Prostopadłościan - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Prostopadłościan – budowa

Przykład 1

R15iyu90im3Q21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Podstawami prostopadłościanu są przystające prostokąty leżące w płaszczyznach równoległych. Każda ściana boczna jest prostokątem prostopadłym do podstaw.
Prostopadłościan ma $8$ wierzchołków i $12$ krawędzi. Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka nazywamy wymiarami prostopadłościanu. Są to odpowiednio: długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu.

R1WEN7BQDaIW51

Rysunek prostopadłościanu z zaznaczonymi: podstawą górną, podstawą dolną, wierzchołkiem, ścianą boczną, krawędzią podstawy i krawędzią boczną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Suma długości krawędzi prostopadłościanu jest równa $100 cm$ . Obliczymy wysokość $H$ prostopadłościanu, wiedząc, że jego podstawą jest kwadrat o boku długości $3 cm$ .
Obliczamy sumę długości krawędzi podstaw.

2 \cdot 4 \cdot 3 cm = 24 cm

RLQp4cKFah8o51

Rysunek prostopadłościanu o podstawie w kształcie kwadratu i wysokości H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy sumę długości krawędzi bocznych.

100 cm - 24 cm = 76 cm

Obliczamy długość krawędzi bocznej, czyli wysokość prostopadłościanu.

4 \cdot H = 76

H = 76 : 4

H = 19 cm

Wysokość prostopadłościanu jest równa $19 cm$ .

Oświetlając prostopadłościan, zobaczymy na ekranie jego rzut, będący figurą płaską.

Przykład 3

Weź do ręki pudełko zapałek i obracając je w różne strony, spróbuj określić, jakie figury mogą być jego rzutami.

Czy rzutem prostopadłościanu może być trójkąt, prostokąt, pięciokąt, siedmiokąt?

Ciekawostka

Gaspard Monge ( $1746$ - $1818$ ) był francuskim matematykiem, uważanym za ojca geometrii wykreślnej. Był wykładowcą w wojskowej szkole, gdzie nauczał konstruowania twierdz i umocnień militarnych.

Przykład 4

Przypomnij sobie jeden ze sposobów rysowania prostopadłościanu o danej wysokości.

Pamiętaj, że podstawą prostopadłościanu jest prostokąt, który na płaszczyźnie przedstawiamy jako równoległobok.

R7DSpsyPsL9Hx1

R1Ev22eXNwebT1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PSR53ZhW2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Narysuj prostopadłościan, zaczynając rysunek od narysowania jego dwóch ścian bocznych.

Przekątna prostopadłościanu

Definicja: Przekątna prostopadłościanu

Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu leżące na różnych podstawach i różnych ścianach bocznych.

Rjk3H9FtvYWBs1

Na rysunku znajdują się dwa prostopadłościany z zaznaczonymi przekątnymi, które łączą dwa wierzchołki prostopadłościanów znajdujące się na różnych podstawach i przy różnych ścianach bocznych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o długości $4 cm$ , szerokości $3 cm$ .

Przekątna bryły ma długość $13 cm$ . Obliczymy wysokość prostopadłościanu.

RLFT9KvRlSZt71

Na rysunku znajduje się prostopadłościan, który w podstawie ma prostokąt o wymiarach 4 cm na 3 cm. W prostopadłościanie zaznaczona jest jego przekątna, która ma długość 13 cm. Przekątna prostopadłościanu tworzy z jego krawędzią boczną równą h oraz z przekątną podstawy równą d trójkąt prostokątny, gdzie przekątna prostopadłościanu jest przeciwprostokątną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy najpierw długość $d$ $(d > 0)$ przekątnej podstawy prostopadłościanu – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

4^{2} + 3^{2} = d^{2}

16 + 9 = d^{2}

d^{2} = 25

d = 5

Zauważmy teraz, że trójkąt utworzony przez przekątną prostopadłościanu, przekątną podstawy i krawędź boczną $h$ (wysokość) jest prostokątny.

Skorzystamy ponownie z twierdzenia Pitagorasa i obliczymy wysokość prostopadłościanu.

h^{2} + d^{2} = 13^{2}

h^{2} + 5^{2} = 13^{2}

h^{2} + 25 = 169

h^{2} = 144

h = 12

Wysokość prostopadłościanu jest równa $12 cm$ .

Siatka prostopadłościanu

R17qyDXRtXbWa1

RjIncnqfwarFF1

Prostopadłościan jest trójwymiarową bryłą przypominająca klocek. Składa się on z czterech prostokątnych ścian połączonych ze sobą bokami dokładnie w taki sam sposób jak na przykład ściany pokoju. Bryła ta posiada również dwie podstawy: górną i dolną, które w naszym porównaniu byłyby sufitem i podłogą pokoju. Prostopadłościan możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się sześciu figur: dwóch par identycznych prostokątów, czyli przeciwległych ścian oraz dwóch identycznych prostokątów będących podstawami. Oznacza to, że nie wszystkie ściany bryły muszą być identyczne. Prostopadłościan może bowiem być „spłaszczony”.
Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde trzy pary identycznych prostokątów mogą utworzyć prostopadłościan. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody określmy, że nasz prostopadłościan składa się z pary identycznych ścian A, pary identycznych ścian B oraz podstawy górnej i dolnej. Oczywiście ściany A i B mogą być w szczególności identyczne, jeśli tylko podstawy są kwadratami.
1. Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana A. Po bokach tej ściany znajdują przylegające do niej ściany B. Do dolnego boku ściany A przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna, a do dolnego boku dolnej podstawy przylega ściana A.
2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od ściany B. Do jej prawego boku przylega ściana A. Do prawego boku ściany A przylega druga ściana B. Do prawego boku drugiej ściany B przylega druga ściana A, do której górnego i dolnego boku przylegają obie podstawy.

Wykonanie kartonowego modelu prostopadłościanu wymaga skonstruowania jego siatki.

Wielokąty składające się na siatkę są prostokątami, a ich wymiary są równe odpowiednio długości, szerokości i wysokości prostopadłościanu.

Rysując siatkę prostopadłościanu, warto pamiętać, że przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami.

Pole powierzchni prostopadłościanu

Ważne!

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe sumie pól jego podstaw i ścian bocznych.

RrWc8AC4QQ5Yx1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

$P_{c}$ - pole powierzchni całkowitej
$P_{p}$ - pole powierzchni jednej podstawy
$P_{b}$ - pole powierzchni ścian bocznych

P_{c} = 2 a b + 2 a c + 2 b c = 2 (a b + a c + b c)

Przykład 7

Znajomość siatki prostopadłościanu pozwala wyznaczyć jego pole powierzchni. Jest ono równe sumie pól wszystkich wielokątów, z których składa się siatka.

Pole prostopadłościanu o długości $d$ , szerokości $s$ i wysokości $w$ jest sumą sześciu prostokątów parami przystających o wymiarach: $d$ i $s$ , $d$ i $w$ , $s$ i $w$ .

P = 2 (d s + d w + s w)

R1AL2R6tbdNoH1

Ilustracja przedstawia prostopadłościan, który został rozłożony tak, aby powstała jego siatka. Siatka prostopadłościanu składa się z trzech par prostokątów o takich samych wymiarach. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Obliczymy pole powierzchni prostopadłościanu o długości $a = 1, 8 dm$ , szerokości $b = 5 cm$ i wysokości $h = 0, 14 m$ .

Zapiszemy wszystkie wymiary prostopadłościanu w tej samej jednostce, np. w centymetrach.

a = 1, 8 dm = 18 cm

R1aC08hya7qHA1

Rysunek prostopadłościanu, którego krawędzie podstawy mają długość 18 cm i 5 cm, a wysokość ma długość 14 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy pola podstaw jako sumę pól dwóch przystających prostokątów o wymiarach $18 cm$ na $5 cm$ .

2 \cdot P_{p} = 2 \cdot (5 \cdot 18)

2 \cdot P_{p} = 180 {cm}^{2}

Ściany boczne stanowią dwa prostokąty o wymiarach $14 cm$ na $18 cm$ i dwa o wymiarach $14 cm$ na $5 cm$ . Obliczamy pole powierzchni bocznej.

P_{b} = 2 \cdot (14 \cdot 18) + 2 \cdot (14 \cdot 5)

P_{b} = 504 + 140

P_{b} = 644 {cm}^{2}

Obliczamy pole powierzchni całkowitej.

P_{c} = 2 \cdot P_{p} + P_{b}

P_{c} = 180 + 644

P_{c} = 824 {cm}^{2}

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe $824 {cm}^{2}$ .

Przykład 9

Garderoba ma kształt prostopadłościanu bez przedniej ściany i wymiary takie, jak na rysunku. Marek obliczył, że aby pomalować wszystkie ściany musi zużyć pełne $4$ puszki farby. Obliczymy, ile puszek farby musi dokupić, aby pomalować sufit. Jedna puszka farby wystarczy na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni.

R1HLJ3F1IP7ly

Ilustracja przedstawia garderobę bez ściany przedniej. Wysokość tej garderoby to 2,5 metra, jej długość to 2 metry, a jej szerokość to x metrów. — Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Puszka farby wystarczy na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni, a więc $4$ puszki wystarczą na pomalowanie $4 \cdot 5 m^{2} = 20 m^{2}$ powierzchni. Wynika z tego, że pole powierzchni ścian garderoby wynosi $20 m^{2}$ .

Oznaczmy $x$ – szerokość garderoby. Wtedy pole powierzchni ścian garderoby można zapisać w postaci: $2 \cdot 2 \cdot 2, 5 + x \cdot 2, 5$ . Porównujemy otrzymane wielkości i wyznaczamy $x$ .

2 \cdot 2 \cdot 2, 5 + x \cdot 2, 5 = 20

10 + 2, 5 x = 20

2, 5 x = 10

x = 4 m

Obliczamy pole powierzchni sufitu garderoby.

4 m \cdot 2 m = 8 m^{2}

Obliczamy, że na pomalowanie sufitu potrzeba $8 : 5 = 1, 6$ puszki farby.

Marek musi więc dokupić jeszcze $2$ puszki farby.

Objętość prostopadłościanu

Ważne!

Objętość prostopadłościanu to iloczyn jego długości, szerokości i wysokości.

RpltW2AjIuOHp1

Na rysunku znajduje się prostopadłościan o krawędziach długości a, b i c. Obok prostopadłościanu napisany jest wzór na jego objętość, czyli V=abc. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

V = a b c

Przykład 10

Obliczymy wysokość kontenera o kubaturze $70000 {d m}^{3}$ , szerokości $20 dm$ i długości $125 dm$ .

Kubatura to inaczej objętość kontenera. Korzystamy więc ze wzoru na objętość prostopadłościanu i wyznaczamy jego wysokość $h$ .

20 \cdot 125 \cdot h = 70000

h = 70000 : 2500

h = 28 dm = 2, 8 m

Wysokość kontenera wynosi $2, 8 m$ .

Sześcian

Przykład 11

RSdR7hk7e7z0u1

Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe, nazywa się sześcianem.

Siatka sześcianu składa się z sześciu przystających kwadratów. Kwadraty te mogą układać się w jedenaście różnych konfiguracji.

RycTBPzEHKGvd1

R1AB8X4r4qUa01

Sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, którego wszystkie ściany są identyczne i są kwadratami.
Sześcian możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się sześciu takich samych kwadratów. Tak samo jak w przypadku prostopadłościanu, układ siatki nie jest przypadkowy. Nie każde sześć identycznych kwadratów może utworzyć sześcian. Przykłady konstrukcji siatek przedstawimy poniżej. Dla wygody ponumerujemy ściany boczne sześcianu liczbami od 1 do 4.
1. Weźmy górną podstawę bryły. Do jej dolnego boku przylega ściana 1 . Po prawej stronie tej ściany znajdują się kolejno przylegające ściany 2, 3 i 4. Do dolnego boku ściany 1 przylega swoim górnym bokiem podstawa dolna.
2. Drugim przykładem siatki może być siatka tej samej bryły, której opis zaczniemy od górnej podstawy. Do jej prawego boku przylega ściana 1, do lewego boku przylega ściana 2, do górnego boku przylega ściana 3, a do dolnego boku przylega ściana 4 .Do dolnego boku ściany 4 przylega dolna podstawa.

Różne siatki można uzyskać, rozcinając odpowiednio sześcian.

Mając jedną z siatek, pozostałe można uzyskać, przesuwając w odpowiedni sposób kwadraty, z których jest zbudowana.

Ważne!

Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości $a$ jest równe sumie pól sześciu przystających kwadratów o boku długości $a$ .

P = 6 a^{2}

Objętość sześcianu o krawędzi długości a jest równa

V = a^{3}

Przykład 12

Obliczymy pole powierzchni sześcianu, którego objętość jest równa $27 {d m}^{3}$ .

Obliczamy długość $a$ krawędzi sześcianu.

a^{3} = 27

a = \sqrt[3]{27}

a = 3 dm

Obliczamy pole powierzchni sześcianu.

P = 6 a^{2}

P = 6 \cdot 3^{2}

P = 54 {dm}^{2}

Pole powierzchni sześcianu jest równe $54 {dm}^{2}$ .

Przykład 13

Przekątna ściany bocznej sześcianu jest równa $\frac{3}{4} \sqrt{2}$ . Obliczymy objętość sześcianu.

Obliczamy długość $a$ krawędzi sześcianu – korzystamy ze wzoru na przekątną kwadratu.

a \sqrt{2} = \frac{3}{4} \sqrt{2}

a = \frac{3}{4}

Obliczamy objętość sześcianu.

V = {(\frac{3}{4})}^{3}

V = \frac{27}{64}

Objętość sześcianu jest równa $\frac{27}{64}$ .

Ciekawostka

Już w starożytności zastanawiano się, czy można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki krawędzie sześcianu, którego objętość byłaby dwukrotnie większa od objętości danego sześcianu.

Problem ten, zwany podwojeniem sześcianu, starało się rozwiązać wielu matematyków również w czasach nowożytnych. Jednak dopiero w $XIX$ wieku udowodniono, że zadanie to nie ma rozwiązania.

Podwojenie sześcianu, kwadratura koła (czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła) i trysekcja kąta (czyli podział kąta na trzy równe części) tworzą trójkę klasycznych konstrukcji, których nie można wykonać tylko za pomocą cyrkla i linijki.

Ćwiczenie 1

Ryo2uVuzXc3eu1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RnjMbYbmqqz

Oblicz sumy długości krawędzi prostopadłościanów o podanych wymiarach, a następnie uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach

4 cm \times 6 cm \times 10 cm

wynosi 1.

28

, 2.

60

, 3.

64

, 4.

62

, 5.

24

, 6.

22

, 7.

80

, 8.

26

, 9.

70

, 10.

68

, 11.

66

, 12.

90

cm

. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach

2 dm \times 34 cm \times 6 cm

wynosi 1.

28

, 2.

60

, 3.

64

, 4.

62

, 5.

24

, 6.

22

, 7.

80

, 8.

26

, 9.

70

, 10.

68

, 11.

66

, 12.

90

cm

. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach

7 m \times 8 m \times 1 m

wynosi 1.

28

, 2.

60

, 3.

64

, 4.

62

, 5.

24

, 6.

22

, 7.

80

, 8.

26

, 9.

70

, 10.

68

, 11.

66

, 12.

90

m

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R164Z4LF4rFha1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XHigAMvGibO

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o przekątnej długości

a

. Wysokość prostopadłościanu jest równa

H

. Oblicz długość przekątnej

d

prostopadłościanu. Wpisz prawidłowe liczby całkowite w wyznaczone miejsca tak, aby zdania były prawdziwe. W prostopadłościanie, w którym

a = 10

H = 24

długość przekątnej

d

prostopadłościanu wynosi Tu uzupełnij. W prostopadłościanie, w którym

a = 8

H = 15

długość przekątnej

d

prostopadłościanu wynosi Tu uzupełnij. W prostopadłościanie, w którym

a = 7

H = 24

długość przekątnej

d

prostopadłościanu wynosi Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R12t554JzTzbP

Podstawą prostopadłościanu jest wielokąt foremny. Przekątna prostopadłościanu ma długość

25 dm

, a wysokość

24 dm

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole podstawy jest równe 1.

47 + \frac{672}{\sqrt{2}}

, 2.

25, 5

, 3.

\frac{5 \cdot 24 \cdot 7}{\sqrt{2}} = \frac{840}{\sqrt{2}}

, 4.

49 + \frac{672}{\sqrt{2}}

, 5.

24, 5

, 6.

\frac{4 \cdot 24 \cdot 7}{\sqrt{2}} = \frac{672}{\sqrt{2}}

{dm}^{2}

. Pole boczne jest równe 1.

47 + \frac{672}{\sqrt{2}}

, 2.

25, 5

, 3.

\frac{5 \cdot 24 \cdot 7}{\sqrt{2}} = \frac{840}{\sqrt{2}}

, 4.

49 + \frac{672}{\sqrt{2}}

, 5.

24, 5

, 6.

\frac{4 \cdot 24 \cdot 7}{\sqrt{2}} = \frac{672}{\sqrt{2}}

{dm}^{2}

. Pole powierzchni całkowitej jest równe 1.

47 + \frac{672}{\sqrt{2}}

, 2.

25, 5

, 3.

\frac{5 \cdot 24 \cdot 7}{\sqrt{2}} = \frac{840}{\sqrt{2}}

, 4.

49 + \frac{672}{\sqrt{2}}

, 5.

24, 5

, 6.

\frac{4 \cdot 24 \cdot 7}{\sqrt{2}} = \frac{672}{\sqrt{2}}

{dm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że podstawą prostopadłościanu jest kwadrat, którego przekątna ma długość $7 dm$ .

R15EGxiFTz2du2

Ćwiczenie 4

Wysokość prostopadłościanu jest równa

15 cm

, a jego przekątna

25 cm

. Podstawą bryły jest kwadrat. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość przekątnej podstawy wynosi 1.

\frac{1200}{\sqrt{2}} = \frac{1200 \sqrt{2}}{2} = 600 \sqrt{2}

, 2.

100

, 3.

30

, 4.

200

, 5.

\frac{1400}{\sqrt{2}} = \frac{1400 \sqrt{2}}{2} = 700 \sqrt{2}

, 6.

20

cm

. Pole podstawy wynosi 1.

\frac{1200}{\sqrt{2}} = \frac{1200 \sqrt{2}}{2} = 600 \sqrt{2}

, 2.

100

, 3.

30

, 4.

200

, 5.

\frac{1400}{\sqrt{2}} = \frac{1400 \sqrt{2}}{2} = 700 \sqrt{2}

, 6.

20

{cm}^{2}

.Pole powierzchni bocznej 1.

\frac{1200}{\sqrt{2}} = \frac{1200 \sqrt{2}}{2} = 600 \sqrt{2}

, 2.

100

, 3.

30

, 4.

200

, 5.

\frac{1400}{\sqrt{2}} = \frac{1400 \sqrt{2}}{2} = 700 \sqrt{2}

, 6.

20

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1MyyYFWNenJQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLhUrH8W0tKJy

Dopasuj opis prostopadłościanu do odpowiedniego pola powierzchni bocznej. Prostopadłościan o krawędziach długości

5 cm

9 cm

11 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

308 {cm}^{2}

, 2.

120 {cm}^{2}

, 3.

54 {cm}^{2}

Prostopadłościan o krawędziach długości

1 cm

3 cm

8 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

308 {cm}^{2}

, 2.

120 {cm}^{2}

, 3.

54 {cm}^{2}

Prostopadłościan o krawędziach długości

2 cm

6 cm

6 cm

. Możliwe odpowiedzi: 1.

308 {cm}^{2}

, 2.

120 {cm}^{2}

, 3.

54 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RYi5o0XNWEbzg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RLP2XCfeutmNY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby obliczyć wymiary tego prostopadłościanu należy rozwiązać równanie $x \cdot 4 x \cdot 8 x = 256 ({cm}^{3})$ , gdzie $x$ jest szerokością prostopadłościanu.

Ćwiczenie 8

Pojemnik na wodę ma kształt prostopadłościanu. Pole powierzchni kwadratowej podstawy pojemnika jest równe $400 {cm}^{2}$ . Pole powierzchni ściany bocznej wynosi $60 {cm}^{2}$ . Oblicz objętość tego pojemnika.

Rqb2KmGJZpF5t

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Krawędź podstawy jest równa $20 cm$ , wysokość - $3 cm$ .

Objętość jest równa $1200 {cm}^{3}$ .

Ćwiczenie 9

Pojemnik z wodą ma kształt prostopadłościanu o podstawie w kształcie prostokąta o wymiarach $80 cm$ na $60 cm$ . Wysokość pojemnika wynosi $34 cm$ . Do pojemnika wrzucono metalowy klocek, który całkowicie zanurzył się w wodzie. Poziom wody podniósł się o $2 cm$ . Jaką objętość ma klocek?

R1arjAIfYnDiU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Klocek ma objętość równą $80 cm \cdot 60 cm \cdot 2 cm = 9600 {cm}^{3}$ .

RspKAVIp15fEw2

Ćwiczenie 10

Jak zmieni się objętość prostopadłościanu, kiedy wykonamy poniższe czynności? Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeżeli podstawy nie zmienimy, a wysokość zwiększymy trzykrotnie, to objętość 1. jednokrotnie, 2.

135

, 3.

115

, 4. zwiększy, 5. zwiększy, 6. trzykrotnie, 7. zmniejszy, 8. czterokrotnie, 9. pięciokrotnie, 10.

105

, 11. sześciokrotnie, 12. zmniejszy, 13.

125

, 14. dwukrotnie się 1. jednokrotnie, 2.

135

, 3.

115

, 4. zwiększy, 5. zwiększy, 6. trzykrotnie, 7. zmniejszy, 8. czterokrotnie, 9. pięciokrotnie, 10.

105

, 11. sześciokrotnie, 12. zmniejszy, 13.

125

, 14. dwukrotnie. Jeżeli wysokości nie zmienimy, a każdą z krawędzi podstawy zwiększymy dwukrotnie, to objętość 1. jednokrotnie, 2.

135

, 3.

115

, 4. zwiększy, 5. zwiększy, 6. trzykrotnie, 7. zmniejszy, 8. czterokrotnie, 9. pięciokrotnie, 10.

105

, 11. sześciokrotnie, 12. zmniejszy, 13.

125

, 14. dwukrotnie się 1. jednokrotnie, 2.

135

, 3.

115

, 4. zwiększy, 5. zwiększy, 6. trzykrotnie, 7. zmniejszy, 8. czterokrotnie, 9. pięciokrotnie, 10.

105

, 11. sześciokrotnie, 12. zmniejszy, 13.

125

, 14. dwukrotnie. Jeżeli wszystkie krawędzie graniastosłupa zwiększymy pięciokrotnie, to objętość będzie 1. jednokrotnie, 2.

135

, 3.

115

, 4. zwiększy, 5. zwiększy, 6. trzykrotnie, 7. zmniejszy, 8. czterokrotnie, 9. pięciokrotnie, 10.

105

, 11. sześciokrotnie, 12. zmniejszy, 13.

125

, 14. dwukrotnie razy większa.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R1NVyvVJs6iH12

Przekątna jednej ściany bocznej prostopadłościanu ma długość

10

i tworzy z krawędzią boczną kąt

30 °

. Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Oblicz i przeciągnij w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Zdanie uzupełnij liczbami w kolejności rosnącej. Długości krawędzi wynoszą odpowiednio: 1.

5

, 2.

2

, 3.

2

, 4.

2 \sqrt{3}

, 5.

4

, 6.

5

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

4

, 9.

5 \sqrt{3}

,

5

, 2.

2

, 3.

2

, 4.

2 \sqrt{3}

, 5.

4

, 6.

5

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

4

, 9.

5 \sqrt{3}

,

5

, 2.

2

, 3.

2

, 4.

2 \sqrt{3}

, 5.

4

, 6.

5

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

4

, 9.

5 \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj fakt, że przekątna ściany bocznej tworzy z jej krawędziami trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

R1TbgmkZNJjoT

Ćwiczenie 12

R4ViIDBhfNd5A2

Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

60 °

. Podstawą jest kwadrat o boku długości

4

. Oblicz wysokość tego prostopadłościanu oraz długość jego przekątnej. Uzupełnij zdanie, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość przekątnej jest równa 1.

4 \sqrt{3}

, 2.

4 \sqrt{2}

, 3.

2 \sqrt{6}

, 4.

4 \sqrt{6}

, 5.

8 \sqrt{3}

, 6.

8 \sqrt{2}

, wysokość prostopadłościanu wynosi
1.

4 \sqrt{3}

, 2.

4 \sqrt{2}

, 3.

2 \sqrt{6}

, 4.

4 \sqrt{6}

, 5.

8 \sqrt{3}

, 6.

8 \sqrt{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj fakt, że przekątna prostopadłościanu tworzy z przekątną podstawy i krawędzią boczną prostopadłościanu trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

RoqeB9Y7qrMnm

RDwnHlIk2xkcb2

Ćwiczenie 13

Dany jest sześcian o krawędzi długości

2 cm

. Oblicz podane wielkości. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Pole powierzchni sześcianu wynosi 1.

2 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{3}

, 3.

24^{}

, 4.

6^{}

, 5.

22^{}

, 6.

8^{}

{cm}^{2}

. Objętość sześcianu wynosi 1.

2 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{3}

, 3.

24^{}

, 4.

6^{}

, 5.

22^{}

, 6.

8^{}

{cm}^{3}

. Długość

d

przekątnej ściany bocznej wynosi 1.

2 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{3}

, 3.

24^{}

, 4.

6^{}

, 5.

22^{}

, 6.

8^{}

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rjw9mIv9DZ1KV2

Ćwiczenie 14

$49$
$84$
$28$
$343$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RlzIj0wo05wmt2

Ćwiczenie 15

$6 \sqrt{2} dm$
$8 \sqrt{2} dm$
$4 dm$
$4 \sqrt{2} dm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVvWh9w7FzDw12

Ćwiczenie 16

większa od $1,5$
mniejsza od $1,4$
większa od $2$
mniejsza od $1,2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

RNFYsfd4hDxWn2

Oblicz. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości

10 cm

wynosi 1.

10 \sqrt{3}

, 2.

2 a^{2}

, 3.

\frac{a^{2}}{\sqrt{27}}

, 4.

\frac{\sqrt{3}}{9}

, 5.

10 \sqrt{2}

, 6.

2^{}

cm

. Objętość sześcianu o przekątnej długości

1 m

wynosi 1.

10 \sqrt{3}

, 2.

2 a^{2}

, 3.

\frac{a^{2}}{\sqrt{27}}

, 4.

\frac{\sqrt{3}}{9}

, 5.

10 \sqrt{2}

, 6.

2^{}

m^{3}

. Pole powierzchni sześcianu o przekątnej długości

a

wynosi 1.

10 \sqrt{3}

, 2.

2 a^{2}

, 3.

\frac{a^{2}}{\sqrt{27}}

, 4.

\frac{\sqrt{3}}{9}

, 5.

10 \sqrt{2}

, 6.

2^{}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

R13p2SQhQklsE2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że sześcian ma $12$ krawędzi tej samej długości. Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu to $P_{c} = 6 \cdot a^{2}$ , a wzór na objętość sześcianu to $V = a^{3}$ . W obu tych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu.

RRv8tjRxIpY7e2

Ćwiczenie 19

Każdy sześcian jest prostopadłościanem.
Przekątne w prostopadłościanie są tej samej długości.
Każdy prostopadłościan można przedstawić jako sumę sześcianów.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Mc8oXbsSbcn3

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

RB4k4GqRbRwiS3

Prostopadłościenny litrowy pojemnik wypełniony jest wodą. Dno pojemnika ma wymiary

4 cm

3 cm

. Z pojemnika odlano

0, 24 l

wody. O ile centymetrów obniżył się poziom wody w pojemniku? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Poziom wody obniżył się o 1.

25

, 2.

20

, 3.

15

, 4.

30

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz jaką wysokość miał słup wody w pojemniku, kiedy był w nim litr wody oraz po odlaniu części wody. Następnie porównaj ze sobą otrzymane wyniki. Pamiętaj, że $1 l = 1 {dm}^{3}$ .

RoS9p0bztvQSc3

Ćwiczenie 22

W ilu co najmniej kartonach zmieści się litr soku, jeśli kartony mają wymiary zewnętrzne

5 cm \times 10 cm \times 20 cm

? Przyjmij, że grubość ścianki wynosi

0, 5 mm

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeden karton ma pojemność 1.

2

, 2.

965, 349^{}

, 3.

4

, 4.

945, 319^{}

, 5.

946, 359^{}

, 6.

3

{cm}^{3}

. Zatem potrzeba co najmniej 1.

2

, 2.

965, 349^{}

, 3.

4

, 4.

945, 319^{}

, 5.

946, 359^{}

, 6.

3

kartony.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Zaprojektuj prostopadłościenny kuferek, który będzie miał taką samą objętość, jak pudełko o pojemności $42 l$ .

Rvo2qIfwsSuiZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jakie wymiary może mieć prostopadłościenny kuferek,który będzie miał taką samą objętość, jak pudełko o pojemności $42 l$ ?

R1PTiV2QS7GLx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$42 l = 42 {dm}^{3}$ .

Kuferek może mieć wymiary $7 dm$ na $3 dm$ na $2 dm$ .

RpGafadwdKjGJ

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.