Zadania

Ćwiczenie 1

Liczba $- 3$ jest miejscem zerowym funkcji

R1SQCSxTfd3AY

$y = 2 x - 3$
$y = x + 3$
$y = x - 3$
$y = 7 x + 21$

Ćwiczenie 2

Odczytaj miejsca zerowe funkcji liniowych, których fragmenty wykresów prezentowane są na rysunkach.

RlWuqHYA7ahoa1
RMdBVpaXH4ncS1
R1PfWPithLAJW1
RfGxKeQJVF08C1

$x_{0} = 2$
$x_{0} = 1$
$x_{0} = 2,5$
$x_{0} = 1,25$

Ćwiczenie 3

Wskaż miejsce zerowe funkcji $f (x) = \sqrt{3} x - 9$ .

R1F0Ly4lc75ED

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$3 \sqrt{3}$
$- 3 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 4

Liczba $(- 1)$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = (m + 2) x - 3$ . Wówczas

ROhK7cjXV9lmZ

$m = 0$
$m = 1$
$m = - 5$
$m = 5$

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$ .

RtvGrV3426koW1

Wykres funkcji liniowej malejącej przechodzący przez punkty o współrzędnych (0, 4) i (5, 2).

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że

R1WeX8xkigkYE

funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych
największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $f (x) > 0$ jest $10$
najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $f (x) < 0$ jest $9$

Ćwiczenie 6

Rozwiązanie równania $5 (2 - 3 x) = 1 - 2 (7 x + 3)$ należy do przedziału

RPHeBpUNNVEOx

$"⟨"0, 15"⟩"$
$(10, 20)$
$(- 7, - 3)$
$"⟨"- 19, - 2"⟩"$

Ćwiczenie 7

Rozpatrzmy nierówność $(x - 4) (x + 4) + 14 x < {(x + 7)}^{2}$ . Która z podanych liczb spełnia tę nierówność?

RmWzcDUGMVGyi

$1$
$\frac{3}{4}$
$- 2$
$3 - \sqrt{17}$

Ćwiczenie 8

Funkcja liniowa określona jest wzorem $f (x) = - 5 x + 3$ . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Rb4NDesKM9zZ8

$- 5$
$3$
$- 0,6$
$0,6$

Ćwiczenie 9

Liczba $(- 4)$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = (m - 1) x + 8$ . Wtedy

R1TMXH8nITOz5

$m = 1$
$m = 2$
$m = 3$
$m = 8$

Ćwiczenie 10

Rozwiązaniem równania $3 (2 - x) = 5 - 4 x$ jest liczba

Rsg4WQ0Sz2xCm

$x = - 1$
$x = - 2$
$x = - 3$
$x = - 4$

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$ .

R1K2PZWN4Buvf1

Wykres funkcji liniowej malejącej przecinający oś y w punkcie (0, -3). Do wykresu należą punkty o współrzędnych (-3, 3), (-2, 1).

Funkcja $f$ przyjmuje wartość ujemną dla

RRmM4Qv9cyCg9

$x = - 4$
$x = - 3$
$x = - 2$
$x = - 1$

Ćwiczenie 12

Rozwiązanie równania $x (x + 5) = {(x + 2)}^{2}$ należy do przedziału

RNZQkIdnUN5le

$(- 5, - 2)$
$(- 1, 2)$
$(3, 6)$
$(8, 10)$

Ćwiczenie 13

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność $(x - 6) (x + 6) > x (x - 12)$ to

ROs64yvafpPc3

$4$
$5$
$6$
$12$

Ćwiczenie 14

Funkcja $f (x) = - 3 x - 1$ przyjmuje wartości ujemne dla wszystkich $x$ należących do przedziału

RWXVyCbNmgetV

$(- \infty, \frac{1}{3})$
$(- \infty, - \frac{1}{3})$
$(- \frac{1}{3}, + \infty)$
$(\frac{1}{3}, + \infty)$

Ćwiczenie 15

Wskaż liczbę $m$ , dla której wykres funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f (x) = (m - 1) x + 4$ przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy $x < 2$ .

R1cLKr9KiLbEU

$m = - 3$
$m = - 1$
$m = 1$
$m = 3$

Ćwiczenie 16

Oblicz miejsce zerowe funkcji $f$ określonej wzorem

$f (x) = 3 x - 4$
$f (x) = - \frac{1}{2} x + 5$
$f (x) = \frac{3 x - 7}{4}$
$f (x) = \sqrt{2} x + 6$

$x = \frac{4}{3}$
$x = 10$
$x = \frac{7}{3}$
$x = - 3 \sqrt{2}$

Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = 3 x - 4$ . Szukamy takich $x$ , dla których $3 x - 4 = 0$ . Wtedy $3 x = 4$ , skąd $x = \frac{4}{3}$ . Zatem funkcja $f (x) = 3 x - 4$ ma jedno miejsce zerowe, $x = \frac{4}{3}$ .
Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = - \frac{1}{2} x + 5$ . Szukamy takich $x$ , dla których $- \frac{1}{2} x + 5 = 0$ . Wtedy $- \frac{1}{2} x = - 5$ , skąd $x = 10$ . Zatem funkcja $f (x) = - \frac{1}{2} x + 5$ ma jedno miejsce zerowe, $x = 10$ .
Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = \frac{3 x - 7}{4}$ . Szukamy takich $x$ , dla których $\frac{3 x - 7}{4} = 0$ . Wtedy $\frac{3}{4} x = \frac{7}{4}$ , skąd $x = \frac{7}{3}$ . Zatem funkcja $f (x) = \frac{3 x - 7}{4}$ ma jedno miejsce zerowe, $x = \frac{7}{3}$ .
Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = \sqrt{2} x + 6$ . Szukamy takich $x$ , dla których $\sqrt{2} x + 6 = 0$ . Wtedy $\sqrt{2} x = - 6$ , skąd $x = \frac{- 6}{\sqrt{2}} = \frac{- 6 \sqrt{2}}{2} = - 3 \sqrt{2}$ . Zatem funkcja $f (x) = \sqrt{2} x + 6$ ma jedno miejsce zerowe, $x = - 3 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 17

Liczba $\sqrt{5}$ jest miejscem zerowym funkcji $f (x) = ax - 10$ . Oblicz $a$ .

$a = 2 \sqrt{5}$

Ponieważ liczba $\sqrt{5}$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , to

f (\sqrt{5}) = 0

czyli

a ∙ \sqrt{5} - 10 = 0 .

Stąd otrzymujemy, że

a = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{5 .}

Ćwiczenie 18

Rozwiąż nierówność $\frac{x}{21} - 2 > \frac{2 - x}{19}$ . Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia tę nierówność.

$x > 21$ ; najmniejsza liczba całkowita, która spełnia tę nierówność to $22$ .
Znajdziemy najmniejszą liczbę całkowitą $x$ , która spełnia nierówność

\frac{x}{21} - 2 > \frac{2 - x}{19} .

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

\frac{x - 42}{21} > \frac{2 - x}{19}

\frac{(x - 42)}{21} - \frac{(2 - x)}{19} > 0 .

Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę $21 ∙ 19$ , otrzymujemy nierówność

19 ∙ (x - 42) - 21 ∙ (2 - x) > 0

19 x - 798 - 42 + 21 x > 0

40 x > 840

x > 21 .

A zatem $x = 22$ jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność.

Ćwiczenie 19

Rozwiąż nierówność $3 x (x + 1) + {(x - 1)}^{2} \geq (2 x - 1) (2 x + 1)$ . Zaznacz zbiór jej rozwiązań na osi liczbowej.

$x \geq - 2$

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

3 x^{2} + 3 x + x^{2} - 2 x + 1 \geq 4 x^{2} - 1 .

Po redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy nierówność liniową

x + 1 \geq - 1

x \geq - 2 .

Rozwiązaniem nierówności jest więc każda liczba rzeczywista $x$ nie mniejsza od $- 2 .$

R1WqhWvqKY6L01

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonym przedziałem lewostronnie domkniętym od -2 do nieskończoności. Rozwiązanie zadania.

Ćwiczenie 20

Wykaż, że liczba $2^{12}$ jest rozwiązaniem równania $2^{22} - 1 6^{2} \cdot x - 4^{10} = 8^{7}$ .

Podstawmy za $x$ liczbę $2^{12}$ . Stosując własności działań na potęgach i przekształcając lewą stronę równości, otrzymujemy

2^{22} - 16^{2} ∙ 2^{12} - 4^{10} = 2^{22} - 2^{8} ∙ 2^{12} - 4^{10} =

2^{22} - 2^{20} {- 2}^{20} = 2 ∙ 2^{21} - 2 ∙ 2^{20} = 2 (2^{21} - 2^{20}) = 2 ({2 ∙ 2}^{20} - 2^{20}) =

2 ∙ 2^{20} (2 - 1) = 2^{21} = 2^{3 ∙ 7} = 8^{7} .

Zatem liczba $2^{12}$ jest rozwiązaniem rozważanego równania.

Ćwiczenie 21

Wypisz wszystkie liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności
$x (x + 2) < {(x - 2)}^{2}$ i $\frac{x}{4} + \frac{x + 1}{2} > - 2$ .

$- 3, - 2, - 1, 0$
Znajdziemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówności

x (x + 2) < {(x - 2)}^{2}, \frac{x}{4} + \frac{x + 1}{2} > - 2 .

Przekształcamy równoważnie nierówności.

x^{2} + 2 x < x^{2} - 4 x + 4, \frac{(3 x + 2)}{4} > - 2

6 x < 2, 3 x + 2 > - 8

x < \frac{1}{3}, 3 x > - 10

x < \frac{1}{3}, x > - \frac{10}{3} .

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista $x$ należąca do przedziału $(- \frac{10}{3}, \frac{1}{3})$ .
A zatem liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności to: $- 3, - 2, - 1, 0$ .

Ćwiczenie 22

RbKuZQdl8DwoF1

Połącz w pary nierówności z ich rozwiązaniami.

$2 x - 1 < 3$
$4 x - 5 > 4$
$6 x - 1 \leq 5$
$\frac{2}{3} x - 1 > 4$

Ćwiczenie 23

Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających jednocześnie nierówności
${(2 x - 1)}^{2} < {(2 x + 5)}^{2}, 4 {(3 x + 1)}^{2} \leq 9 {(2 x - 1)}^{2} .$

Przekształcamy równoważnie nierówności.

{4 x}^{2} - 4 x + 1 < 4 x^{2} + 20 x + 25, 36 x^{2} + 24 x + 4 \leq 36 x^{2} - 36 x + 9

- 24 x < 24, 60 x \leq 5

x > - 1, x \leq \frac{1}{12} .

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista $x$ spełniająca warunek $(- 1, \frac{1}{12} >$ .

RlPF2i1GRO2HY1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonym przedziałem prawostronnie domkniętym od -1 do jednej dwunastej. Rozwiązanie zadania.

Ćwiczenie 24

Wypisz wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności
${(x + 3)}^{2} < {(x - 4)}^{2}$ i $(9 x + 7) x \leq {(3 x + 1)}^{2}$ .

$0$

Znajdziemy wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają nierówności

{(x + 3)}^{2} < (x {- 4)}^{2}, (9 x + 7) x \leq {(3 x + 1)}^{2} .

Przekształcamy równoważnie nierówności.

x^{2} + 6 x + 9 < x^{2} - 8 x + 16, 9 x^{2} + 7 x \leq 9 x^{2} + 6 x + 1

14 x < 7, x \leq 1

x < \frac{1}{2}, x \leq 1

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista $x$ spełniająca warunek $x < \frac{1}{2}$ .
A zatem jedyną nieujemną liczbą całkowitą spełniającą nierówności jest liczba $0$ .

Ćwiczenie 25

Wykaż, że nie istnieje liczba rzeczywista $x$ , która spełnia jednocześnie nierówności
$3 x (x - 7) < 2 x^{2} + {(x - 5)}^{2}, \frac{x + 2}{5} - \frac{2 x + 1}{2} > 2 \frac{1}{10} .$

Przekształcamy równoważnie nierówności.

{3 x}^{2} - 21 x < 3 x^{2} - 10 x + 25, - \frac{8 x + 1}{10} > \frac{21}{10}

- 11 x < 25, - 8 x - 1 > 21

x > - \frac{25}{11}, - 8 x > 22

x > - \frac{25}{11} \approx - 2, 27, x < - \frac{11}{4} \approx - 2,75 .

Ponieważ $- \frac{25}{11} > - \frac{11}{4}$ , to nie istnieje liczba rzeczywista $x$ spełniająca jednocześnie warunki $x > - \frac{25}{11}, x < - \frac{11}{4}$ . Zatem nie istnieje liczba rzeczywista, która jednocześnie spełnia podane nierówności.

Nierówność liniowa

Zadania generatorowe