A
Ćwiczenie 1

Oblicz bez użycia kalkulatora.

  1. 2092

  2. 2972

  3. 203197

A
Ćwiczenie 2

Wskaż równości prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych xa.

RHb6DJjTGtTIv
A
Ćwiczenie 3

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

  1. 2+32

  2. 3-52

  3. 32+232

  4. 122-1332

Przykład 1
  • Zapisz sumę x2+8x+16 w postaci potęgi, wykorzystując wzór skróconego mnożenia. Sumę

x2+8x+16

zapiszemy w postaci kwadratu pierwszego wyrażenia, podwojonego iloczynu obu wyrażeń oraz kwadratu drugiego wyrażenia

x2+8x+16=x2+24x+42.

Zatem

x2+8x+16=x2+24x+42=x+42.
  • Sprawdź, czy wyrażenie x2+5x+16 można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeń, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.

Jeśli wyrażenie

x2+5x+16

jest kwadratem sumy dwóch wyrażeń, to oznacza, że pierwszym wyrażeniem jest x, a drugim 4 (kwadraty tych wyrażeń to odpowiednio x216). Musimy sprawdzić, czy wyrażenie 5x jest podwojonym iloczynem.

24x=8x5x

Z tego wynika, że sumy x2+5x+16 nie można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeń.

Przykład 2

Podane wyrażenia zapisz, jeśli będzie to możliwe w postaci iloczynu, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

  • x2-25

Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb x5. Zatem na podstawie wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy:

x2-25=x2-52=x-5x+5.
  • x2-10

Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb x10, więc

x2-10=x2-102=x-10x+10.
  • x2+4

Wyrażenia nie można zapisać w postaci różnicy liczb rzeczywistych nieujemnych, zatem nie możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

Przykład 3

Wykaż, że liczba 29+125 jest kwadratem liczby 3+25.
Aby przeprowadzić dowód, wystarczy wykazać, że

3+252=29+125.

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia (na kwadrat sumy) otrzymamy

3+25.2=9+2325+252=9+125+20=29+125.

Z tego wynika, że liczba 29+125 jest kwadratem liczby 3+25.

Przykład 4

Znajdź liczbę postaci a+b3, gdzie ab są liczbami całkowitymi, której kwadrat jest równy 19-83.
W znalezieniu takiej liczby pomoże wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Liczbę 83 możemy zapisać na przykład w postaci

83=2223

lub

 83=243,

czyli jako podwojony iloczyn liczb odpowiednio 223 lub 43. Sprawdzimy, w którym przypadku suma kwadratów tych liczb jest równa 19.

Dane

jeśli przyjmiemy, że 83=2223, to

jeśli przyjmiemy, że 83=243, to

22+232=4+1219
42+32=16+3=19

Z tego wynika, że liczbę 19-83 możemy zapisać jako 4-32 lub jako 3-42.
Zatem istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy 19-83 . Jest to liczba 4-3 i liczba do niej przeciwna 3-4.

Przykład 5

Wykaż, że liczba 22+2+2 jest całkowita.
Wykażemy, że podana liczba jest całkowita, usuwając niewymierność z mianownika ułamka. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez takie wyrażenie, aby w mianowniku otrzymać różnicę kwadratów. Zatem

22+2+2=22+22-22-2+2=22-24-2+2=22-22+2=2-2+2=2.

Liczba 2 jest całkowita, zatem liczba 22+2+2 jest całkowita.

A
Ćwiczenie 4

Liczba 252-6+34-22-22 jest równa

RU7u0npurHsJv
A
Ćwiczenie 5

Dla a=-1 wartość wyrażenia a3a-1+2aa-3 jest równa

R17EN4iOkYdlx
A
Ćwiczenie 6

Dla dowolnej liczby x wyrażenie 3x2-42x2+6 jest równe

Rt0t1uRTAuB5P
A
Ćwiczenie 7

Dla dowolnych liczb ab wyrażenie -3a2+3ab+6b2 jest równe

Rglz7hQOuI49h
A
Ćwiczenie 8

Jeżeli a=6x-4b=12 to

R15yUndBdnOsN
A
Ćwiczenie 9

Dla dowolnych liczb a, bc wyrażenie a-cb-a-a-bc jest równe

R1amO6KCs5uLa
A
Ćwiczenie 10

Dla pewnej liczby dodatniej a podstawa trójkąta jest równa 4a+6 . Wysokość opuszczona na tę podstawę jest od niej o  2a-2 krótsza. Pole tego trójkąta jest równe

Rwy3qmuDKZsxh
A
Ćwiczenie 11

Wyrażenie 1-5x2 po rozłożeniu na czynniki ma postać

RQSKCMTJZQmKQ
A
Ćwiczenie 12

Wartość wyrażenia3x-23x+29x2+4 dla x=2 jest równa

R1eDsQPiTz6DM
A
Ćwiczenie 13

Liczba 53-22 jest równa

RIKF68O7eIdlZ
A
Ćwiczenie 14

Oblicz w pamięci.

  1. 789

  2. 6203

  3. 8397

A
Ćwiczenie 15

Oblicz.

  1. 201310-201120139-220139

  2. 4004-25400426-400425

A
Ćwiczenie 16

Wykonaj mnożenie.

  1. 1-9x2+6x

  2. 2x+34-x2

  3. x+y+zxy+y3+x2z

  4. 135y-93y+4

  5. 13x-2332x+23

  6. 3x2+2x-12x-4

  7. 4y3-2y+5y2+y-2

  8. 5x-32x+6

  9. 3a-33a-43

  10. 3x+223x-2

A
Ćwiczenie 17

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.

  1. 4ab3-2a2b+6ab

  2. 2x3y+18x2y2+9xy3

  3. 4xx-3+2x2x-3-6x3x-3

  4. 3aa+5a-1+9aa-1a+3-6aa-1a+2

  5. 2x-12x+3+4x-1x+32+6x-1x+3

  6. x2y2+x3y+3xy

  7. xz2+xyz+x2z+3z+x2y+3x

A
Ćwiczenie 18

Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość liczbową dla podanej wartości x.

  1. 2x-33x-1-3  dla x=23

  2. 4xx-3+2x1-2x+3 dla x=12+2

  3. 3x22x+1+x4-3x  dla x=53

  4. 4x-12-3x-x-1x-2 dla x=-35

  5. 2x-32+2x2-4x2+4-310-4x dla x=310

  6. 6x-1x+1+4x-3x+3+2x-5x+5 dla  x=1+22

A
Ćwiczenie 19

Każdej figurze przyporządkuj wzór opisujący jej pole.

  1. P=2a2+5a

  2. P=2a2-52a-3

  3. P=2a2-312a-1

  4. P=2a2+52a 

  5. P=2a2-a-6

  6. P=2a2+3a

  7. P=2a2-a+6

  1. R1Uv06MyweiIi1

  2. R1c8kcAiJ7Hne1

  3. RxQphfKiBeY3M1

  4. RwNRjLKavs2eU1

  5. RXl2tNklDLf6V1

  6. Ry7yFVHQMSNtG1

A
Ćwiczenie 20

Boki prostokąta są równe a+52a+5, gdzie a jest liczbą dodatnią. O ile zmieni się pole prostokąta, jeśli długość pierwszego boku zwiększymy o 3, a długość drugiego zmniejszymy o 4? Podaj odpowiednie założenia.

A
Ćwiczenie 21

Zapisz wyrażenie opisujące pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu przestawionego na rysunku. Krawędzie prostopadłościanu są równe y+4, z+6, x+z, gdzie x, y,z to liczby dodatnie.

R1Qy8rLf1qSla1
A
Ćwiczenie 22

Wykaż, że równość  3-123+4=33-12-1 jest prawdziwa.

classicmobile
Ćwiczenie 23
R1Of55WUHFgFV1
Zadanie interaktywne
static
classicmobile
Ćwiczenie 24
RJLpuSBjn0SnG1
Zadanie interaktywne
static
classicmobile
Ćwiczenie 25
R1TLBahpcGLGS1
Zadanie interaktywne
static

Zadania generatorowe

classicmobile
Ćwiczenie 26
RHR3nj0Dl7QPM1
Zadanie interaktywne
static
classicmobile
Ćwiczenie 27
RBgH25Gch7PsE1
Zadanie interaktywne
static
classicmobile
Ćwiczenie 28
RWfesAkazvkfu1
Zadanie interaktywne
static