Tożsamości trygonometryczne

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy związek między długościami boków w trójkącie prostokątnym (przy oznaczeniach takich jak na rysunku)

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

RplpupsaDTorO1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a.

Oznaczmy przez $α$ miarę kąta ostrego, leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości $a$ . Z definicji sinusa oraz cosinusa kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym mamy

sinα = \frac{a}{c}, c osα = \frac{b}{c} .

Wówczas

{(sinα)}^{2} + {(co s α)}^{2} = {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1 .

Bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa i tangensa kąta ostrego $α$ w trójkącie prostokątnym wynika, że wartość $tgα$ możemy wyrazić za pomocą $\sin α$ i $\cos α$ .

\frac{sinα}{cosα} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = tg α .

Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

Twierdzenie:

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwe są równości

si n^{2} α + co s^{2} α = 1

\frac{sinα}{cosα} = tgα .

Powyższe zależności określają związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego.

Zadania. Część II

Przykłady