Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej
Przypomnijmy pojęcia, które wprowadziliśmy w poprzednim rozdziale.
Funkcją kwadratową zmiennej nazywamy funkcję określoną wzorem
gdzie oraz to liczby rzeczywiste, przy czym liczba jest różna od zera.
Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.
Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej
gdzie oraz to liczby rzeczywiste i .
Pokażemy, że istnieją ścisłe zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanych w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej.
Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej lub w równoważnej postaci kanonicznej , gdzie i .
Symbolem (delta) oznaczyliśmy liczbę , którą nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej .
Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia , postać kanoniczną funkcji możemy zapisać jako
stąd
Aby dla każdego zachodziła równość
potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej . Zatem
oraz , stąd i . Przyjmując oznaczenie , otrzymujemy .
Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do kanonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kilku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu
Zapiszemy w postaci kanonicznej funkcję
Odczytujemy: , , , stąd . Obliczamy wyróżnik
A więc . Zatem postacią kanoniczną tej funkcji jest .
Zauważmy, że ten wynik można otrzymać, przekształcając wzór funkcji jak poniżej
Odczytujemy: , , , stąd . Obliczamy wyróżnik
Zatem . Postacią kanoniczną tej funkcji jest .
Wynik ten można otrzymać, przekształcając wzór jak poniżej
Odczytujemy: , , , stąd . Obliczamy wyróżnik
Zatem . Postacią kanoniczną tej funkcji jest więc .
Wzór ten można otrzymać w wyniku następujących przekształceń:
Odczytujemy: , , , stąd . Obliczamy wyróżnik
Zatem . Postacią kanoniczną tej funkcji jest