Potęga o wykładniku wymiernym

Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Definicja: Potęga o wykładniku

\frac{1}{n}

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczby naturalnej $n$ większej od $1$ przyjmujemy

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} .

Dla liczby naturalnej $n$ większej od $1$ , liczby całkowitej $m$ i liczby dodatniej $a$ przyjmujemy

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

W szczególności, gdy $m = 1$ otrzymujemy $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ . Równość tę przyjmujemy też dla $a = 0$ .
Poznane wcześniej twierdzenia o działaniach na potęgach o całkowitych wykładnikach są prawdziwe również wtedy, gdy wykładnik jest liczbą wymierną. Mamy zatem:

Działania na potęgach

Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej $a$ i dowolnych liczb wymiernych $x$ i $y$ prawdziwe są równości

$a^{x} ∙ a^{y} = a^{x + y}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)
$\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)
${(a^{x})}^{y} = a^{x ∙ y}$ (wzór na potęgę potęgi)

Dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby wymiernej $x$ prawdziwe są równości

$a^{x} ∙ b^{x} = {(a ∙ b)}^{x}$ (wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)
$\frac{a^{x}}{b^{x}} = {(\frac{a}{b})}^{x}$ (wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)

classicmobile

Ćwiczenie 1

RUKPlzcAqbzBe1

Połącz w pary.

$\sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{4}$
${(0.5)}^{\frac{1}{2}}$
$8^{\frac{1}{4}}$
$\sqrt[5]{4}$
$\sqrt{2}$
$\sqrt[4]{4}$
${(0.5)}^{\frac{1}{3}}$
$8^{\frac{1}{5}}$

static

Ćwiczenie 1

Połącz w pary równe liczby.

Dane
I	$\sqrt[3]{2}$	$4^{\frac{1}{3}}$	A
II	$(0, {5)}^{\frac{1}{2}}$	$4^{\frac{1}{5}}$	B
III	$8^{\frac{1}{4}}$	$\sqrt[4]{4}$	C
IV	$\sqrt[3]{4}$	$\sqrt[5]{8}$	D
V	$\sqrt[5]{4}$	$2^{\frac{1}{3}}$	E
VI	$\sqrt{2}$	$\sqrt{0,5}$	F
VII	$4^{\frac{1}{4}}$	$\sqrt[4]{8}$	G
VIII	${(0,5)}^{\frac{1}{3}}$	$\sqrt[3]{0,5}$	H
IX	$8^{\frac{1}{5}}$		I
X	$8^{\frac{1}{3}}$	$2^{\frac{1}{2}}$	J

Przykład 1

Wykażemy, że

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}} .

Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = \sqrt{32} + \sqrt{18} = 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 7 \sqrt{2} .

Po prawej stronie równości postąpimy podobnie

98^{\frac{1}{2}} = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2}

Z tego wynika, że obie strony równości są równe.

32^{\frac{1}{2}} + 18^{\frac{1}{2}} = 98^{\frac{1}{2}}

Przykład 2

Sprawdzimy, czy liczby $x = 3^{\frac{1}{2}} + 2$ oraz $y = {(7 + 4 ∙ 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ są równe.
Podnosimy liczbę do kwadratu

x^{2} = {(3^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

{(3^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 ∙ 2 ∙ 3^{\frac{1}{2}} + 4 = 3 + 4 ∙ 3^{\frac{1}{2}} + 4 = 7 + 4 ∙ 3^{\frac{1}{2}}

Podobnie podnosimy do kwadratu liczbę $y$ .

y^{2} = {({(7 + 4 ∙ 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + 4 ∙ 3^{\frac{1}{2}})}^{1} = 7 + 4 ∙ 3^{\frac{1}{2}}

Zatem

x^{2} = y^{2} .

Liczby $x$ oraz $y$ są dodatnie. Stąd, że ich kwadraty są równe, wynika, że liczby również są równe.

x = y

Zadania, zadania generatorowe

Zadania