Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe

Już wiesz

Szukając liczb, które spełniają równanie, możemy to równanie przekształcać równoważnie. Stosujemy następujące zasady

po obu stronach równania można wykonać wskazane działania (np. wykorzystując wzory skróconego mnożenia),
do obu stron równania możemy dodać to samo wyrażenie, pod warunkiem że nie zmienimy dziedziny równania (wyrażenia możemy przenosić z jednej strony równania na drugą pod warunkiem zmiany znaku tego wyrażenia na przeciwny),
możemy mnożyć lub dzielić obie strony równania przez dowolną liczbę różną od zera.

Przykład 1

Rozwiąż równanie

\frac{x + 1}{2} = 2 - \frac{x - 3}{4} .

Mnożymy obie strony równania przez $4$ .

2 (x + 1) = 8 - (x - 3)

2 x + 2 = 8 - x + 3

2 x + x = 8 - 2 + 3

3 x = 9

x = 3

Rozwiązaniem równania $\frac{x + 1}{2} = 2 - \frac{x - 3}{4}$ jest liczba $3$ .

Rozwiąż równanie

3 (x - 5) = x + 2 (x + 4) .

Przekształcając kolejno, otrzymujemy

3 (x - 5) = x + 2 (x + 4)

3 x - 15 = x + 2 x + 8

3 x - x - 2 x = 15 + 8

0 ∙ x = 23

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ $0 \neq 23$ . Zatem nie istnieje liczba, która spełnia to równanie. Jest to równanie sprzeczne.

Wyznacz liczby, które spełniają równanie

(x - 3) (x + 2) + 1 = (x - 1) (x + 5) - 5 x .

Po przekształceniach otrzymujemy

x^{2} - 3 x + 2 x - 6 + 1 = x^{2} - x + 5 x - 5 - 5 x

x^{2} - x - 5 = x^{2} - x - 5 .

Po obu stronach równania otrzymaliśmy to samo wyrażenie. Z tego wynika, że równanie jest spełnione dla dowolnej liczby $x$ . Jest to równanie tożsamościowe.

Przykład 2

Rozwiąż nierówność

3 x - 4 < 5 x + 2 .

Przy rozwiązywaniu nierówności możemy wykorzystywać zasady podobne do tych, które pozwalały rozwiązywać równania. Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musimy zmienić zwrot nierówności.

Zapamiętaj!

Obie strony nierówności możemy mnożyć lub dzielić przez dowolną liczbę:

dodatnią – wtedy zachowujemy ten sam zwrot nierówności,
ujemną – wtedy zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny.

W każdym przypadku otrzymamy nierówność równoważną danej.

Przykład 3

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby spełniające nierówność $x > - 3$ .

RYtc7lhDsn3rb1

Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_289

Do zbioru $(- 3, + \infty)$ należą liczby większe od $(- 3)$ . Zbiór taki nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Zapis $x \in (- 3, + \infty)$ oznacza, że liczba $x$ należy do tego przedziału, np. $4 \in (- 3, + \infty)$ , a zapis $x \notin (- 3 + \infty)$ oznacza, że liczba $x$ nie należy do tego przedziału np. $- 5 \notin (- 3 + \infty)$ .

Przykład 4

Prześledzimy rozwiązanie „krok po kroku”.

R62Bw71J8hl2A1

Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_288

Przykład 5

Rozwiąż nierówność

\frac{5 x + 7}{2} > 3 x + 5 .

Przekształcamy nierówność równoważnie.

\frac{5 x + 7}{2} > 3 x + 5

5 x + 7 > 6 x + 10

5 x - 6 x > 10 - 7

- x > 3

x < - 3 .

Rozwiązaniem nierówności $\frac{5 x + 7}{2} > 3 x + 5$ jest każda liczba mniejsza od $(- 3)$ .
Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność $x < - 3$ na osi liczbowej.

R1ILa7fOB7i3N1

Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_290

Zbiór $(- \infty, - 3)$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Należą do niego liczby mniejsze od $(- 3)$ .

Przykład 6

Rozwiąż nierówność

{(x - 2)}^{2} \leq (x + 4) (x + 1) - 9 .

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność.
Rozwiązujemy nierówność.

{(x - 2)}^{2} \leq (x + 4) (x + 1) - 9

x^{2} - 4 x + 4 \leq x^{2} + 4 x + x + 4 - 9

x^{2} - 4 x - 4 x - x - x^{2} \leq 4 - 9 - 4

- 9 x \leq - 9

x \geq 1

Rozwiązaniem nierówności ${(x - 2)}^{2} \leq (x + 4) (x + 1) - 9$ jest każda liczba większa lub równa $1$ .
Zaznaczymy wszytskie liczby spełniające nierówność $x \geq 1$ na osi liczbowej.

R1TrnOTIH8Dzw1

Zbiór $⟨1, \infty)$ nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Należą do niego liczby większe od $1$ , razem z liczbą $1$ .

Przykład 7

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające nierówność

x - 3 \leq \frac{2 x - 3}{5} .

Rozwiążemy nierówność.

x - 3 \leq \frac{2 x - 3}{5}

5 (x - 3) \leq 2 x - 3

5 x - 15 \leq 2 x - 3

3 x \leq 12

x \leq 4

Rozwiązaniem nierówności $x - 3 \leq \frac{2 x - 3}{5}$ jest każda liczba mniejsza lub równa $4$ .
Zaznaczymy wszystkie liczby spełniające nierówność $x \leq 4$ na osi liczbowej.

R1ESCxD2MmEx31

Nierownosci przedzialy odleglosc_atrapa_animacji_292

Zbiór $(- \infty, 4⟩$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Należą do niego liczby mniejsze od $4$ , razem z liczbą $4 .$

Zadania

Przedziały liczbowe. Przedziały jako zbiory