Zastosowanie trygonometrii w obliczaniu długości odcinków - przykłady

W tym materiale poznasz jeden ze wzorów na obliczanie pola trójkąta. Prześledzisz też przykłady, w których zaprezentowane jest użycie tego wzoru oraz funkcji trygonometrycznych w trójkącie. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w Zastosowanie trygonometrii w zadaniach geometrycznychP19GjaF0gZastosowanie trygonometrii w zadaniach geometrycznych.

Sinus kąta można rozważać także dla kąta prostego oraz rozwartego. Wówczas:

\sin 90 ° = 1

i jeżeli $α$ jest kątem ostrym, to

\sin (180 ° - α) = \sin α

Z powyższych równości i przykładów zawartych w materiale Zastosowanie trygonometrii w obliczaniu pól figur - przykładyDLgmZokjFZastosowanie trygonometrii w obliczaniu pól figur - przykłady wynika, że pole dowolnego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między nimi.

Pole trójkąta

Twierdzenie: Pole trójkąta

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między tymi bokami.
Przy oznaczeniach takich jak na rysunku

P_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin γ

R6o1hKhRqeE6Y

Rysunek trójkąta rozwartokątnego A B C o bokach długości BC =a, CA =b i AB=c. Kąt rozwarty A C B ma miarę gamma. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód:

Niech $γ = 90 °$ , wówczas $\sin γ = 1$ , zatem $P_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin γ = \frac{1}{2} a b$ .
Niech $0 ° < γ < 90 °$ i $h$ będzie długością wysokości opuszczonej na bok długości $a$ . Wówczas $\frac{h}{b} = \sin γ$ , a stąd $h = b \sin γ$ . Zatem $P_{A B C} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a b \sin γ$ .
Niech $90 ° < γ < 180 °$ i $h$ będzie długością wysokości opuszczonej na bok długości $a$ . Wówczas $\frac{h}{b} = \sin (180 ° - γ) = \sin γ$ , a stąd $h = b \sin γ$ . Zatem $P_{A B C} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a b \sin γ$ .

Ostatecznie $P_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin γ$ .

Przykład 1

W trójkącie $A B C$ dane są długości boków: $|B C| = 6$ , $|A C| = 4$ . Kąt $A C B$ ma miarę $120 °$ . Na boku $A B$ leży taki punkt $D$ , że $|∢ A C D| = 60 °$ . Obliczymy długość odcinka $C D$ .
Zauważmy, że pole trójkąta $A B C$ jest równe sumie pól trójkątów $A D C$ i $B D C$ .
Ponadto

P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 120 ° = 6 \sqrt{3}

Oznaczmy $|C D| = x$ . Wtedy pola trójkątów $A D C$ i $B D C$ możemy zapisać za pomocą $x$ .

P_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot \sin 60 ° = \sqrt{3} x

P_{B D C} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 6 \cdot \sin 60 ° = \frac{3 \sqrt{3}}{2} x

Otrzymujemy równanie

\frac{3 \sqrt{3}}{2} x + \sqrt{3} x = 6 \sqrt{3}

skąd

x = \frac{12}{5}

Zatem

|C D| = 2, 4

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym $A B C$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, a punkt $D$ jest spodkiem wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną z wierzchołka $C$ . Wykażemy, że

{|A C|}^{2} = |A D| \cdot |A B|

Oznaczmy przez $α$ miarę kąta $B A C$ .

R1Ysxp8G7ejxp

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C o wysokości CD oraz kącie B A C =alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wówczas w trójkącie $A B C$

\cos α = \frac{|A C|}{|A B|}

a w trójkącie $A C D$

\cos α = \frac{|A D|}{|A C|}

Stąd

\frac{|A C|}{|A B|} = \frac{|A D|}{|A C|}

czyli

{|A C|}^{2} = |A D| \cdot |A B|

W ten sposób dowód został zakończony.

Przykład 3

W trójkącie prostokątnym $A B C$ przyprostokątne mają długości $|B C| = 14, 8$ i $|A C| = 11, 1$ . Kwadrat $D E F G$ jest wpisany w trójkąt $A B C$ tak, że bok $D E$ leży na przeciwprostokątnej $A B$ , a wierzchołki $F$ i $G$ leżą na przyprostokątnych odpowiednio $B C$ i $A C$ . Obliczymy długość boku tego kwadratu.

RZ0ytsXSfhS0H

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C i kwadratu D E F G wpisanego w ten trójkąt. Kąt przy wierzchołku C =90 stopni, a kąt przy wierzchołku A = alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B C$ obliczamy długość boku $A B$ .

{|A B|}^{2} = {(11, 1)}^{2} + {(14, 8)}^{2}

{|A B|}^{2} = 342, 25

Ponieważ $|A B| > 0$ , to

|A B| = 18, 5

Oznaczmy przez $x$ długość boku kwadratu $D E F G$ , a przez $α$ miarę kąta $B A C$ .
Stąd

|∢ C G F| = α

|∢ E F B| = α

Każdy z trójkątów prostokątnych $A D G$ , $G C F$ oraz $F E B$ jest zatem podobny do trójkąta $A B C$ . Wobec tego stosunki długości boków w tych trójkątach możemy wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta $α$ .
W trójkącie $A B C$

\sin α = \frac{14, 8}{18, 5} = \frac{4}{5}

\cos α = \frac{11, 1}{18, 5} = \frac{3}{5}

W trójkącie $A D G$

\sin α = \frac{x}{|A G|}

a w trójkącie $C G F$

\cos α = \frac{|C G|}{x}

Wynika z tego, że

\frac{x}{|A G|} = \frac{4}{5}

\frac{|C G|}{x} = \frac{3}{5}

skąd

|A G| = \frac{5}{4} x

|C G| = \frac{3}{5} x

Ale $|A G| + |C G| = |A C|$ , więc $\frac{5}{4} x + \frac{3}{5} x = \frac{111}{10}$ , a zatem $\frac{37}{20} x = \frac{111}{10}$ , czyli $x = 6$ .
Zatem długość boku kwadratu $D E F G$ jest równa $6$ .