W tym materiale poznasz jeden ze wzorów na obliczanie pola trójkąta. Prześledzisz też przykłady, w których zaprezentowane jest użycie tego wzoru oraz funkcji trygonometrycznych w trójkącie. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w Zastosowanie trygonometrii w zadaniach geometrycznychP19GjaF0gZastosowanie trygonometrii w zadaniach geometrycznych.

Sinus kąta można rozważać także dla kąta prostego oraz rozwartego. Wówczas:

sin90°=1

i jeżeli α jest kątem ostrym, to

sin180°-α=sinα.

Z powyższych równości i przykładów zawartych w materiale Zastosowanie trygonometrii w obliczaniu pól figur - przykładyDLgmZokjFZastosowanie trygonometrii w obliczaniu pól figur - przykłady wynika, że pole dowolnego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między nimi.

Pole trójkąta
Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.
Przy oznaczeniach takich jak na rysunku

PABC=12absinγ.
R6o1hKhRqeE6Y
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód:

  1. Niech γ=90°, wówczas sinγ=1, zatem PABC=12absinγ=12ab.

  2. Niech 0°<γ<90°h będzie długością wysokości opuszczonej na bok długości a. Wówczas hb=sinγ, a stąd h=bsinγ. Zatem PABC=12ah=12absinγ.

  3. Niech 90°<γ<180°h będzie długością wysokości opuszczonej na bok długości a. Wówczas hb=sin180°-γ=sinγ, a stąd h=bsinγ. Zatem PABC=12ah=12absinγ.

Ostatecznie PABC=12absinγ.

Przykład 1

W trójkącie ABC dane są długości boków: BC=6, AC=4. Kąt ACB ma miarę 120°. Na boku AB leży taki punkt D, że ACD=60°. Obliczymy długość odcinka CD.
Zauważmy, że pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów ADCBDC.
Ponadto

PABC=12·6·4·sin120°=63.

Oznaczmy CD=x. Wtedy pola trójkątów ADCBDC możemy zapisać za pomocą x.

PADC=12·4·x·sin60°=3x
PBDC=12·x·6·sin60°=332x.

Otrzymujemy równanie

332x+3x=63,

skąd

x=125.

Zatem

CD=2,4.
Przykład 2

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną z wierzchołka C. Wykażemy, że

AC2=AD·AB.

Oznaczmy przez α miarę kąta BAC.

R1Ysxp8G7ejxp
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wówczas w trójkącie ABC

cosα=ACAB,

a w trójkącie ACD

cosα=ADAC.

Stąd

ACAB=ADAC,

czyli

AC2=AD·AB.

W ten sposób dowód został zakończony.

Przykład 3

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości BC=14,8AC=11,1. Kwadrat DEFG jest wpisany w trójkąt ABC tak, że bok DE leży na przeciwprostokątnej AB, a wierzchołki F i G leżą na przyprostokątnych odpowiednio BCAC. Obliczymy długość boku tego kwadratu.

RZ0ytsXSfhS0H
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC obliczamy długość boku AB.

AB2=11,12+14,82
AB2=342,25

Ponieważ AB>0, to

AB=18,5.

Oznaczmy przez x długość boku kwadratu DEFG, a przez α miarę kąta BAC.
Stąd

CGF=α, EFB=α.

Każdy z trójkątów prostokątnych ADG, GCF oraz FEB jest zatem podobny do trójkąta ABC. Wobec tego stosunki długości boków w tych trójkątach możemy wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta α.
W trójkącie ABC

sinα=14,818,5=45, cosα=11,118,5=35.

W trójkącieADG

sinα=xAG,

a w trójkącie CGF

cosα=CGx.

Wynika z tego, że

xAG=45, CGx=35,

skąd

AG=54x, CG=35x.

Ale AG+CG=AC, więc 54x+35x=11110, a zatem 3720x=11110, czyli x=6.
Zatem długość boku kwadratu DEFG jest równa 6.