Zadania

Ćwiczenie 1

Dane są liczby $a = \cos^{2} 25 ° + \sin^{2} 25 °$ , $b = \frac{tg 42 °}{\sin 42 °} \cdot \cos 42 °$ . Wówczas

RdTZXnJyC47vN

$a < 2$
$b > 1$
$a = b$

Ćwiczenie 2

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = \frac{3}{4}$ . Wtedy

R8u0jmwMBfoyQ

$co s^{2} α = \frac{7}{8}$
$7 si n^{2} α = 9 co s^{2} α$
$\sin^{4} α + co s^{4} α = 1$

Ćwiczenie 3

Kąt $α$ jest ostry i $tgα = 5$ . Wówczas

RtMPW6ENOrjVc

$\frac{cosα}{sinα} = 0,2$
$sinα = \frac{5}{6}$ i $cosα = \frac{1}{6}$
$sinα = \frac{5 \sqrt{26}}{26}$ i $cosα = \frac{\sqrt{26}}{26}$

Ćwiczenie 4

Kąt $α$ jest ostry i $cosα = \frac{1}{3}$ . Wynika z tego, że

R1Bq5RYYdQi8W

$si n^{2} α = \frac{2}{3}$
$sinα = \frac{8}{9}$
$tgα = 2 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 5

Kąt $α$ jest ostry i $tgα = 2$ . Wówczas

R1cLabia7BhvK

$\frac{cosα + sinα}{sinα - cosα} = 3$
$\frac{6 cosα + sinα}{2 cosα + sinα} = 4$
$\frac{11 sinα + 3 cosα}{cosα + 2 sinα} = 5$

Ćwiczenie 6

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest równość

RJseJ6MH1jFMh

$\frac{{(sinα + cosα)}^{2} - 1}{2} = sinαcosα$
$\frac{1 - (si n^{4} α + co s^{4} α)}{2} = {(sinαcosα)}^{2}$
$si n^{4} α - co s^{4} α = si n^{2} α - co s^{2} α$

Ćwiczenie 7

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest równość

R1JORAwCpbhAd

$co s^{2} α ({tg}^{2} α + si n^{2} α) + co s^{4} α = 1$
${(tgα + \frac{1}{tg α})}^{2} - (t g^{2} α + \frac{1}{t g^{2} α}) = 2$
${(2 sinα + cosα)}^{2} + {(2 cosα - sinα)}^{2} = 3$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest nierówność

R1TxJxVVnNtFj

$tgα > sinα$
$3 sinα + 4 cosα < 5$
$cosα + sinα > 1$

static

Ćwiczenie 8

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest nierówność

R2oVa6rVwpXKN

$tgα > sinα$
$3 sinα + 4 cosα < 5$
$cosα + sinα > 1$

Ćwiczenie 9

Kąt $α$ jest ostry i $sinαcosα = \frac{2}{5}$ . Wtedy

RCPzvfgzaMpU3

$sinα + cosα = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$
${(sinα - cosα)}^{2} = \frac{1}{10}$
$si n^{4} α + co s^{4} α = \frac{17}{25}$

Ćwiczenie 10

Dla każdego kąta ostrego $α$

R1xmd23TFk3Dj

wyrażenie $\sqrt{si n^{4} α + 4 co s^{2} α}$ jest równe $si n^{2} α - 2$
wyrażenie $\sqrt{co s^{4} α + 4 si n^{2} α}$ jest równe $2 - co s^{2} α$
wyrażenie $\sqrt{si n^{4} α + 4 co s^{2} α} + \sqrt{co s^{4} α + 4 si n^{2} α}$ jest równe $3$

Ćwiczenie 11

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = \frac{2}{3}$ . Wtedy liczba $co s^{2} α$ jest równa

RXoz2EKirIGKH

$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{5}{9}$

Ćwiczenie 12

Dla każdego kąta ostrego $α$ wyrażenie $si n^{2} α + (1 - co s^{2} α)$ jest równe

RHvMYb3lALlNN

$1$
$2$
$co s^{2} α$
$2 si n^{2} α$

Ćwiczenie 13

Kąt $α$ jest ostry i $tgα = 1,2$ . Wówczas

Rf4C6Y6yX90ii

$\frac{cosα}{sinα} = \frac{5}{6}$
$\frac{cosα}{sinα} = \frac{36}{25}$
$\frac{cosα}{sinα} = 2$
$\frac{cosα}{sinα} = 5$

Ćwiczenie 14

Wartość wyrażenia $\frac{29 + (\sin 29 ° \cdot \cos 29 ° \cdot tg 29 ° + co s^{2} 29 °)}{61 - (\sin 61 ° \cdot \cos 61 ° \cdot tg 61 ° + co s^{2} 61 °)}$ jest równa

R1PJj9lAoybMF

$\frac{1}{3}$
$\frac{29}{61}$
$\frac{1}{2}$
$1$

Ćwiczenie 15

Kąt $α$ jest ostry i $cosα = 0,7$ . Wynika z tego, że

ROmnrT6Tv0Vg4

$sinα = \frac{3}{10}$
$sinα = \frac{\sqrt{3}}{10}$
$sinα = \frac{\sqrt{51}}{10}$
$sinα = 0,51$

Ćwiczenie 16

Wartość wyrażenia ${(\sin 15 ° + 3 \cos 15 °)}^{2} + {(3 \sin 15 ° - \cos 15 °)}^{2}$ jest równa

RiqcfLqv0kxQs

$1$
$3$
$4$
$10$

Ćwiczenie 17

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = \frac{4}{9}$ . Wtedy liczba $tgα$ jest równa

RbmwKFwxA00Fz

$\frac{4}{5}$
$\frac{4}{\sqrt{65}}$
$\frac{16}{\sqrt{65}}$
$\frac{36}{65}$

Ćwiczenie 18

Dla każdego kąta ostrego $α$ wyrażenie $\frac{si n^{8} α - co s^{8} α}{si n^{4} α + co s^{4} α}$ jest równe

R12syNaaXmY0a

$1$
$2 si n^{2} α - 1$
$2$
$2 si n^{2} α + 1$

Ćwiczenie 19

Kąt $α$ jest ostry i $sinα + cosα = \frac{11}{10}$ . Wtedy iloczyn $sinα \cdot cosα$ jest równy

R4eWwPnPNvRlW

$\frac{21}{200}$
$\frac{11}{200}$
$\frac{21}{100}$
$\frac{11}{100}$

Ćwiczenie 20

Dla każdego kąta ostrego $α$ wartość wyrażenia $si n^{4} α + co s^{4} α$

RRrzjOryFNNxn

jest mniejsza od $1$
jest równa $1$
jest równa $2$
jest większa od $2$

Ćwiczenie 21

Kąt $α$ jest ostry i $co s^{2} α - si n^{2} α = \frac{7}{9}$ . Oblicz.

$co s^{2} α$
$cosα$
$si n^{2} α$
$sinα$

$\frac{8}{9}$
$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{3}$

Wykorzystując tożsamość

\sin^{2} α {+ \cos}^{2} α = 1,

otrzymujemy

\cos^{2} α - (1 - \cos^{2} α) = \frac{7}{9} .

{2 \cos}^{2} α = 1 + \frac{7}{9}

\cos^{2} α = \frac{8}{9}

\sin^{2} α = \frac{1}{9}

Ponieważ $sinα > 0$ i $cosα > 0$ , to

cosα = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

sinα = \frac{1}{3}

Ćwiczenie 22

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = \frac{2}{11}$ . Oblicz.

wartość wyrażenia $5 - 3 co s^{2} α$
$cosα$
wartość wyrażenia $\sqrt{13 t g^{2} α + \frac{7}{3}}$

$\frac{254}{121}$
Z tożsamości
$si n^{2} α + co s^{2} α = 1$ otrzymujemy
$co s^{2} α = 1 - si n^{2} α .$ Zatem
$5 - 3 co s^{2} α = 5 - 3 (1 - si n^{2} α) = 5 - 3 (1 - {(\frac{2}{11})}^{2}) = 5 - 3 \cdot \frac{117}{121} = \frac{254}{121} .$
$\frac{3 \sqrt{13}}{11}$
Z tożsamości
$si n^{2} α + co s^{2} α = 1$
otrzymujemy

$co s^{2} α = 1 - si n^{2} α .$ Zatem $co s^{2} α = 1 - {(\frac{2}{11})}^{2} = \frac{117}{121}$ . Ponieważ $cosα > 0$ , to $cosα = \sqrt{\frac{117}{121}} = \frac{3 \sqrt{13}}{11} .$

$\frac{5}{3}$
Korzystając z podpunktu b), otrzymujemy
$tgα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{\frac{2}{11}}{\frac{3 \sqrt{13}}{11}} = \frac{2}{3 \sqrt{13}}$ .
Zatem
$\sqrt{13 t g^{2} α + \frac{7}{3}} = \sqrt{13 {(\frac{2}{3 \sqrt{13}})}^{2} + \frac{7}{3}} = \sqrt{13 \cdot \frac{4}{9 \cdot 13} + \frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} .$

Ćwiczenie 23

Kąt $α$ jest ostry i $cosα = \frac{\sqrt{11}}{6}$ . Oblicz.

wartość wyrażenia $5 - 12 si n^{2} α$
$sinα$
wartość wyrażenia $4 si n^{2} α - si n^{3} α - sinαco s^{2} α$

$- \frac{10}{3}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{35}{18}$

Ćwiczenie 24

Kąt $α$ jest ostry i $tgα = \frac{5}{2}$ . Oblicz.

$sinα$
$cosα$
wartość wyrażenia $\frac{4 sinα + cosα}{7 cosα - 2 sinα}$

$\frac{5 \sqrt{29}}{29}$
Kąt $α$ jest ostry i $tgα = \frac{5}{2}$ . Obliczymy $sinα$ i $cosα$ .
Jeśli $tgα = \frac{5}{2}$ , to $\frac{sinα}{cosα} = \frac{5}{2}$ , skąd $sinα = \frac{5 cosα}{2}$ . Ponadto $s {in}^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , czyli
${(\frac{5 \cos α}{2})}^{2} + co s^{2} α = 1 .$ Zatem
$\frac{29 co s^{2} α}{4} = 1$ $co s^{2} α = \frac{4}{29} .$ Ponieważ $sinα > 0$ i $cosα > 0$ , to
$cosα = \sqrt{\frac{4}{29}} = \frac{2 \sqrt{29}}{29}, sinα = \frac{5}{2} ∙ \frac{2 \sqrt{29}}{29} = \frac{5 \sqrt{29}}{29} .$
$\frac{2 \sqrt{29}}{29}$
Zauważmy, że $cosα = \frac{2 \sqrt{29}}{29}$ .
$\frac{11}{2}$
Zauważmy, że $\frac{4 sinα + cosα}{7 cosα - 2 sinα} = \frac{4 ∙ \frac{5 \sqrt{29}}{29} + \frac{2 \sqrt{29}}{29}}{7 ∙ \frac{2 \sqrt{29}}{29} - 2 ∙ \frac{5 \sqrt{29}}{29}} = \frac{11}{2}$ .

Ćwiczenie 25

Rozstrzygnij, czy istnieje kąt ostry $α$ , dla którego

RiW4wqMZrZ0wo

$sinα = \frac{2}{7}$ i $cosα = \frac{5}{7}$
$sinα = \frac{2}{7}$ i $tgα = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$
$cosα = \frac{3}{5}$ i $tgα = \frac{3}{4}$
$sinαcosα = \frac{2}{3}$

Ćwiczenie 26

Kąt $α$ jest ostry i $tgα + \frac{1}{tgα} = \frac{10}{3}$ . Oblicz wartość wyrażenia

$sinα + cosα$
$t g^{2} α + \frac{1}{t g^{2} α}$

$\frac{2 \sqrt{10}}{5}$
Przekształcamy lewą stronę równości $tgα + \frac{1}{tgα} = \frac{10}{3}$ . Otrzymujemy
$tgα + \frac{1}{tgα} = \frac{sinα}{cosα} + \frac{cosα}{sinα} = \frac{s {in}^{2} α + c {os}^{2} α}{cosαsinα} = \frac{1}{cosαsinα} .$ Zatem $\frac{1}{cosαsinα} = \frac{10}{3}$ , czyli $cosαsinα = \frac{3}{10}$ .
Zauważmy, że
${(sinα + cosα)}^{2} =$ $\sin^{2} α + 2 sinαcosα + \cos^{2} α =$ $2 sinαcosα + 1$ stąd
$sinα + cosα = \sqrt{2 ∙ \frac{3}{10} + 1 =}$ $\sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ Zatem ${(sinα + cosα)}^{2} = \frac{8}{5}$ . Ponieważ $sinα + cosα > 0$ , ostatecznie otrzymujemy
$sinα + cosα = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{10}}{5} .$
$\frac{82}{9}$
Przekształcamy wyrażenie
${(tgα + \frac{1}{tgα})}^{2} = {tg}^{2} α + 2 + \frac{1}{t g^{2} α}$ ${tg}^{2} α + \frac{1}{{tg}^{2} α} = {(tgα + \frac{1}{tgα})}^{2} - 2 =$ ${(\frac{10}{3})}^{2} - 2 = \frac{82}{3} .$

Ćwiczenie 27

Kąt $α$ jest ostry i $sinα - cosα = \frac{7}{13}$ . Oblicz wartość wyrażenia.

$sinαcosα$
$sinα + cosα$

$\frac{60}{169}$
Podnosząc równość stronami do kwadratu, otrzymujemy $({sinα - cosα)}^{2} = \frac{49}{169} .$
Stąd
$\sin^{2} α - 2 cosα sinα + \cos^{2} α = \frac{49}{169}$ $1 - 2 cosα sinα = \frac{49}{169} .$ Ostatecznie otrzymujemy
$cosα sinα = \frac{60}{169} .$
$\frac{17}{13}$
Zauważmy, że
${(sinα + cosα)}^{2} = 1 + 2 sinαcosα =$ $1 + 2 ∙ \frac{60}{169} =$ $\frac{169 + 120}{169} = \frac{289}{169}$ $sinα + cosα = \frac{17}{13} .$

Ćwiczenie 28

Kąt $α$ jest ostry i $sinα + cosα = 1,4$ . Oblicz wartość wyrażenia.

$sinαcosα$
$si n^{4} α + co s^{4} α$

$\frac{12}{25}$
Podnosząc równość $sinα + cosα = 1,4$ stronami do kwadratu, otrzymujemy ${(sinα + cosα)}^{2} = \frac{49}{25}$ . Przekształcamy, otrzymując
$\sin^{2} α + 2 cosαsinα + \cos^{2} α = \frac{49}{25}$ $1 + 2 cosαsinα = \frac{49}{25} .$ Ostatecznie otrzymujemy
$cosαsinα = \frac{12}{25} .$
$\frac{1}{25}$
Przekształcamy wyrażenie $\sin^{4} α + \cos^{4} α$ , otrzymujemy
$\sin^{4} α + \cos^{4} α = \sin^{4} α + \cos^{4} α + 2 \sin^{2} α \cos^{2} α - 2 \sin^{2} α \cos^{2} α =$ ${(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} - {2 (sinαcosα)}^{2} = 1 - {2 (sinαcosα)}^{2} .$ Ponieważ $sinαcosα = \frac{12}{25}$ , to
$s {in}^{4} α + \cos^{4} α = 1 - {2 (sinαcosα)}^{2} = 1 - 2 ∙ \frac{144}{625} = \frac{337}{625} .$

Ćwiczenie 29

Uzasadnij, że jeżeli $α$ jest kątem ostrym, to

$2 si n^{2} α + co s^{2} α = (1 + t g^{2} α) (1 + si n^{2} α) co s^{2} α$
$si n^{4} α + co s^{4} α = 1 - \frac{2 si n^{2} α}{1 + t g^{2} α}$
$co s^{8} α - si n^{8} α = (co s^{4} α + si n^{4} α) (co s^{2} α - si n^{2} α)$

$2 si n^{2} α + co s^{2} α = (1 + t g^{2} α) (1 + si n^{2} α) co s^{2} α$

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość

2 si n^{2} α + co s^{2} α = (1 + t g^{2} α) (1 + si n^{2} α) co s^{2} α .

Przekształcamy prawą stronę równości

(1 + t g^{2} α) (1 + si n^{2} α) co s^{2} α = (1 + \frac{si n^{2} α}{co s^{2} α}) (1 + si n^{2} α) co s^{2} α =

\frac{1}{\cos^{2} α} (1 + si n^{2} α) co s^{2} α =

1 + si n^{2} α =

si n^{2} α + co s^{2} α + si n^{2} α =

2 si n^{2} α + co s^{2} α

$si n^{4} α + co s^{4} α = 1 - \frac{2 si n^{2} α}{1 + t g^{2} α}$

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość

\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α} .

Przekształcamy prawą stronę równości

1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α} = 1 - \frac{2 si n^{2} α}{1 + \frac{si n^{2} α}{co s^{2} α}} = 1 - \frac{2 si n^{2} α}{\frac{co s^{2} α + si n^{2} α}{co s^{2} α}} = 1 - \frac{2 si n^{2} α}{\frac{1}{co s^{2} α}} = 1 - 2 \sin^{2} α co s^{2} α

Następnie przekształcamy lewą stronę równości

\sin^{4} α + co s^{4} α = si n^{4} α + \cos^{4} α + 2 \sin^{2} α co s^{2} α - 2 \sin^{2} α co s^{2} α =

= {(\sin^{2} α + \cos^{2} α)}^{2} - 2 \sin^{2} α co s^{2} α = 1 - 2 \sin^{2} α co s^{2} α .

Zatem dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość

\sin^{4} α + \cos^{4} α = 1 - \frac{2 \sin^{2} α}{1 + {tg}^{2} α} .

$co s^{8} α - si n^{8} α = (co s^{4} α + si n^{4} α) (co s^{2} α - si n^{2} α)$

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ zachodzi równość

\cos^{8} α - \sin^{8} α = (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (co s^{2} α - \sin^{2} α) .

Przekształcamy lewą stronę równości, stosując odpowiedni wzór skróconego mnożenia

\cos^{8} α - \sin^{8} α = (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (co s^{4} α - \sin^{4} α) =

= (\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{2} α - \sin^{2} α) (\cos^{2} α + \sin^{2} α) =

(\cos^{4} α + \sin^{4} α) (\cos^{2} α - \sin^{2} α) .

Ćwiczenie 30

Uzasadnij, że jeżeli $α$ jest kątem ostrym, to $\sqrt{si n^{4} α - 2 co s^{2} α + 3} + \sqrt{co s^{4} α - 2 si n^{2} α + 3} = 3 .$

Przekształcamy prawą stronę równości

\sqrt{si n^{4} α - 2 co s^{2} α + 3} + \sqrt{co s^{4} α - 2 si n^{2} α + 3} =

\sqrt{si n^{4} α + 2 \sin^{2} α + 1} + \sqrt{co s^{4} α + 2 \cos^{2} α + 1} =

\sqrt{{(\sin^{2} α + 1)}^{2}} + \sqrt{{(\cos^{2} α + 1)}^{2}} = si n^{2} α + 1 + \cos^{2} α + 1 = 3 .

Przykłady

Zadania generatorowe