Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej

Przypomnijmy pojęcia, które wprowadziliśmy w poprzednim rozdziale.

Funkcja kwadratowa zmiennej x

Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej x

Funkcją kwadratową zmiennej $x$ nazywamy funkcję określoną wzorem

f (x) = a x^{2} + bx + c,

gdzie $a, b$ oraz $c$ to liczby rzeczywiste, przy czym liczba $a$ jest różna od zera.
Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.

Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q,

gdzie $a, p$ oraz $q$ to liczby rzeczywiste i $a \neq 0$ .

Pokażemy, że istnieją ścisłe zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanych w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej.

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej

Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej

Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + bx + c$ lub w równoważnej postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = \frac{- b}{2 a}$ i $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .
Symbolem $∆$ (delta) oznaczyliśmy liczbę $Δ = b^{2} - 4 ac$ , którą nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f$ .

Dowód

Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia ${(x - p)}^{2}$ , postać kanoniczną funkcji $f$ możemy zapisać jako

f (x) = a (x^{2} - 2 px + p^{2}) + q,

stąd

f (x) = a x^{2} - 2 apx + a p^{2} + q .

Aby dla każdego $x$ zachodziła równość

a x^{2} - 2 apx + a p^{2} + q = a x^{2} + bx + c

potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej $x$ . Zatem
$- 2 ap = b$ oraz $a p^{2} + q = c$ , stąd $p = \frac{- b}{2 a}$ i $q = c - a {(\frac{- b}{2 a})}^{2} = c - \frac{a b^{2}}{4 a^{2}} = c - \frac{b^{2}}{4 a} = \frac{4 ac - b^{2}}{4 a}$ . Przyjmując oznaczenie $Δ = b^{2} - 4 ac$ , otrzymujemy $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .
Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do kanonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kilku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu

f (x) = a x^{2} + bx + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) + c =

= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a^{2}}{4 a} = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} .

i6DI3bt4cP_d5e198

Przykład 1

Zapiszemy w postaci kanonicznej funkcję

$f (x) = x^{2} - 14 x + 25$
Odczytujemy: $a = 1$ , $b = - 14$ , $c = 25$ , stąd $p = \frac{- (- 14)}{2 \cdot 1} = 7$ . Obliczamy wyróżnik
$Δ = {(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 96 .$ A więc $q = \frac{- 96}{4 \cdot 1} = - 24$ . Zatem postacią kanoniczną tej funkcji jest $f (x) = {(x - 7)}^{2} - 24$ .
Zauważmy, że ten wynik można otrzymać, przekształcając wzór funkcji $f$ jak poniżej
$f (x) = x^{2} - 14 x + 25 = (x^{2} - 14 x + 49) - 49 + 25 = {(x - 7)}^{2} - 24 .$
$g (x) = 2 x^{2} + 8 x + 11$
Odczytujemy: $a = 2$ , $b = 8$ , $c = 11$ , stąd $p = \frac{- 8}{2 \cdot 2} = - 2$ . Obliczamy wyróżnik
$Δ = 8^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 11 = - 24 .$ Zatem $q = \frac{- (- 24)}{4 \cdot 2} = 3$ . Postacią kanoniczną tej funkcji jest $g (x) = 2 {(x + 2)}^{2} + 3$ .
Wynik ten można otrzymać, przekształcając wzór jak poniżej
$g (x) = 2 x^{2} + 8 x + 11 = 2 (x^{2} + 4 x + 4) - 8 + 11 = 2 {(x + 2)}^{2} + 3 .$
$h (x) = - x^{2} + 6 x + 7$
Odczytujemy: $a = - 1$ , $b = 6$ , $c = 7$ , stąd $p = \frac{- 6}{2 \cdot (- 1)} = 3$ . Obliczamy wyróżnik
$Δ = 6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7 = 64 .$ Zatem $q = \frac{- 64}{4 \cdot (- 1)} = 16$ . Postacią kanoniczną tej funkcji jest więc $h (x) = - {(x - 3)}^{2} + 16$ .
Wzór ten można otrzymać w wyniku następujących przekształceń:
$g (x) = - x^{2} + 6 x + 7 = - (x^{2} - 6 x + 9) + 9 + 7 = - {(x - 3)}^{2} + 16 .$
$k (x) = - 3 x^{2} + 5 x - 4$
Odczytujemy: $a = - 3$ , $b = 5$ , $c = - 4$ , stąd $p = \frac{- 5}{2 \cdot (- 3)} = \frac{5}{6}$ . Obliczamy wyróżnik
$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4) = - 23 .$ Zatem $q = \frac{- (- 23)}{4 \cdot (- 3)} = - \frac{23}{12}$ . Postacią kanoniczną tej funkcji jest
$k (x) = - 3 {(x - \frac{5}{6})}^{2} - \frac{23}{12} .$

Przykład 2

RBmNWayeQ6ux91

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DXrW6ve7S

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej

Współrzędne wierzchołka paraboli

Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej