Przykłady

Przykład 1

Obliczymy wartość wyrażenia

\frac{\sin^{2} 27 ° + \cos^{2} 27 ° - 3}{\cos^{2} 63 ° + \sin^{2} 63 ° + 1} .

Ponieważ dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzi równość

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1,

\sin^{2} 27 ° + \cos^{2} 27 ° = 1, \cos^{2} 63 ° + \sin^{2} 63 ° = 1 .

Wobec tego

\frac{\sin^{2} 27 ° + \cos^{2} 27 ° - 3}{\cos^{2} 63 ° + \sin^{2} 63 ° + 1} = \frac{1 - 3}{1 + 1} = \frac{- 2}{2} = - 1 .

Przykład 2

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = \frac{9}{11}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $co s^{2} α$ .
Ponieważ

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1,

\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α

dla dowolnego kąta ostrego $α$ .
Skoro $sinα = \frac{9}{11}$ , to

\cos^{2} α = 1 - {(\frac{9}{11})}^{2} = 1 - \frac{81}{121} = \frac{40}{121} .

Przykład 3

Kąt $α$ jest ostry i $cosα = \frac{3}{4}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $3 - \frac{sin α}{tg α}$ .
Ponieważ

\frac{sinα}{cosα} = tgα,

\frac{sinα}{tgα} = \frac{sinα}{\frac{sinα}{cosα}} = \frac{sinα \cdot cosα}{sinα} = cosα

Zatem dla $cosα = \frac{3}{4}$ otrzymujemy

3 - \frac{sinα}{tgα} = 3 - cosα = 3 - \frac{3}{4} = 2 \frac{1}{4} .

Przykład 4

Wykażemy, że $\sin 38 ° < tg 38 °$ .
Wiemy, że $\cos$ dowolnego kąta ostrego jest mniejszy od $1$ , więc

\cos 38 ° < 1 .

Mnożymy obie strony nierówności przez liczbę dodatnią $\frac{\sin 38 °}{\cos 38 °}$ .
Zatem

\frac{\sin 38 °}{\cos 38 °} ∙ \cos 38 ° < \frac{\sin 38 °}{\cos 38 °}

Ponieważ

\frac{\sin 38 °}{\cos 38 °} = tg 38 °,

więc

\sin 38 ° < tg 38 °,

co należało wykazać.

Przykład 5

Kąt $α$ jest ostry i $cosα = \frac{\sqrt{5}}{3}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $2 si n^{2} α - co s^{2} α$ .
Korzystając z tożsamości $si n^{2} α + co s^{2} α = 1$ , otrzymujemy

si n^{2} α = 1 - co s^{2} α .

Wobec tego

2 si n^{2} α - \cos^{2} α = 2 (1 - \cos^{2} α) - \cos^{2} α = 2 - 2 \cos^{2} α - \cos^{2} α = 2 - 3 \cos^{2} α .

Dla $cosα = \frac{\sqrt{5}}{3}$ mamy

2 si n^{2} α - \cos^{2} α = 2 - 3 \cdot {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2} = 2 - \frac{3 \cdot 5}{9} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} .

Przykład 6

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = 0,3$ . Obliczymy $cosα$ i $tgα$ .
Korzystając z tożsamości $si n^{2} α + co s^{2} α = 1$ , otrzymujemy $\cos^{2} α = 1 - si n^{2} α$ . Wobec tego dla $sinα = 0,3$ mamy:

co s^{2} α = 1 - si n^{2} α = 1 - {(0,3)}^{2} = 1 - 0,09 = \frac{91}{100},

Ponieważ $cosα > 0$ , więc otrzymujemy

cosα = \frac{\sqrt{91}}{10},

stąd

tgα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{\sqrt{91}}{10}} = \frac{3}{\sqrt{91}} = \frac{3 \sqrt{91}}{91} .

Przykład 7

Kąt $α$ jest ostry i $sinα = \frac{\sqrt{7}}{4}$ . Obliczymy wartość wyrażenia $10 - 9 {tg}^{2} α$ .

$I$ sposób

Skoro $sinα = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , to

co s^{2} α = 1 - si n^{2} α = 1 - {(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2} = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} .

Ponieważ $cosα > 0$ , to $cosα = \frac{3}{4}$ oraz

tgα = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3} .

Stąd

10 - 9 {tg}^{2} α = 10 - 9 \cdot {(\frac{\sqrt{7}}{3})}^{2} = 10 - 9 \cdot \frac{7}{9} = 10 - 7 = 3 .

$II$ sposób

Korzystając z tożsamości stosowanych w poprzednich przykładach, wyrazimy $10 - 9 {tg}^{2} α$ za pomocą $sinα$ .

10 - 9 {tg}^{2} α = 10 - 9 \cdot {(\frac{sinα}{cosα})}^{2} = 10 - 9 \cdot \frac{si n^{2} α}{\cos^{2} α} = 10 - 9 \cdot \frac{si n^{2} α}{1 - si n^{2} α} .

Wtedy dla $sinα = \frac{\sqrt{7}}{4}$ otrzymujemy

10 - 9 {tg}^{2} α = 10 - 9 \cdot \frac{si n^{2} α}{1 - si n^{2} α} = 10 - 9 \cdot \frac{{(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2}}{1 - {(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2}} = 10 - 9 \cdot \frac{7}{16} \cdot \frac{16}{9} = 3 .

Przykład 8

Kąt $α$ jest ostry i $tgα = \frac{\sqrt{11}}{5}$ . Obliczymy $sinα$ i $cosα$ .
Jeśli $tgα = \frac{\sqrt{11}}{5}$ , to $\frac{sinα}{cosα} = \frac{\sqrt{11}}{5}$ , skąd $sinα = \frac{\sqrt{11}}{5} cosα$ . Ponadto $si n^{2} α + co s^{2} α = 1$ , czyli

{(\frac{\sqrt{11}}{5} cosα)}^{2} + co s^{2} α = 1 .

Zatem

\frac{11}{25} co s^{2} α + \cos^{2} α = 1

11 co s^{2} α + 25 \cos^{2} α = 25

36 \cos^{2} α = 25

\cos^{2} α = \frac{25}{36} .

Ponieważ $cosα > 0$ , to

cosα = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}, \sin α = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{\sqrt{11}}{6} .

Przykład 9

Kąt $α$ jest ostry i $tgα = \frac{3}{8}$ . Obliczymy $\frac{2 sinα + cosα}{2 cosα - 6 sinα}$ .

$I$ sposób

Najpierw obliczamy $sinα$ i $cosα$ .
Jeśli $tgα = \frac{3}{8}$ , to $sinα = \frac{3}{8} cosα$ . Ponadto $si n^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , skąd

{(\frac{3}{8} cosα)}^{2} + \cos^{2} α = 1 .

Wobec tego

\frac{9}{64} \cos^{2} α + \cos^{2} α = 1

9 \cos^{2} α + 64 \cos^{2} α = 64

co s^{2} α = \frac{64}{73} .

Ponieważ $cosα > 0$ , to $cosα = \sqrt{\frac{64}{73}} = \frac{8 \sqrt{73}}{73}$ i $sinα = \frac{3}{8} \cdot \frac{8 \sqrt{73}}{73} = \frac{3 \sqrt{73}}{73}$ ,
czyli wartość danego wyrażenia to

\frac{2 sinα + cosα}{2 cosα - 6 sinα} = \frac{2 \cdot \frac{3 \sqrt{73}}{73} + \frac{8 \sqrt{73}}{73}}{2 \cdot \frac{8 \sqrt{73}}{73} - 6 \cdot \frac{3 \sqrt{73}}{73}} = \frac{14 \sqrt{73}}{- 2 \sqrt{73}} = - 7 .

$II$ sposób

Zauważmy, że jeśli $tgα = \frac{3}{8}$ , to $sinα = \frac{3}{8} cosα$ . Uwzględniając tę zależność, otrzymujemy

\frac{2 sinα + cosα}{2 cosα - 6 sinα} = \frac{2 \cdot \frac{3}{8} cosα + cosα}{2 cosα - 6 \cdot \frac{3}{8} cosα} = \frac{\frac{7}{4} cosα}{- \frac{1}{4} cosα} = - 7

$III$ sposób

Korzystając z tożsamości $tgα = \frac{sinα}{cosα}$ , wyrazimy $\frac{2 sinα + cosα}{2 cosα - 6 cosα}$ za pomocą $tgα$

\frac{2 sinα + cosα}{2 cosα - 6 sinα} = \frac{\frac{2 sinα}{cosα} + \frac{cosα}{cosα}}{\frac{2 cosα}{cosα} - \frac{6 sinα}{cosα}} = \frac{2 tgα + 1}{2 - 6 tgα} .

Skoro $tgα = \frac{3}{8}$ , to

\frac{2 sinα + cosα}{2 cosα - 6 sinα} = \frac{2 tgα + 1}{2 - 6 tgα} = \frac{2 \cdot \frac{3}{8} + 1}{2 - 6 \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{7}{4}}{- \frac{1}{4}} = - 7 .

Przykład 10

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $tgα + \frac{1}{tg α} = 9$ , to $t g^{2} α + \frac{1}{t g^{2} α} = 79$ .
Skoro $tgα + \frac{1}{tgα} = 9$ , to

{(tgα + \frac{1}{tgα})}^{2} = 81 .

Stąd

t g^{2} α + 2 tgα \cdot \frac{1}{tgα} + \frac{1}{t g^{2} α} = 81,

czyli

t g^{2} α + 2 + \frac{1}{t g^{2} α} = 81 .

Wynika z tego, że $t g^{2} α + \frac{1}{t g^{2} α} = 79$ , a to właśnie należało wykazać.

Przykład 11

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ wartość wyrażenia ${(sinα + cosα)}^{2} + {(cosα - sinα)}^{2}$ jest równa $2$ .
Przekształcamy wyrażenie

{(sinα + cosα)}^{2} + {(cosα - sinα)}^{2} =

= si n^{2} α + 2 sinαcosα + co s^{2} α + \cos^{2} α - 2 sinαcosα + si n^{2} α =

= 2 si n^{2} α + 2 co s^{2} α = 2 (si n^{2} α + co s^{2} α) .

Korzystamy z tożsamości $si n^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , skąd

{(sinα + cosα)}^{2} + {(cosα - sinα)}^{2} = 2 (si n^{2} α + co s^{2} α) = 2 \cdot 1 = 2,

a to właśnie należało wykazać.

Przykład 12

Wykażemy, że jeżeli kąt $α$ jest ostry i $sinα + cosα = \frac{7}{5}$ , to $si n^{4} α + co s^{4} α = \frac{337}{625}$ .
Jeśli $sinα + cosα = \frac{7}{5}$ , to ${(sinα + cosα)}^{2} = {(\frac{7}{5})}^{2}$ , skąd $si n^{2} α + 2 sinαcos α + co s^{2} α = \frac{49}{25}$ .
Ponieważ $si n^{2} α + co s^{2} α = 1$ , to $2 sinαcosα = \frac{49}{25} - 1$ , czyli $sinαcosα = \frac{12}{25}$ .
Przekształcając tożsamość $si n^{2} α + co s^{2} α = 1$ , otrzymujemy kolejno

{(si n^{2} α + co s^{2} α)}^{2} = 1

si n^{4} α + 2 si n^{2} α \cos^{2} α + co s^{4} α = 1

si n^{4} α + co s^{4} α = 1 - 2 si n^{2} αco s^{2} α

si n^{4} α + co s^{4} α = 1 - 2 {(sinαcosα)}^{2}

Uwzględniając równość $sinαcosα = \frac{12}{25}$ , otrzymujemy

si n^{4} α + co s^{4} α = 1 - 2 \cdot {(\frac{12}{25})}^{2},

skąd

si n^{4} α + co s^{4} α = 1 - \frac{2 \cdot 144}{625} = \frac{337}{625} .

Koniec dowodu.

Przykład 13

W pewnym trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa $\frac{31}{25}$ . Wykażemy, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy $\frac{168}{625}$ .
Oznaczmy przez $α$ i $β$ miary kątów ostrych w danym trójkącie. Wtedy $sinβ = \sin (90 ° - α) = cosα$ .
Z warunków zadania mamy $sinα + sinβ = \frac{31}{25}$ , czyli $sinα + cosα = \frac{31}{25}$ .
Wynika z tego, że

{(sinα + cosα)}^{2} = {(\frac{31}{25})}^{2} = \frac{961}{625} .

Ponadto

{(sinα + cosα)}^{2} = si n^{2} α + 2 sinαcosα + co s^{2} α = 1 + 2 sinαcosα .

Zatem $1 + 2 sinαcosα = \frac{961}{625}$ , skąd

2 sinαcosα = \frac{961}{625} - 1 = \frac{336}{625},

czyli

sinαcosα = \frac{168}{625} .

Koniec dowodu.

Przykład 14

Wykażemy, że dla każdego kąta ostrego $α$ prawdziwa jest nierówność $sinα + cosα \leq \sqrt{2}$ .
Skorzystamy z udowodnionej wcześniej tożsamości

{(sinα + cosα)}^{2} + {(cosα - sinα)}^{2} = 2,

którą przekształcimy do postaci

{(cosα - sinα)}^{2} = 2 - {(sinα + cosα)}^{2} .

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to ${(cosα - sinα)}^{2} \geq 0$ dla dowolnego kąta ostrego $α$ .
Wynika z tego, że

2 - {(sinα + cosα)}^{2} \geq 0,

czyli

{(sinα + cosα)}^{2} \leq 2 .

Stąd

sinα + cosα \leq \sqrt{2 .}

Koniec dowodu.

Tożsamości trygonometryczne

Zadania