Zadania

classicmobile

Ćwiczenie 1

R12OxumPnpVlk1

Przeciągnij i upuść.

$\sqrt[3]{0.04}$ , $11^{\frac{5}{2}}$ , $6^{\frac{4}{3}}$ , $6^{\frac{3}{4}}$ , $3^{\frac{3}{2}}$ , $5^{\frac{3}{4}}$ , ${(\sqrt[6]{11})}^{5}$ , ${(\sqrt[3]{5})}^{5}$ , $10^{- \frac{1}{2}}$ , $\sqrt[5]{81}$ , $\sqrt[5]{121}$ , $6^{- \frac{4}{3}}$

$\sqrt{27} =$ ............ , $\sqrt{11^{5}} =$ ............ , $\sqrt[4]{6^{3}} =$ ............ ,
$5^{\frac{5}{3}} =$ ............ , ${(\sqrt[3]{6})}^{4} =$ ............ , $3^{\frac{4}{5}} =$ ............ ,
$\sqrt[4]{125} =$ ............ , $11^{\frac{5}{6}} =$ ............ , $11^{\frac{2}{5}} =$ ............ ,
$\sqrt{0.1} =$ ............ , $5^{- \frac{2}{3}} =$ ............ , $\sqrt[3]{6^{- 4}} =$ ............ ,

static

Ćwiczenie 1

Uzupełnij równości.

$\sqrt{\dots} = 3^{\frac{3}{2}}$
$\sqrt{11^{5}} = 11^{\dots}$
$\sqrt[4]{6^{3}} = 6^{\dots}$
${(\sqrt[3]{\dots})}^{5} = 5^{\frac{5}{3}}$
${(\sqrt[3]{6})}^{4} = 6^{\dots}$
$\sqrt[5]{\dots} = 3^{\frac{4}{5}}$
$\sqrt[4]{125} = 5^{\dots}$
${(\sqrt[6]{11})}^{5} = 11^{\frac{5}{6}}$
$\sqrt[5]{\dots} = 11^{\frac{2}{5}}$
$\sqrt{0,1} = {(\dots)}^{- \frac{1}{2}}$
$\sqrt[\dots]{0,04} = 5^{- \frac{2}{3}}$
$\sqrt[3]{6^{- 4}} = 6^{\dots}$

$\sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}}$
$\sqrt{11^{5}} = 11^{\frac{5}{2}}$
$\sqrt[4]{6^{3}} = 6^{\frac{3}{4}}$
${(\sqrt[3]{5})}^{5} = 5^{\frac{5}{3}}$
${(\sqrt[3]{6})}^{4} = 6^{\frac{4}{3}}$
$\sqrt[5]{81} = 3^{\frac{4}{5}}$
$\sqrt[4]{125} = 5^{\frac{3}{4}}$
${(\sqrt[6]{11})}^{5} = 11^{\frac{5}{6}}$
$\sqrt[5]{121} = 11^{\frac{2}{5}}$
$\sqrt{0, 1} = 10^{- \frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{0, 04} = 5^{- \frac{2}{3}}$
$\sqrt[3]{6^{- 4}} = 6^{- \frac{4}{3}}$
$11^{\frac{6}{5}}, 5^{\frac{3}{5}}, 3^{\frac{5}{4}}, 6^{- \frac{3}{4}}, 4^{\frac{2}{3}}$

Ćwiczenie 2

Zapisz liczbę w postaci potęgi o podstawie $3$ i wykładniku wymiernym.

$\sqrt{243}$
$9 \sqrt[4]{3}$
$3 \sqrt[3]{3}$
$\frac{\sqrt{3^{5}}}{9}$
$\sqrt{\sqrt{3}}$
$\sqrt[3]{3 \sqrt{3}}$

$\sqrt{243} = \sqrt{3^{5}} = 3^{\frac{5}{2}}$
$9 \sqrt[4]{3} = 3^{2} ∙ 3^{\frac{1}{4}} = 3^{2 + \frac{1}{4}} = 3^{\frac{9}{4}}$
$3 \sqrt[3]{3} = 3 ∙ 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$
$\frac{\sqrt{3^{5}}}{9} = \frac{3^{\frac{5}{2}}}{3^{2}} = 3^{\frac{5}{2} - 2} = 3^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}}} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{4}}$
$\sqrt[3]{3 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{3 ∙ 3^{\frac{1}{2}}} = {(3 ∙ 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} ∙ \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}}$

Ćwiczenie 3

Oblicz iloczyn. Wynik zapisz w postaci potęgi o wykładniku wymiernym.

$\sqrt[3]{9} ∙ \sqrt{27}$
$\sqrt[4]{0,2} ∙ \sqrt[3]{25}$
$\sqrt{125} ∙ \sqrt[4]{125}$
$8 \sqrt{2} ∙ 4 \sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{9} ∙ \sqrt{27} = \sqrt[3]{3^{2}} ∙ \sqrt{3^{3}} = 3^{\frac{2}{3}} ∙ 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{13}{6}}$
$\sqrt[4]{0,2} ∙ \sqrt[3]{25} = \sqrt[4]{5^{- 1}} ∙ \sqrt[3]{5^{2}} = 5^{- \frac{1}{4}} ∙ 5^{\frac{2}{3}} = 5^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{3}} = 5^{\frac{5}{12}}$
$\sqrt{125} ∙ \sqrt[4]{125} = \sqrt{5^{3}} ∙ \sqrt[4]{5^{3}} = 5^{\frac{3}{2}} ∙ 5^{\frac{3}{4}} = 5^{\frac{9}{4}}$
$8 \sqrt{2} ∙ 4 \sqrt[3]{2} = 2^{3} ∙ 2^{\frac{1}{2}} ∙ 2^{2} ∙ 2^{\frac{1}{3}} = 2^{3 + \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{35}{6}}$

Ćwiczenie 4

Sprawdź, czy liczba $x = 2 \sqrt[3]{4}$ spełnia nierówność $x < 2^{\frac{7}{3}}$ .

$x = 2 \sqrt[3]{4} = 2 \sqrt[3]{2^{2}} = 2^{1} ∙ 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{3} .}$
Ponieważ $\frac{5}{3} < \frac{7}{3}$ to $2^{\frac{5}{3}} < 2^{\frac{7}{3}}$ , czyli liczba $2^{\frac{5}{3}}$ spełnia nierówność $x < 2^{\frac{7}{3}}$ .

Ćwiczenie 5

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

$5^{- \frac{1}{5}} {, 5^{\frac{1}{5}}, 5^{\frac{2}{3}}, 5}^{\frac{3}{4}}, 5^{- \frac{3}{4}}$ , $5^{- \frac{2}{3}}$
${(0,3)}^{\frac{1}{3}},$ ${(0,3)}^{- 3}$ , ${(0,3)}^{- \frac{1}{2}}$ , ${(0,3)}^{- \frac{5}{6}}$ , ${(0,3)}^{\frac{3}{7}}$ , ${(0,3)}^{\frac{5}{8}}$
$\sqrt[3]{16}$ , $\sqrt[3]{4}$ , $\sqrt[4]{128}$ , $\sqrt[4]{32}$ , $\sqrt[3]{256}$ , $\sqrt{8}$

${5^{- \frac{3}{4}}, 5^{- \frac{2}{3}}, 5}^{- \frac{1}{5}} {, 5^{\frac{1}{5}}, 5^{\frac{2}{3}}, 5}^{\frac{3}{4}}$
${(0, 3)}^{\frac{5}{8}}, {{(0, 3)}^{\frac{3}{7}}, {(0, 3)}^{\frac{1}{3}}, {(0, 3)}^{- \frac{1}{2}}, {(0, 3)}^{- \frac{5}{6}} (0, 3)}^{- 3}$
$\sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{32}, \sqrt[3]{16}, \sqrt{8}, \sqrt[4]{128}, \sqrt[3]{256}$

Ćwiczenie 6

Liczba $5 \sqrt[5]{125} ∙ 0,4 \sqrt[4]{25}$ jest równa

R1ZCBXz0VVexU

$5^{- \frac{1}{10}}$
$2 ∙ 5^{\frac{11}{10}}$
$5^{2 \frac{1}{10}}$
$5^{- 2 \frac{1}{10}}$

Ćwiczenie 7

Dane są liczby $x = \sqrt{2 \sqrt{\sqrt{2}}}$ i $y = \sqrt[8]{32}$ . Prawdziwa jest zależność

R19oonAscNBpw

$x = y$
$x = 2 y$
$x < y$
$x > y$

Ćwiczenie 8

Liczba $4^{\frac{1}{2}} ∙ 64^{- \frac{1}{4}}$ jest równa

R1C37Xuu3GIj4

$\sqrt[4]{4}$
$\sqrt[4]{4^{5}}$
${(\sqrt[4]{0,25})}^{5}$
$\sqrt[4]{0,25}$

Ćwiczenie 9

Liczba $x = \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt{8}}$ spełnia nierówność

R1UYkYcTjSM4T

$x > 2^{\frac{5}{12}}$
${x > 2}^{\frac{1}{12}}$
${x > 2}^{\frac{1}{4}}$
${x > 2}^{\frac{1}{3}}$

Ćwiczenie 10

Dane są liczby $a = {(\sqrt{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , ${b = (\sqrt{3} - 1)}^{\frac{3}{4}}$ , $c = {(\sqrt{3} - 1)}^{\frac{5}{6}}$ . Prawdziwa jest nierówność

RN2KudIAc8XhZ

$b < a < c$
$c < a < b$
$a < b < c$
$c < b < a$

Ćwiczenie 11

Zapisz w postaci potęgi o podstawie $6$ i wykładniku wymiernym.

$\sqrt[4]{216}$
$36 \sqrt[3]{6}$
${(\frac{324}{9})}^{\frac{1}{2}} ∙ \sqrt[4]{36}$
$\frac{1}{36} ∙ {(\sqrt{6})}^{- 2} ∙ \sqrt[3]{6^{8}}$

$6^{\frac{3}{4}}$
$6^{\frac{7}{3}}$
$6^{\frac{3}{2}}$
$6^{- \frac{1}{3}}$

Ćwiczenie 12

R1BOcZQK1cRZH1

Połącz w pary.

$\sqrt{2}$
$\sqrt{3}$
$\sqrt[3]{8}$
$\sqrt[3]{6}$
$\sqrt{5}$

Ćwiczenie 13

Oblicz. Wynik zapisz w postaci potęgi o podstawie będącej liczbą naturalną.

$3^{\frac{2}{3}} ∙ \sqrt[3]{3^{4}} ∙ {(\frac{1}{9})}^{2,5}$
$8 ∙ \sqrt[4]{4} ∙ {(0,5)}^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{\sqrt[4]{6}} ∙ {(\sqrt[3]{36})}^{2} ∙ {(6^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$
${(\frac{1}{8})}^{- 3,5} ∙ {(\frac{1}{4})}^{2,5}$
$9^{0,4} ∙ \sqrt{3^{0,5}} ∙ {(\frac{1}{27})}^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt{27} : 3^{- \frac{5}{2}}$
$\frac{1}{4} \sqrt{8} ∙ {(\frac{1}{64})}^{- 2} ∙ 16^{- 2,5}$
$\frac{5^{- 3} ∙ {(0,2)}^{1,5} ∙ \sqrt{5}}{\sqrt{{0,04}^{3}} ∙ 5^{- 0,5}}$
$\frac{{(0,125)}^{- 3,5} ∙ \sqrt[3]{64} ∙ 4^{\frac{2}{3}}}{{(32 \sqrt{2})}^{- 2}}$

$3^{- 3}$
$2^{3}$
$6^{\frac{1}{3}}$
$2^{5,5}$
$3^{\frac{1}{20}}$
$3^{4}$
$2^{1,5}$
$5^{- \frac{1}{2}}$
$2^{\frac{149}{6}}$

Ćwiczenie 14

Niech $x$ będzie liczbą dodatnią. Oblicz i zapisz wynik w postaci jednej potęgi o podstawie $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} ∙ x^{\frac{3}{4}} ∙ \frac{1}{x}$
$\sqrt{x} ∙ \sqrt[3]{x^{2}} ∙ \sqrt[4]{x^{3}}$
$\frac{x^{- 1,5} ∙ x^{2,5} ∙ x^{3}}{{(x^{3,5})}^{2}}$
$\frac{x^{\frac{3}{2}} ∙ \sqrt[4]{x^{6}} ∙ {(x^{3,5})}^{- 1}}{x^{- 1} ∙ \sqrt{x^{6}}}$
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{3}}}$
${(\sqrt{x^{3}} : \sqrt[4]{x^{5}})}^{- \frac{1}{3}}$
$\sqrt[3]{{(x^{\frac{1}{2}})}^{3} ∙ {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}}$

$x^{\frac{1}{4}}$
$x^{\frac{23}{12}}$
$x^{- 3}$
$x^{- 2,5}$
$x^{\frac{1}{4}}$
$x^{- \frac{1}{12}}$
$x^{- \frac{1}{3}}$

Ćwiczenie 15

R1aRn9sp84WhI1

Przeciagnij liczby z dolnej sekcji do górnej.

liczby mniejsze od $2^{\frac{3}{2}}$
liczby większe od $2^{\frac{3}{2}}$
liczby równe liczbie $2^{\frac{3}{2}}$

Ćwiczenie 16

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

${(2 + 5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 - 5^{\frac{1}{2}})}^{2}$
$(3 - 7^{0,5}) (3 + 7^{0,5})$
${(12^{\frac{1}{2}} - 27^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(12^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{2}})}^{2}$
${({(6 + 11^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + {(6 - 11^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$
${({(4 - 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(4 + 3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$18$
$2$
$- 72$
$22$
$8 - 2 \sqrt{13}$

Ćwiczenie 17

Wykaż, że

$12^{\frac{1}{2}} + 27^{\frac{1}{2}} = 75^{\frac{1}{2}}$
$12^{\frac{1}{2}} + 48^{\frac{1}{2}} = 108^{\frac{1}{2}}$
$32^{\frac{1}{3}} + 108^{\frac{1}{3}} = 500^{\frac{1}{3}}$
$3^{\frac{5}{3}} + 3^{\frac{8}{3}} = 4 ∙ 3^{\frac{5}{3}}$

Wskazówka: zamień potęgi o wykładnikach wymiernych na pierwiastki.

Ćwiczenie 18

Wykaż, że podana równość jest prawdziwa.

${(4 + 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(4 - 12^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 2$
${(14 + {6 ∙ 5}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} + {(14 - {6 ∙ 5}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} = 6$

Wskazówka: podnieś do kwadratu obie strony równości.

Ćwiczenie 19

Wykaż, że ${(6 + 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} - {(6 - 20^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ jest liczbą całkowitą.
Wskazówka: oblicz kwadrat tej liczby.

Potęga o wykładniku wymiernym

Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe