Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej
Rozpatrzmy parabolę o równaniu , gdzie jest ustaloną liczbą różną od zera. Po przesunięciu tej paraboli o jednostek wzdłuż osi (w prawo, gdy lub w lewo, gdy ) oraz o jednostek wzdłuż osi (w górę, gdy lub w dół, gdy ), otrzymujemy parabolę o równaniu
Aby uprościć zapisy, będziemy mówić, że na przykład „przesuwamy wykres o wzdłuż osi ”, zamiast „przesuwamy wykres o jednostki w dół wzdłuż osi ”.
Przykład 1
Wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt , a jej ramiona są skierowane w górę. Wykres funkcji otrzymujemy, przesuwając parabolę o wzdłuż osi oraz o wzdłuż osi . Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu . Maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie, to , a maksymalny przedział, w którym funkcja maleje, to . Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
R1SEgq65VDB3l1
Przykład 2
Wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt , a jej ramiona skierowane są w górę. Wykres funkcji otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu o wzdłuż osi oraz o wzdłuż osi . Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu . Maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie, to , a maksymalny przedział, w którym funkcja maleje, to . Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
RQYGG46g15DSQ1
Przykład 3
Wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt , a jej ramiona są skierowane w dół. Wykres funkcji otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu o wzdłuż osi oraz o wzdłuż osi . Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu . Maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie, to , a maksymalny przedział, w którym funkcja maleje, to . Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
R1N2ALDZgjFtu1
inT4yVy8ED_d5e164
Przykład 4
Wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt , a jej ramiona są skierowane w dół. Wykres funkcji otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu o wzdłuż osi oraz o wzdłuż osi . Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu . Maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie, to , a maksymalny przedział, w którym funkcja maleje, to . Zbiorem wartości funkcji jest przedział .
R1XkUmCmEuXIv1
Przykład 5
R1ayEtCBSJfCa1
Przykład 6
Wykres każdej z omawianych funkcji rysowaliśmy, korzystając z pomysłu przedstawionego na początku tej lekcji. Przepis ten da się zastosować do wykresu każdej funkcji kwadratowej, której wzór umiemy zapisać w postaci , nazywanej postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. Zauważmy, że w przypadku funkcji i , po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, otrzymujemy
oraz
natomiast w przypadku funkcji i , po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy
a także
Zatem każdą z funkcji i można zapisać w postaci . Wzór , gdzie są ustalone, przy czym jest różne od , nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej zmiennej .
inT4yVy8ED_d5e237
Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej
Przykład 7
Na jednym rysunku naszkicujemy wykresy funkcji i określonych wzorami oraz . Przekształcimy wzór funkcji .
Wobec tego funkcje i są tożsamościowo równe, czyli ich wykresem jest ta sama parabola. Wykresem obu tych funkcji jest parabola, która powstaje w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu o wzdłuż osi oraz o wzdłuż osi .
R1eUl4ir2l5Ov1
Przykład 8
Wykażemy, że przesuwając równolegle parabolę , otrzymamy wykres funkcji określonej wzorem
Po przesunięciu paraboli o wzdłuż osi oraz o wzdłuż osi otrzymujemy parabolę o równaniu , które przekształcamy do postaci . Zauważmy, że dla równanie tej paraboli to . Przyjmując dodatkowo , dostajemy . Oznacza to, że przesuwając parabolę o równaniu o wzdłuż osi i o wzdłuż osi , otrzymujemy wykres podanej funkcji . Wzór funkcji można też zapisać w postaci .
Rg1y73nAQu3SP1
Przykład 9
Narysujemy wykres funkcji . Wykorzystamy w tym celu pomysł z poprzedniego przykładu. Spodziewamy się, że wykres funkcji otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu o wzdłuż osi oraz o wzdłuż osi . W efekcie otrzymujemy parabolę o równaniu , które przekształcamy do postaci . Jeżeli przyjmiemy , to i parabola ma równanie . Wystarczy zatem przyjąć i otrzymujemy równanie . Mamy więc
Wobec tego wykresem funkcji określonej wzorem jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu o wzdłuż osi i o wzdłuż osi .
R1C9EMsvoQDXx1
Przykład 10
Narysujemy wykres funkcji . Zauważmy, że wzór funkcji można zapisać jako . Ponadto dla każdej liczby prawdziwa jest równość , a więc także równość . Wzór funkcji można przekształcić do postaci
Wynika z tego, że wykresem funkcji opisanej wzorem jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu o wzdłuż osi i o wzdłuż osi .
ReM5yOEQn1VTA1
inT4yVy8ED_d5e318
Przykład 11
Narysujemy wykres funkcji . Zauważmy, że wzór funkcji można zapisać jako . Ponadto dla każdej liczby prawdziwa jest równość , a więc także równość . Wzór funkcji można zatem zapisać w postaci
Wynika z tego, że wykresem funkcji określonej wzorem jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu o wzdłuż osi i o wzdłuż osi .
R1SvAL5U8caTC1
Przykład 12
Na rysunkach przedstawiono
wykres funkcji kwadratowej
R48N2Ygihzzam1
wykres funkcji kwadratowej
R1GA2ZiKoR2Ov1
wykres funkcji kwadratowej
R1VCbPK77C25z1
wykres funkcji kwadratowej
RMF8lO3YMMboU1
Zapiszemy wzór każdej z tych funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.
Wierzchołkiem paraboli jest punkt , więc ma ona równanie postaci . Na tej paraboli leży też punkt (0, 0), zatem , stąd . Wobec tego postać kanoniczna funkcji to . Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: , stąd .
Wierzchołkiem paraboli jest punkt , więc ma ona równanie postaci . Na tej paraboli leży też punkt , zatem , stąd . Wobec tego postać kanoniczna funkcji to . Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: , stąd .
Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3, 4), więc ma ona równanie postaci . Na tej paraboli leży też punkt , zatem , stąd . Wobec tego postać kanoniczna funkcji to . Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: , stąd .
Wierzchołkiem paraboli jest punkt , więc ma ona równanie postaci . Na tej paraboli leży też punkt , zatem , skąd . Wobec tego postać kanoniczna funkcji to . Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: , stąd .
inT4yVy8ED_d5e401
A
Ćwiczenie 1
RZuG2YywEMkzq1
A
Ćwiczenie 2
R19wcyBZUG1Zk1
classicmobile
Ćwiczenie 3
Funkcja jest określona wzorem . Wynika z tego, że wykres funkcji
R1KYmDZnzyhSN
static
Ćwiczenie 3
Funkcja jest określona wzorem . Wynika z tego, że wykres funkcji
R1IX4g8RImiki
classicmobile
Ćwiczenie 4
Wskaż zdania prawdziwe.
RgFqKUzfNiEnC
static
Ćwiczenie 4
Wskaż zdania prawdziwe.
R1IjMkWldP3Yg
A
Ćwiczenie 5
Znajdź zbiór wartości funkcji.
A
Ćwiczenie 6
Rh0jismasZVXx1
A
Ćwiczenie 7
Rq1lWGpk6WIW71
inT4yVy8ED_d5e607
A
Ćwiczenie 8
Narysuj wykres funkcji kwadratowej . Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.
R16ykhvQRUmGB1
RNiPu3IwnIm1o1
R3KeIDQRHwGp61
R6144EfHiKHwq1
A
Ćwiczenie 9
Narysuj wykres funkcji kwadratowej . Zaznacz wierzchołek otrzymanej paraboli i narysuj jej oś symetrii.
R61DvN1vfsY1U1
RwMpf5apbtooD1
RFMUhY8gKblnj1
RCD2nf4szgdRv1
A
Ćwiczenie 10
Ustal maksymalny przedział, w którym funkcja rośnie i maksymalny przedział, w którym maleje.
maksymalny przedział, w którym rośnie to , maksymalny przedział, w którym maleje, to .
maksymalny przedział, w którym rośnie, to , maksymalny przedział, w którym maleje, to .
maksymalny przedział, w którym rośnie, to , maksymalny przedział, w którym maleje, to .
maksymalny przedział, w którym rośnie, to , maksymalny przedział, w którym maleje, to .
A
Ćwiczenie 11
Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
A
Ćwiczenie 12
Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i ustal jej zbiór wartości.
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
; zbiór wartości tej funkcji to przedział
A
Ćwiczenie 13
Podaną funkcję kwadratową zapisz w postaci kanonicznej i podaj równanie osi symetrii jej wykresu.
; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu
; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu
; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu
; osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu
A
Ćwiczenie 14
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji kwadratowej . Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.