 3). Trzecia funkcja to: parabola leżąca w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, -2). Do wykresu należy punkt (0, -3). Czwarta funkcja to: parabola leżąca w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, -2). Do wykresu należy punkt (0, -1).](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1X1xHkAIjGQM/3/UFS7t0OH9LKraCJvguyyDLmjyILpgOKG.png)
Dana jest parabola o równaniu . Wówczas
- wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu
- wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu
- ta parabola nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
- osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu
Prosta o równaniu ma dokładnie jeden punkt wspólny
- z wykresem funkcji
- z wykresem funkcji
- z wykresem funkcji
- z wykresem funkcji
Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu .
- Jeżeli , to .
- Dla współczynnik jest równy .
- Dla współczynnik jest równy .
- Jeżeli , to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt .
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem . Oblicz wartości współczynników i , wiedząc, że wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych
Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.
<span aria-label="nawias, minus, sześć, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>6</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias jeden kropka cztery zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, jeden kropka cztery zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias pięć, przecinek, minus, trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>
Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.
<span aria-label="nawias jeden przecinek pięć zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, dwa, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias dwa przecinek dwa zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math></span>, <span aria-label="nawias, minus, dwa przecinek trzy zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math></span>
Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem jest parabola o wierzchołku . Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
- Jeżeli i , to .
- Jeżeli i , to .
- Jeżeli , to i .
- Jeżeli , to i .
Do wykresu funkcji kwadratowej należą punkty: . Wynika z tego, że
Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu
Wykres funkcji określonej wzorem ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu
Wskaż równanie paraboli, której wierzchołkiem jest punkt .
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest
Największa wartość funkcji kwadratowej
- nie istnieje
- jest równa
- jest równa
- jest większa od
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział , może być określona wzorem
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem .
- 82053
- 82054
- 82055
- 82056
Prosta jest osią symetrii wykresu funkcji określonej wzorem . Wtedy prawdziwa jest równość
Wierzchołkiem paraboli o równaniu jest punkt . Wtedy
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Można wskazać taką wartość , aby zbiorem wartości tej funkcji był przedział
Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową , określoną wzorem ogólnym
Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową , określoną wzorem ogólnym
Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej , której wykresem jest parabola o wierzchołku , przecinająca oś w punkcie .
W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.
Rxo5BEYvNR9rj1 Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.R1MPtvffusl4W1 Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.RpDwNJezn1Naz1 Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.R4zURkwSjt3Gt1 Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.RcO6yTxx51MFB1 Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.RopCYo1Nolxfo1 Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej , wiedząc, że na jej wykresie leżą punkty .
i
i
Podaj zbiór wartości funkcji określonej wzorem
Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej .
Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie.
Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja maleje.
Wykres funkcji kwadratowej ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu . Oblicz .
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem . Wyznacz wartość , tak aby parabola będąca wykresem tej funkcji miała dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu .
Prosta jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji . Ustal wartość i wyznacz współrzędne wierzchołka tej paraboli.
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej określonej wzorem jest przedział . Wyznacz wartość .