Potęga o wykładniku 1n
Definicja: Potęga o wykładniku 1n

Dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n większej od 1 przyjmujemy

a1n=an.

Dla liczby naturalnej n większej od 1, liczby całkowitej m i liczby dodatniej a przyjmujemy

amn=amn

W szczególności, gdy m=1 otrzymujemy  a1n=an. Równość tę przyjmujemy też dla a=0.
Poznane wcześniej twierdzenia o działaniach na potęgach o całkowitych wykładnikach są prawdziwe również wtedy, gdy wykładnik jest liczbą wymierną. Mamy zatem:

Działania na potęgach
Definicja: Działania na potęgach

Dla dowolnej liczby dodatniej a i dowolnych liczb wymiernych xy prawdziwe są równości

  • axay=ax+y (wzór na iloczyn potęg o tych samych podstawach)

  • axa =ax-y (wzór na iloraz potęg o tych samych podstawach)

  • axy=axy (wzór na potęgę potęgi)

Dla dowolnych liczb dodatnich ab oraz dowolnej liczby wymiernej x prawdziwe są równości

  • axbx=abx (wzór na iloczyn potęg o tych samych wykładnikach)

  • axbx =abx (wzór na iloraz potęg o tych samych wykładnikach)

classicmobile
Ćwiczenie 1
RUKPlzcAqbzBe1
Zadanie interaktywne
static
Przykład 1

Wykażemy, że

3212+1812=9812.

Po lewej stronie równości zamieniamy potęgi na pierwiastki.

3212+1812=32+18=42+32=72.

Po prawej stronie równości postąpimy podobnie

9812=98=72

Z tego wynika, że obie strony równości są równe.

3212+1812=9812
Przykład 2

Sprawdzimy, czy liczby x=312+2 oraz y=7+431212 są równe.
Podnosimy liczbę do kwadratu

x2=312+22

Stosujemy wzór na kwadrat sumy.

312+22=3122+22312+4=3+4312+4=7+4312

Podobnie podnosimy do kwadratu liczbę y.

y2=7+4312122=7+43121=7+4312

Zatem

x2=y2.

Liczby x oraz y są dodatnie. Stąd, że ich kwadraty są równe, wynika, że liczby również są równe.

x=y