Zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi - zadania

Pokaż ćwiczenia:

Ta lekcja poświęcona jest zadaniom związanym z zależnościami pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat trygonometrii, zajrzyj do lekcji Wprowadzenie do trygonometriiD1E6YnyU5Wprowadzenie do trygonometrii. Możesz sobie również przypomnieć, jak dowodzić tożsamości trygonometryczne, w tym celu zajrzyj do lekcji Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - przykładyDg0eB4KyVObliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych - przykłady.

Ćwiczenie 1

Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ostrego $α$ dla przedstawionych poniżej trójkątów.

R1YovhuslZ5jh1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rl4O3oP0UQ3uA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Rym4w04qYOQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R7BRLOoSA0SmX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3lJUKxnr4yuY

Uzupełnij poniższe luki o otrzymane wartości kątów. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdego kąta.

\sin α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

\cos α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

tg α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

\sin α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

\cos α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

tg α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

\sin α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

\cos α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

tg α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

\sin α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

\cos α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

tg α =

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{24}{25}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{5}{12}

, 5.

\frac{40}{41}

, 6.

\frac{40}{9}

, 7.

\frac{8}{15}

, 8.

\frac{7}{25}

, 9.

\frac{12}{13}

, 10.

\frac{8}{17}

, 11.

\frac{9}{41}

, 12.

\frac{15}{17}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $α$ ma długość $5$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $12$ , a przeciwprostokątna ma długość $13$ .
Stąd $\sin α = \frac{5}{13}$ , $\cos α = \frac{12}{13}$ , $tg α = \frac{5}{12}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $40$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $9$ , a przeciwprostokątna ma długość $41$ .
Stąd $sinα = \frac{40}{41}, cosα = \frac{9}{41}, tgα = \frac{40}{9} .$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $8$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $15$ , a przeciwprostokątna ma długość $17$ .
Stąd $\sin α = \frac{8}{17}$ , $\cos α = \frac{15}{17}$ , $tg α = \frac{8}{15}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $7$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $24$ , a przeciwprostokątna ma długość $25$ .
Stąd $\sin α = \frac{7}{25}$ , $\cos α = \frac{24}{25}$ , $tg α = \frac{7}{24}$ .

Ćwiczenie 2

Na rysunku podane są długości boków trójkąta równoramiennego, którego kąt przy podstawie jest równy $α$ . Oblicz ile wynosi $\sin α$ tego kąta.

RhPVMtbCGcIpk1

Rysunek trójkąta równoramiennego ABC o ramionach długości 6 i podstawie długości 4. kąt ostry alfa to kąt przy podstawie trójkąta A B C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXooICpSj198S

$sinα = \frac{1}{3}$
$sinα = \frac{\sqrt{2}}{3}$
$sinα = \frac{2}{3}$
$sinα = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wysokość poprowadzona z wierzchołka $C$ dzieli podstawę trójkąta na dwie równe części.

Ćwiczenie 3

RXGjMFphY1J6p

$\frac{4}{\sqrt{65}}$
$\frac{4}{7}$
$\frac{\sqrt{33}}{7}$
$\frac{7}{\sqrt{65}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wysokość rombu ma długość $4$ .

Ćwiczenie 4

R14iqWIEYIRDw

$\frac{1}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RnSpdTwzcPfrc

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D. Ramiona A D i B C mają długość sześciu centymetrów. Dłuższa podstawa A B ma długość dwunastu centymetrów, a krótsza podstawa C D ma długość sześciu centymetrów. Przekątna A C ma długość a. Wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołka C na dłuższą podstawę ma długość h. Punkt, w którym ta wysokość opada na odcinek A B oznaczono przez E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trapez $A B C D$ jest trapezem równoramiennym. Zauważmy, że odcinek $B E$ ma długość $3$ . W trójkącie $C E B$ , z twierdzenia Pitagorasa mamy

h^{2} + 3^{2} = 6^{2}

h^{2} = 27

h = 3 \sqrt{3}

Analogicznie w trójkącie $A E C$ dostajemy

h^{2} + 9^{2} = a^{2}

{(3 \sqrt{3})}^{2} + 9^{2} = a^{2}

108 = a^{2}

6 \sqrt{3} = a

Wówczas $\sin (∢ B A C) = \frac{h}{a} = \frac{3 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ .

R1A8ZZuDxfQT71

Ćwiczenie 5

$tg 40 ° ∙ \sin 50 °$
$tg 40 ° ∙ \cos 50 °$
$tg 40 ° ∙ tg 50 °$
$tg 40 ° ∙ \sin 50 ° ∙ \cos 50 °$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R3HHrdwTeHy1l

$α > β > γ$
$γ > α > β$
$β > γ > α$
$β > α > γ$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwe są zależności $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ oraz $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Ćwiczenie 7

R14XtwPkbppyl

Dane są długości przyprostokątnych

a

b

trójkąta prostokątnego. Ile wynosi sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

α

, leżącego naprzeciw przyprostokątnej dla podanych przypadków?

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

a = 1

b = 7

\sin α = \frac{\sqrt{215}}{10}

\cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{36}}{2}

, 2.

\sin α = \frac{\sqrt{205}}{15}

\cos α = \frac{2 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{41}}{2}

, 3.

\sin α = \frac{\sqrt{3}}{12}

\cos α = \frac{7 \sqrt{4}}{10}

tg α = \frac{1}{5}

, 4.

\sin α = \frac{\sqrt{2}}{10}

\cos α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}

tg α = \frac{1}{7}

, 5.

\sin α = \frac{1}{3}

\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{4}

, 6.

\sin α = \frac{1}{5}

\cos α = \frac{2 \sqrt{4}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{6}

, 7.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{3}

\cos α = \frac{3}{6}

tg α = \frac{\sqrt{12}}{5}

, 8.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}

\cos α = \frac{3}{4}

tg α = \frac{\sqrt{7}}{3}

a = \sqrt{7}

b = 3

\sin α = \frac{\sqrt{215}}{10}

\cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{36}}{2}

, 2.

\sin α = \frac{\sqrt{205}}{15}

\cos α = \frac{2 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{41}}{2}

, 3.

\sin α = \frac{\sqrt{3}}{12}

\cos α = \frac{7 \sqrt{4}}{10}

tg α = \frac{1}{5}

, 4.

\sin α = \frac{\sqrt{2}}{10}

\cos α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}

tg α = \frac{1}{7}

, 5.

\sin α = \frac{1}{3}

\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{4}

, 6.

\sin α = \frac{1}{5}

\cos α = \frac{2 \sqrt{4}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{6}

, 7.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{3}

\cos α = \frac{3}{6}

tg α = \frac{\sqrt{12}}{5}

, 8.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}

\cos α = \frac{3}{4}

tg α = \frac{\sqrt{7}}{3}

a = 3

b = 6 \sqrt{2}

\sin α = \frac{\sqrt{215}}{10}

\cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{36}}{2}

, 2.

\sin α = \frac{\sqrt{205}}{15}

\cos α = \frac{2 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{41}}{2}

, 3.

\sin α = \frac{\sqrt{3}}{12}

\cos α = \frac{7 \sqrt{4}}{10}

tg α = \frac{1}{5}

, 4.

\sin α = \frac{\sqrt{2}}{10}

\cos α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}

tg α = \frac{1}{7}

, 5.

\sin α = \frac{1}{3}

\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{4}

, 6.

\sin α = \frac{1}{5}

\cos α = \frac{2 \sqrt{4}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{6}

, 7.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{3}

\cos α = \frac{3}{6}

tg α = \frac{\sqrt{12}}{5}

, 8.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}

\cos α = \frac{3}{4}

tg α = \frac{\sqrt{7}}{3}

a = \sqrt{41}

b = 2

\sin α = \frac{\sqrt{215}}{10}

\cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{36}}{2}

, 2.

\sin α = \frac{\sqrt{205}}{15}

\cos α = \frac{2 \sqrt{5}}{15}

tg α = \frac{\sqrt{41}}{2}

, 3.

\sin α = \frac{\sqrt{3}}{12}

\cos α = \frac{7 \sqrt{4}}{10}

tg α = \frac{1}{5}

, 4.

\sin α = \frac{\sqrt{2}}{10}

\cos α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}

tg α = \frac{1}{7}

, 5.

\sin α = \frac{1}{3}

\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{4}

, 6.

\sin α = \frac{1}{5}

\cos α = \frac{2 \sqrt{4}}{3}

tg α = \frac{\sqrt{2}}{6}

, 7.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{3}

\cos α = \frac{3}{6}

tg α = \frac{\sqrt{12}}{5}

, 8.

\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}

\cos α = \frac{3}{4}

tg α = \frac{\sqrt{7}}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $1$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $7$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{1^{2} + 7^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ .
Stąd $\sin α = \frac{1}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$ , $\cos α = \frac{7}{5 \sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ , $tg α = \frac{1}{7}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $\sqrt{7}$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $3$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$ .
Stąd $\sin α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , $\cos α = \frac{3}{4}$ , $tg α = \frac{\sqrt{7}}{3}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $3$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $6 \sqrt{2}$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{9 + 72} = \sqrt{81} = 9$ .
Stąd $\sin α = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ , $\cos α = \frac{6 \sqrt{2}}{9} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ , $tg α = \frac{3}{6 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $\sqrt{41}$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $2$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{41 + 4} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ .
Stąd $\sin α = \frac{\sqrt{41}}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{205}}{15}$ , $\cos α = \frac{2}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ , $tg α = \frac{\sqrt{41}}{2}$ .

Ćwiczenie 8

RUN6TBG2uy5mn

W trójkącie prostokątnym dana jest długość przyprostokątnej

a

i długość przeciwprostokątnej

c

. Ile wynosi sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

β

, leżącego przy drugiej przyprostokątnej dla podanych przypadków?

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

a = 1

c = 7

\sin β = \frac{3 \sqrt{71}}{68}

\cos β = \frac{5 \sqrt{76}}{68}

tg β = \frac{3}{5}

, 2.

\sin β = \frac{3 \sqrt{2}}{5}

\cos β = \frac{\sqrt{7}}{5}

tg β = \frac{3 \sqrt{14}}{7}

, 3.

\sin β = \frac{\sqrt{65}}{15}

\cos β = \frac{3 \sqrt{7}}{15}

tg β = \frac{\sqrt{13}}{5}

, 4.

\sin β = \frac{\sqrt{55}}{10}

\cos β = \frac{3 \sqrt{5}}{10}

tg β = \frac{\sqrt{11}}{3}

, 5.

\sin β = \frac{2 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{3}{7}

tg β = 8 \sqrt{3}

, 6.

\sin β = \frac{4 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{1}{7}

tg β = 4 \sqrt{3}

, 7.

\sin β = \frac{5 \sqrt{2}}{7}

\cos β = \frac{\sqrt{5}}{3}

tg β = \frac{3 \sqrt{12}}{7}

, 8.

\sin β = \frac{5 \sqrt{74}}{74}

\cos β = \frac{7 \sqrt{74}}{74}

tg β = \frac{5}{7}

a = \sqrt{7}

c = 5

\sin β = \frac{3 \sqrt{71}}{68}

\cos β = \frac{5 \sqrt{76}}{68}

tg β = \frac{3}{5}

, 2.

\sin β = \frac{3 \sqrt{2}}{5}

\cos β = \frac{\sqrt{7}}{5}

tg β = \frac{3 \sqrt{14}}{7}

, 3.

\sin β = \frac{\sqrt{65}}{15}

\cos β = \frac{3 \sqrt{7}}{15}

tg β = \frac{\sqrt{13}}{5}

, 4.

\sin β = \frac{\sqrt{55}}{10}

\cos β = \frac{3 \sqrt{5}}{10}

tg β = \frac{\sqrt{11}}{3}

, 5.

\sin β = \frac{2 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{3}{7}

tg β = 8 \sqrt{3}

, 6.

\sin β = \frac{4 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{1}{7}

tg β = 4 \sqrt{3}

, 7.

\sin β = \frac{5 \sqrt{2}}{7}

\cos β = \frac{\sqrt{5}}{3}

tg β = \frac{3 \sqrt{12}}{7}

, 8.

\sin β = \frac{5 \sqrt{74}}{74}

\cos β = \frac{7 \sqrt{74}}{74}

tg β = \frac{5}{7}

a = 3

c = 2 \sqrt{5}

\sin β = \frac{3 \sqrt{71}}{68}

\cos β = \frac{5 \sqrt{76}}{68}

tg β = \frac{3}{5}

, 2.

\sin β = \frac{3 \sqrt{2}}{5}

\cos β = \frac{\sqrt{7}}{5}

tg β = \frac{3 \sqrt{14}}{7}

, 3.

\sin β = \frac{\sqrt{65}}{15}

\cos β = \frac{3 \sqrt{7}}{15}

tg β = \frac{\sqrt{13}}{5}

, 4.

\sin β = \frac{\sqrt{55}}{10}

\cos β = \frac{3 \sqrt{5}}{10}

tg β = \frac{\sqrt{11}}{3}

, 5.

\sin β = \frac{2 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{3}{7}

tg β = 8 \sqrt{3}

, 6.

\sin β = \frac{4 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{1}{7}

tg β = 4 \sqrt{3}

, 7.

\sin β = \frac{5 \sqrt{2}}{7}

\cos β = \frac{\sqrt{5}}{3}

tg β = \frac{3 \sqrt{12}}{7}

, 8.

\sin β = \frac{5 \sqrt{74}}{74}

\cos β = \frac{7 \sqrt{74}}{74}

tg β = \frac{5}{7}

a = 7

c = \sqrt{74}

\sin β = \frac{3 \sqrt{71}}{68}

\cos β = \frac{5 \sqrt{76}}{68}

tg β = \frac{3}{5}

, 2.

\sin β = \frac{3 \sqrt{2}}{5}

\cos β = \frac{\sqrt{7}}{5}

tg β = \frac{3 \sqrt{14}}{7}

, 3.

\sin β = \frac{\sqrt{65}}{15}

\cos β = \frac{3 \sqrt{7}}{15}

tg β = \frac{\sqrt{13}}{5}

, 4.

\sin β = \frac{\sqrt{55}}{10}

\cos β = \frac{3 \sqrt{5}}{10}

tg β = \frac{\sqrt{11}}{3}

, 5.

\sin β = \frac{2 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{3}{7}

tg β = 8 \sqrt{3}

, 6.

\sin β = \frac{4 \sqrt{3}}{7}

\cos β = \frac{1}{7}

tg β = 4 \sqrt{3}

, 7.

\sin β = \frac{5 \sqrt{2}}{7}

\cos β = \frac{\sqrt{5}}{3}

tg β = \frac{3 \sqrt{12}}{7}

, 8.

\sin β = \frac{5 \sqrt{74}}{74}

\cos β = \frac{7 \sqrt{74}}{74}

tg β = \frac{5}{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $1$ , przeciwprostokątna ma długość $7$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{7^{2} - 1^{2}} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ .
Stąd $\sin β = \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ , $\cos β = \frac{1}{7}$ , $tg β = \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{4 \sqrt{3}}{7} \cdot 7 = 4 \sqrt{3}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $\sqrt{7}$ , przeciwprostokątna ma długość $5$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{25 - 7} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ .
Stąd $\sin β = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ , $\cos β = \frac{\sqrt{7}}{5}$ , $tg β = \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{14}}{7}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $3$ , przeciwprostokątna ma długość $2 \sqrt{5}$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{20 - 9} = \sqrt{11}$ .
Stąd $\sin β = \frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{55}}{10}$ , $\cos β = \frac{3}{2 \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ , $tg β = \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{11}}{3}$ .
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $7$ , przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{74}$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{74 - 49} = 5$ .
Stąd $\sin β = \frac{5}{\sqrt{74}} = \frac{5 \sqrt{74}}{74}$ , $\cos β = \frac{7}{\sqrt{74}} = \frac{7 \sqrt{74}}{74}$ , $tg β = \frac{\sin β}{\cos β} = \frac{5 \sqrt{74}}{74} \cdot \frac{74}{7 \sqrt{74}} = \frac{5}{7}$ .

Ćwiczenie 9

RyGwfScbL21TP

Poniżej przedstawiono pewne równości. Oblicz je, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

{(\sin 30 ° + \sin 60 °)}^{2} - 2 \sin 60 ° \cdot \cos 30 °

=

\frac{\sqrt{5} - 3}{2}

, 2.

2

, 3.

1

, 4.

1

, 5.

\frac{\sqrt{3} - 1}{2}

, 6.

3

, 7.

3

, 8.

2

{(\sin 60 ° \cdot tg 30 ° + \cos 30 °)}^{2} - \sin 60 °

=

\frac{\sqrt{5} - 3}{2}

, 2.

2

, 3.

1

, 4.

1

, 5.

\frac{\sqrt{3} - 1}{2}

, 6.

3

, 7.

3

, 8.

2

(tg 30 ° + tg 60 °) \cdot \sin 30 ° \cdot \sin 60 °

=

\frac{\sqrt{5} - 3}{2}

, 2.

2

, 3.

1

, 4.

1

, 5.

\frac{\sqrt{3} - 1}{2}

, 6.

3

, 7.

3

, 8.

2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości $1$ . Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów o miarach $30^{\circ}$ i $60 °$ .

RynIqtzSFeSFA1

Rysunek trójkąta prostokątnego, którego kąt 30 stopni leży naprzeciw przyprostokątnej długości jedna druga a kąt 60 stopni leży naprzeciw przyprostokątnej długości jedna druga pierwiastka z trzech. Przeciwprostokątna ma długość 1. Podany trójkąt i trójkąt do niego symetryczny, względem przyprostokątnej długości jedna druga pierwiastka z trzech, utworzyły trójkąt równoboczny o bokach długości 1 i wysokości jedna druga pierwiastka z trzech. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że
${(\sin 30 ° + \sin 60 °)}^{2} - 2 \sin 60 ° \cdot \cos 30 ° =$
$= {(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$
$= \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{3}{2} =$
$= \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4} - \frac{6}{4} = \frac{2 \sqrt{3} - 2}{4} =$
$= \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ .
Zauważmy, że
${(\sin 60 ° \cdot tg 30 ° + \cos 30 °)}^{2} - \sin 60 ° =$
$= {(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} =$
$= \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$ .
Zauważmy, że
$(tg 30 ° + tg 60 °) \cdot \sin 30 ° \cdot \sin 60 ° =$
$= (\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$
$= \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 1$ .

Ćwiczenie 10

Wykaż, że:

$16 \cdot (\sin 30 ° + \sin^{2} 45 ° + \sin^{4} 60 °) = 25$
$8 \cdot (\cos^{2} 30 ° \cdot \cos^{2} 45 ° + \cos 60 °) = 7$
$tg 30 ° \cdot tg 45 ° \cdot tg 60 ° = 1$

RxtXtnaLGNIlV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozważmy kwadrat o boku długości $1$ . Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kąta o mierze $45 °$ .

RejX78VV926mO1

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramienny o przyprostokątnych długości 1 i przeciwprostokątnej długości jedna druga pierwiastka z dwóch oraz kątach ostrych 45 stopni. Podany trójkąt i trójkąt do niego symetryczny względem przeciwprostokątnej utworzyły kwadrat o boku długości 1 i przekątnej długości jedna druga pierwiastka z dwóch. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że
$16 \cdot (\sin 30 ° + \sin^{2} 45 ° + \sin^{4} 60 °) =$
$= 16 (\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{4}) =$
$= 16 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{9}{16}) = 25$ .
Zauważmy, że
$8 \cdot (\cos^{2} 30 ° \cdot \cos^{2} 45 ° + \cos 60 °) =$
$= 8 ({(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{1}{2}) =$
$= 8 (\frac{6}{16} + \frac{1}{2}) = 7$ .
Zauważmy, że
$tg 30 ° \cdot tg 45 ° \cdot tg 60 ° =$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 1$ .

Ćwiczenie 11

RCqLfTl0zDNud

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\frac{5 \cos 18 ° + 7 \sin 72 °}{17 \sin 72 ° - 11 \cos 18 °} = \frac{5 \cos 18 ° + 7 \sin (90 ° - 18 °)}{17 \sin (90 ° - 18 °) - 11 \cos 18 °} =$
$= \frac{5 \cos 18 ° + 7 \cos 18 °}{17 \cos 18 ° - 11 \cos 18 °} = \frac{12 \cos 18 °}{6 \cos 18 °} = 2$ .
$tg 22 ° \cdot tg 44 ° \cdot tg 46 ° \cdot tg 68 ° =$
$= tg 22 ° \cdot tg 44 ° \cdot tg (90 ° - 44 °) \cdot tg (90 ° - 22 °) =$
$= \frac{tg 22 ° \cdot tg 44 °}{tg 44 ° \cdot tg 22 °} = 1$ .

Ćwiczenie 12

Wykaż, że:

$\cos 72 ° \cdot \cos 28 ° = \sin 62 ° \cdot \sin 18 °$
$\frac{tg 18 °}{tg 54 °} = \frac{tg 36 °}{tg 72 °}$
$(3 \sin 19 ° + 2 \cos 71 °) (\sin 44 ° + 7 \cos 46 °) = 40 \cos 71 ° \sin 44 °$

R1EK3y6zmuLIp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że
$\cos 72 ° \cdot \cos 28 ° = \cos (90 ° - 18 °) \cdot \cos (90 ° - 62 °) =$
$= \sin 62 ° \cdot \sin 18 °$ .
Zauważmy, że
$\frac{tg 18 °}{tg 54 °} = \frac{\frac{1}{tg 72 °}}{\frac{1}{tg 36 °}} = \frac{tg 36 °}{tg 72 °}$ .
Zauważmy, że
$(3 \sin 19 ° + 2 \cos 71 °) (\sin 44 ° + 7 \cos 46 °) =$
$= (3 \sin (90 ° - 71 °) + 2 \cos 71 °) \cdot (\sin 44 ° + 7 \cos (90 ° - 44 °)) =$
$= (3 \cos 71 ° + 2 \cos 71 °) \cdot (\sin 44 ° + 7 \sin 44 °) =$
$= 5 \cos 71 ° \cdot 8 \sin 44 ° = 40 \cos 71 ° \sin 44 °$ .

Ćwiczenie 13

W trójkącie $A B C$ dane są długości boków $|A C| = |B C| = \sqrt{29}$ i $|A B| = 4$ . Oblicz sinus każdego z kątów tego trójkąta.

R42MuOORNUEbj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na początku wyznaczmy wysokość trójkąta $A B C$ , opuszczoną na bok $A B$ . Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa:

$2^{2} + h^{2} = {(\sqrt{29})}^{2}$

$h^{2} = 25$

$h = 5$ .

Zwróć uwagę, że wysokość dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości $2$ i $5$ oraz przeciwprostokątnej długości $\sqrt{29}$ .

Przypomnijmy, że sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej.

Zatem

$\sin (∢ A B C) = \sin (∢ B A C) = \frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$ .

Sinus kąta przy wierzchołku $C$ wyznaczymy, korzystając ze wzoru:

$P_{△} = \frac{1}{2} |A C| |B C| \cdot \sin (∢ A C B)$ .

Pole trójkąta $A B C$ jest równe

$P_{△} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$ ,

stąd

$10 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{29} \cdot \sqrt{29} \cdot \sin (∢ A C B) \Rightarrow \sin (∢ A C B) = \frac{20}{29}$ .

$\sin (∢ A B C) = \sin (∢ B A C) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$
$\sin (∢ A C B) = \frac{20}{29}$

Ćwiczenie 14

R1aj1mYNYFE7N

W trapezie prostokątnym

A B C D

ramię

A D

jest prostopadłe do podstaw

A B

C D

. Boki trapezu mają długości:

|A B| = 21

|A D| = 12

|C D| = 16

. Oblicz wartości kątów dla poniższych przypadków, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

\sin (∢ B A C)

=

\frac{4}{7}

, 2.

\frac{3}{7}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{2}{5}

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

\frac{4}{12}

tg (∢ B D C)

=

\frac{4}{7}

, 2.

\frac{3}{7}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{2}{5}

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

\frac{4}{12}

\cos (∢ A B C)

=

\frac{4}{7}

, 2.

\frac{3}{7}

, 3.

\frac{5}{13}

, 4.

\frac{2}{5}

, 5.

\frac{3}{5}

, 6.

\frac{4}{12}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. Na początku z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość odcinka $A C$ :

$12^{2} + 16^{2} = {|A C|}^{2}$

${|A C|}^{2} = 400$

$|A C| = 20$ .

Zauważmy, że wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołka $C$ ma długość $12$ .

Zatem $\sin (∢ B A C)$ możemy wyznaczyć z powstałego trójkąta o przyprostokątnych długości $12$ i $16$ oraz przeciwprostokątnej długości $20$ .

Stąd dostajemy, że

$\sin (∢ B A C) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

b. Zauważmy, że kąty $B D C$ oraz $A B D$ mają równe miary, ponieważ są kątami naprzemianległymi.

Otrzymujemy zatem, że

$tg (∢ B D C) = tg (∢ A B D) = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ .

c. Zauważmy, że trapez prostokątny $A B C D$ możemy podzielić na dwie osobne figury - prostokąt o bokach długości $12$ i $16$ oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $12$ i $5$ i przeciwprostokątnej długości $13$ .

Zatem $\cos (∢ A B C)$ jest stosunkiem długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $A B C$ do długości przeciwprostokątnej w otrzymanym trójkącie.

Stąd otrzymujemy, że $\cos (∢ A B C) = \frac{5}{13}$ .

Ćwiczenie 15

R6b8ZXmVxoFT5

Długości przekątnych rombu

A B C D

są równe

|A C| = 48

|B D| = 14

tg (∢ C A B)

=

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{5}{26}

, 3.

\frac{9}{22}

, 4.

\frac{336}{625}

, 5.

\frac{7}{25}

, 6.

\frac{333}{652}

\cos (∢ C D B)

=

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{5}{26}

, 3.

\frac{9}{22}

, 4.

\frac{336}{625}

, 5.

\frac{7}{25}

, 6.

\frac{333}{652}

\sin (∢ B A D)

=

\frac{7}{24}

, 2.

\frac{5}{26}

, 3.

\frac{9}{22}

, 4.

\frac{336}{625}

, 5.

\frac{7}{25}

, 6.

\frac{333}{652}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, dzieląc romb na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości $7$ i $24$ oraz przeciwprostokątnej długości $25$ .

a. Tangensem kąta $C A B$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi $C A B$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $C A B$ .

Zatem $tg (∢ B A C) = \frac{7}{24}$ .

b. Cosinusem kąta $C D B$ w trójkącie prostokątnym, nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $C D B$ do długości przeciwprostokątnej.

Zatem $\cos (∢ C D B) = \frac{7}{25}$ .

c. Aby wyznaczyć $\sin (∢ B A D)$ , skorzystajmy z wzoru :

$P_{△} = \frac{1}{2} |A B| |A D| \cdot \sin (∢ B A D)$ .

Wiemy, że $P_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 14 = 168$ , zatem

$168 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 25 \cdot \sin (∢ B A D) \Rightarrow \sin (∢ B A D) = \frac{336}{625}$ .

Ćwiczenie 16

RWlCX8hJW9QSd

W trapezie równoramiennym

A B C D

długości podstaw są równe

|A B| = 11

| C D | = 7

, a każde z ramion ma długość

6

\cos (∢ B A D)

=

\frac{6 \sqrt{2}}{12}

, 2.

\frac{2}{5}

, 3.

\frac{4 \sqrt{226}}{113}

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

\frac{4 \sqrt{216}}{115}

, 6.

\frac{4 \sqrt{2}}{9}

tg (∢ C A B)

=

\frac{6 \sqrt{2}}{12}

, 2.

\frac{2}{5}

, 3.

\frac{4 \sqrt{226}}{113}

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

\frac{4 \sqrt{216}}{115}

, 6.

\frac{4 \sqrt{2}}{9}

\sin (∢ A C D)

=

\frac{6 \sqrt{2}}{12}

, 2.

\frac{2}{5}

, 3.

\frac{4 \sqrt{226}}{113}

, 4.

\frac{1}{3}

, 5.

\frac{4 \sqrt{216}}{115}

, 6.

\frac{4 \sqrt{2}}{9}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. Na początku poprowadźmy wysokość trapezu z wierzchołka $D$ . Zauważmy, że powstał nam trójkąt prostokąty o przyprostokątnej leżącej przy kącie $B A D$ długości $2$ i przeciwprostokątnej długości $6$ .

Przypomnijmy, że cosinusem kąta ostrego alfa w trójkącie prostokątnym, nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa do długości przeciwprostokątnej.

Zatem $\cos (∢ B A D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

b. Zauważmy, że $tg (∢ C A B)$ możemy wyznaczyć rysując trójkąt prostokątny zawarty w tym trapezie. Przeciwprostokątna jest przekątną trapezu, przyprostokątna leżąca przy kącie $C A B$ ma długość $9$ , natomiast druga przyprostokątna jest wysokością trapezu i możemy ją wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa.

Zatem $h^{2} + 2^{2} = 6^{2} \Rightarrow h = 4 \sqrt{2}$ .

Przypomnijmy, że tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie.

Stąd $tg (∢ C A B) = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ .

c. Na początku wyznaczmy pole trójkąta $A C D$ zawartego w trapezie $A B C D$ . Skorzystajmy z wzoru $P_{△} = \sqrt{p (p - 7) (p - 6) (p - |A C|)}$ , gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta.

Długość przekątnej $A C$ możemy wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${(4 \sqrt{2})}^{2} + 9^{2} = {|A C|}^{2} \Rightarrow |A C| = \sqrt{113}$ .

Stąd możemy wyznaczyć, że $p = \frac{13 + \sqrt{113}}{2}$ oraz pole trójkąta $A C D$ wynosi:

$P_{△} = \sqrt{\frac{13 + \sqrt{113}}{2} (\frac{13 + \sqrt{113}}{2} - 7) (\frac{13 + \sqrt{113}}{2} - 6) (\frac{13 + \sqrt{113}}{2} - \sqrt{113})} = 14 \sqrt{2}$ .

Skorzystajmy teraz z wzoru: $P_{△} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{113} \cdot \sin (∢ A C D)$ , czyli

$14 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \sqrt{113} \cdot \sin (∢ A C D) \Rightarrow \sin (∢ A C D) = \frac{4 \sqrt{226}}{113}$ .

Ćwiczenie 17

R4FDTb1v6KAcG

W równoległoboku

A B C D

dane są długości boków

|A B| = 28

|A D| = 17

. Pole tego równoległoboku jest równe

420

, a kąt przy wierzchołku

A

jest ostry. Oblicz wartości kątów dla poniższych przypadków, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami.. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

\sin (∢ B A D)

=

\frac{17}{15}

, 2.

\frac{15}{17}

, 3.

\frac{12}{13}

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{13}{12}

, 6.

\frac{4}{3}

tg (∢ D B A)

=

\frac{17}{15}

, 2.

\frac{15}{17}

, 3.

\frac{12}{13}

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{13}{12}

, 6.

\frac{4}{3}

\cos (∢ C A B)

=

\frac{17}{15}

, 2.

\frac{15}{17}

, 3.

\frac{12}{13}

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{13}{12}

, 6.

\frac{4}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. Niech $S$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $D$ tego równoległoboku. Zauważmy, że wysokość $h$ ma długość: $420 = 28 h \Rightarrow h = 15$ .

Zwróćmy uwagę, że powstał nam trójkąt prostokątny $A D S$ , którego przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $B A D$ ma długość $15$ , a przeciwprostokątna ma długość $17$ .

Przypomnijmy, że sinusem kąta ostrego alfa w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi alfa do długości przeciwprostokątnej, zatem $\sin (∢ B A D) = \frac{15}{17}$ .

b. Aby obliczyć $tg (∢ D B A)$ , wyznaczymy przyprostokątne trójkąta $B D S$ , zawartego w podanym równoległoboku. Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy, że ${|A S|}^{2} + 15^{2} = 17^{2} \Rightarrow |A S| = 8$ , zatem $|S B| = 28 - 8 = 20$ .

Przyprostokątna $D S$ jest wysokością równoległoboku, stąd $|D S| = 15$ .

Wówczas otrzymujemy, że $tg (∢ D B A) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ .

c. Niech $E$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ tego równoległoboku. Korzystając z podpunktu b, skoro $|A S| = 8$ , to $|B E| = 8$ . Stąd otrzymujemy, że $|A E| = 28 + 8 = 36$ .

Wysokość $|D S| = |C E| = 15$ .

Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta $A C E$ :

$36^{2} + 15^{2} = {|A C|}^{2} \Rightarrow |A C| = 39$ .

Stąd otrzymujemy, że $\cos (∢ C A B) = \frac{36}{39} = \frac{12}{13}$ .

Ćwiczenie 18

R1AOFNYr0W682

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

a. Niech $S$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ tego trójkąta. Skoro jego pole jest równe $780$ , to wysokość $C S$ jest równa: $780 = \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot |C S| \Rightarrow |C S| = 40$ .

Z trójkąta prostokątnego $A C S$ dostajemy, że $\sin (∢ B A C) = \frac{40}{41}$ .

b. Z podpunktu a. wiemy, że $|C S| = 40$ . Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość odcinka $A S$ , a następnie długość odcinka $S B$ . Zauważmy, że

$40^{2} + {|A S|}^{2} = 41^{2} \Rightarrow |A S| = 9$ .

Zatem

$|S B| = 39 - 9 = 30$ .

Teraz wyznaczymy długość przeciwprostokątnej trójkąta $B C S$ . Z twierdzenia Pitagorasa mamy $30^{2} + 40^{2} = {|B C|}^{2} \Rightarrow |B C| = 50$ .

Stąd $\cos (∢ A B C) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$ .

c. Niech $E$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $A$ tego trójkąta. Skoro jego pole jest równe $780$ , to wysokość $A E$ jest równa: $780 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot |A E| \Rightarrow |A E| = \frac{156}{5}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy teraz długość odcinka $E C$ :

${(\frac{156}{5})}^{2} + {|E C|}^{2} = 41^{2} \Rightarrow |E C| = \frac{133}{5}$ .

Z trójkąta prostokątnego $A C E$ dostajemy, że $tg (∢ A C B) = \frac{\frac{156}{5}}{\frac{133}{5}} = \frac{156}{133}$ .

Ćwiczenie 19

W rombie $A B C D$ krótsza przekątna ma długość $|B D| = 30$ , a bok $25$ . Wykaż, że $\sin (∢ B A D) = 2 \cdot \sin (∢ C A D) \cdot \cos (∢ C A B)$ .

R16XqFX4g1iuI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sposób $I$ :

$\sin (∢ B A D) = \frac{24}{25}$ , $\sin (∢ C A D) = \frac{3}{5}$ , $\cos (∢ C A B) = \frac{4}{5}$ $\sin (∢ B A D) = \frac{24}{25} = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = 2 \cdot \sin (∢ C A D) \cdot \cos (∢ C A B)$

Sposób $II$ :

Zauważmy, że kąty $C A D$ i $B A C$ mają o połowę mniejszą miarę niż kąt $D A B$ . Oznaczmy zatem $∢ D A B = α$ , $∢ C A D = \frac{α}{2}$ oraz $∢ B A C = \frac{α}{2}$ . Wówczas otrzymujemy

$\sin (α) = \sin (\frac{α}{2} \cdot 2) = 2 \cdot \sin (\frac{α}{2}) \cdot \cos (\frac{α}{2})$ .