Współrzędne wierzchołka paraboli - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są wiadomości dotyczące współrzędnych wierzchołka paraboli. Przypomnisz sobie, w jaki sposób wyznaczyć współrzędne takiego wierzchołka. Wyznaczysz dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji kwadratowej, znając współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem.

Ważne!

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ma współrzędne $(p, q)$ , gdzie $p = - \frac{b}{2 a}$ oraz $q = - \frac{Δ}{4 a}$ .

Zauważmy też, że współrzędne wierzchołka paraboli spełniają warunek $q = f (p)$ .

Przykład 1

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka $W$ paraboli o równaniu

$y = x^{2} - 2 x + 10$
Odczytujemy $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 10$ , stąd $p = \frac{- (- 2)}{2 \cdot 1} = 1$ , a więc $q = f (1) = 1 - 2 + 10 = 9$ . Zatem $W = (1, 9)$ .
$y = - x^{2} - 4 x + 1$
Odczytujemy $a = - 1$ , $b = - 4$ , $c = 1$ , stąd $p = \frac{- (- 4)}{2 \cdot (- 1)} = - 2$ . Wtedy $q = f (- 2) = - 4 + 8 + 1 = 5$ , czyli $W = (- 2, 5)$ .
$y = 2 x^{2} + 12 x + 17$
Odczytujemy $a = 2$ , $b = 12$ , $c = 17$ , stąd $p = \frac{- 12}{2 \cdot 2} = - 3$ , więc $q = f (- 3) = 18 - 36 + 17 = - 1$ , czyli $W = (- 3, - 1)$ .
$f (x) = - 3 x^{2} + 8 x - 9$
Odczytujemy $a = - 3$ , $b = 8$ , $c = - 9$ , stąd $p = \frac{- 8}{2 \cdot (- 3)} = \frac{4}{3}$ . Ponadto $Δ = 8^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 9) = - 44$ , stąd $q = \frac{- (- 44)}{4 \cdot (- 3)} = - \frac{44}{12} = - \frac{11}{3}$ , czyli $W = (\frac{4}{3}, - \frac{11}{3})$ .

Przykład 2

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji

$f (x) = x^{2} - 4 x - 7$
Odczytujemy współczynnik $a = 1$ . Ponieważ jest on dodatni, więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do góry. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $⟨q, + \infty)$ , gdzie $q$ to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku $q = - \frac{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}{4 \cdot 1} = - \frac{44}{4} = - 11$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- 11, + \infty)$ .
$f (x) = - x^{2} + 6 x - 2$
Odczytujemy, że współczynnik $a$ jest ujemny ( $a = - 1$ ), więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do dołu. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, q⟩$ , gdzie $q$ to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku $q = - \frac{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}{4 \cdot (- 1)} = - \frac{28}{- 4} = 7$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, 7⟩$ .
$f (x) = 5 x^{2} + 15 x + 1$
Ponieważ $a = 5 > 0$ oraz $q = - \frac{1 5^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{4 \cdot 5} = - \frac{41}{4}$ , to zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- \frac{41}{4}, + \infty)$ .
$f (x) = - 3 x^{2} + 21 x - 16$
Ponieważ $a = - 3 < 0$ oraz $q = - \frac{2 1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}{4 \cdot (- 3)} = \frac{83}{4}$ , to zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, \frac{83}{4}⟩$ .

Przykład 3

Wyznaczymy maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca oraz maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca.

$f (x) = x^{2} - 4 x - 7$
Współczynnik $a$ jest dodatni ( $a = 1$ ), więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto $p = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2$ . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, to $⟨2, + \infty)$ , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to $(- \infty, 2⟩$ .
$f (x) = - x^{2} + 6 x - 2$
Współczynnik $a$ jest ujemny ( $a = - 1$ ), więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do dołu. Ponadto $p = \frac{- 6}{2 \cdot (- 1)} = 3$ . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, to $(- \infty, 3⟩$ , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to $⟨3, + \infty)$ .
$f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 8$
Ponieważ $a = 3 > 0$ oraz $p = \frac{- 5}{2 \cdot 3} = - \frac{5}{6}$ , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ rośnie, jest $⟨- \frac{5}{6}, + \infty)$ , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest $(- \infty, - \frac{5}{6}⟩$ .
$f (x) = - 4 x^{2} - 7 x + 19$
Ponieważ $a = - 4 < 0$ oraz $p = \frac{- (- 7)}{2 \cdot (- 4)} = - \frac{7}{8}$ , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ rośnie, jest $(- \infty, - \frac{7}{8}⟩$ , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest $⟨- \frac{7}{8}, + \infty)$ .

Przykład 4

RfQ6stTu5F5dr1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeanalizujemy dwie funkcje kwadratowe. Pierwsza z nich jest określona wzorem $f (x) = - 3 x^{2} - 18 x - 23$ .

Obliczmy współrzędne wierzchołka, korzystając z poznanego wcześniej wzoru. Zaczynamy od wyznaczenia iksowej współrzędnej wierzchołka i oznaczamy ją $x_{w}$ , czyli

$x_{w} = \frac{- b}{2 a} = \frac{18}{- 6} = - 3$ .

Współczynniki podanej funkcji prezentują się następująco $a = - 3$ , $b = - 18$ oraz $c = - 23$ .

Współrzędną igrekową oznaczymy $y_{w}$ i obliczamy ją z poznanego wzoru. Wyznaczymy deltę

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 23) = 324 - 336 = - 12$ .

Wynika stąd, że

$y_{w} = \frac{- Δ}{4 a} = \frac{12}{- 12} = - 1$ .

Podsumowując, współrzędne wierzchołka to $W (- 3, - 1)$ .

Współczynnik $a$ podanej funkcji jest ujemny, zatem wykresem funkcji jest parabola ze skierowanymi ramionami do dołu. Wynika stąd, że funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku i jest równa $- 1$ . Wartości minimalnej funkcja kwadratowa nie przyjmuje.

Zbiorem wartości funckji $f$ jest przedział $(- \infty, - 1⟩$ .

Oś symetrii pokrywa się z prostą o równaniu $x = x_{w}$ , czyli dla analizowanego wykresu funkcji osią symetrii jest $x = - 3$ .

Ponieważ $a < 0$ , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ rośnie, jest $(- \infty, - 3⟩$ , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest $⟨- 3, + \infty)$ .

Drugim przykładem jest funkcja kwadratowa o równaniu $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 16$ .

Współczynniki podanej funkcji prezentują się następująco: $a = 2$ , $b = - 12$ oraz $16$ .

Obliczmy współrzędne wierzchołka, korzystając z poznanego wcześniej wzoru. Zaczynamy od wyznaczenia iksowej współrzędnej wierzchołka i oznaczamy ją $x_{w}$ , czyli

$x_{w} = \frac{- b}{2 a} = \frac{12}{4} = 3$ .

Współrzędną igrekową oznaczymy $y_{w}$ i obliczamy ją z poznanego wzoru. Wyznaczymy deltę

$Δ = b^{2} - 4 a c = (- 12)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 144 - 128 = 16$ .

Wynika stąd, że

$y_{w} = \frac{- Δ}{4 a} = \frac{- 16}{8} = - 2$ .

Podsumowując, współrzędne wierzchołka to $W (3, - 2)$ .

Współczynnik $a$ podanej funkcji jest dodatni, zatem wykresem funkcji jest parabola ze skierowanymi ramionami do góry. Wynika stąd, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i jest równa $- 2$ . Wartości maksymalnej funkcja kwadratowa nie przyjmuje.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- 2, + \infty)$ .

Oś symetrii pokrywa się z prostą o równaniu $x = x_{w}$ , czyli dla analizowanego wykresu funkcji osią symetrii jest $x = 3$ .

Ponieważ $a > 0$ , więc maksymalnym przedziałem w którym funkcja $f$ rośnie, jest $⟨3, + \infty)$ , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest $(- \infty, 3⟩$ .

Ćwiczenie 1

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej. Przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji $f$ , na innym – wykres funkcji $g$ , a na jeszcze innym jest wykres funkcji $h$ . Wiadomo, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest $⟨- 2, + \infty)$ , wierzchołkiem wykresu funkcji $g$ jest punkt $(- 1, 2)$ , a osią symetrii wykresu funkcji $h$ jest prosta o równaniu $x = 1$ . Na którym rysunku jest wykres funkcji $f$ , na którym – wykres $g$ , a na którym – wykres funkcji $h$ ?

R1DStie9szspU1

Wykresy czterech różnych funkcji kwadratowych f. Pierwsza funkcja to parabola leżąca w pierwszej , drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, 2). Do wykresu należy punkt (0, 1). Druga funkcja to: parabola leżąca w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (1, 2). Do wykresu należy punkt (0, 3). Trzecia funkcja to: parabola leżąca w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, -2). Do wykresu należy punkt (0, -3). Czwarta funkcja to: parabola leżąca w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, -2). Do wykresu należy punkt (0, -1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RqR9g5DyQ38U2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

wykres $f$ – rys. $D$

wykres $g$ – rys. $A$

wykres $h$ – rys. $B$

R1EUwBU9MywS51

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjkqjKH7J4EN61

Ćwiczenie 2

wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu $y = - 10$
wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu $x = - 4$
ta parabola nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu $y = - 25$
osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x = 8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RudIe63jM6naj1

Ćwiczenie 3

z wykresem funkcji $f_{1} (x) = x^{2} + 2 x - 2$
z wykresem funkcji $f_{2} (x) = x^{2} - 2 x - 2$
z wykresem funkcji $f_{3} (x) = - x^{2} - 2 x - 4$
z wykresem funkcji $f_{4} (x) = - x^{2} + 2 x - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17xL47vntF0X1

Ćwiczenie 4

Jeżeli $b = 2$ , to $p = 4$ .
Dla $p = 3$ współczynnik $b$ jest równy $6$ .
Dla $p = - 2$ współczynnik $b$ jest równy $- 1$ .
Jeżeli $b = p$ , to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (0, 2)$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3gFnJLCpgmdF2

Ćwiczenie 5

Funkcja kwadratowa

f

określona jest wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

. Oblicz wartości współczynników

b

c

, wiedząc, że wykresem funkcji

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o podanych współrzędnych. Uzupełnij odpowiedzi, wpisując w luki odpowiednie liczby.

(0, 2)

Odpowiedź: Wartości współczynników wynoszą

b =

Tu uzupełnij oraz

c =

Tu uzupełnij.

(2, 0)

Odpowiedź: Wartości współczynników wynoszą

b =

Tu uzupełnij oraz

c =

Tu uzupełnij.

(1, 1)

Odpowiedź: Wartości współczynników wynoszą

b =

Tu uzupełnij oraz

c =

Tu uzupełnij.

(- 1, 2)

Odpowiedź: Wartości współczynników wynoszą

b =

Tu uzupełnij oraz

c =

Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2kxNHIsITT5G2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.

$y = {(x - 1)}^{2} + 4$
$y = - {(x + 1)}^{2} + 4$
$y = - {(x - 5)}^{2} - 3$
$y = {(x + 6)}^{2} - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Mftpy00iyVd2

Ćwiczenie 7

Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.

$y = x^{2} - 2 x + 6$
$y = x^{2} + 4 x$
$y = x^{2} + 4 x + 7$
$y = - x^{2} + 4 x - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzKLUkTtRz44S2

Ćwiczenie 8

Jeżeli $a = 1$ i $b = 4$ , to $W = (2, - 2)$ .
Jeżeli $a = - 1$ i $b = 6$ , to $W = (3, 9)$ .
Jeżeli $W = (1, 1)$ , to $a = - 1$ i $b = 2$ .
Jeżeli $W = (- 3, - 27)$ , to $a = 3$ i $b = 18$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIDv7aWklC5Bp2

Ćwiczenie 9

$f (- 10) = f (0)$
$f (- 20) > 30$
$f (- 6) < - 30$
$f (- 7) + f (- 9) > f (- 4) + f (- 2)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6EuOYAmpF28V2

Ćwiczenie 10

$x = - 2$
$x = 2$
$x = - 1$
$x = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUZ6rzxPusIOk2

Ćwiczenie 11

$y = 9$
$y = 6$
$y = 3$
$y = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OoX3riQeHB52

Ćwiczenie 12

$y = x^{2} + 10 x + 5$
$y = x^{2} - 10 x + 15$
$y = x^{2} - 10 x + 30$
$y = x^{2} + 10 x + 55$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbIHsvQ6AQyYG2

Ćwiczenie 13

$"⟨"- 1,"" ""+ \infty)$
$"⟨"2,"" ""+ \infty)$
$"⟨"4,"" ""+ \infty)$
$"⟨"5,"" ""+ \infty)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2fyssv4WE9Op2

Ćwiczenie 14

nie istnieje
jest równa $2$
jest równa $18$
jest większa od $30$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfzN9iQLYQcDx2

Ćwiczenie 15

$y = - {(x + 2)}^{2} - 2$
$y = {(x + 2)}^{2} - 2$
$y = - {(x - 2)}^{2} + 2$
$y = {(x - 2)}^{2} + 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

RuucrdJ6h8Wdu

R11RHAtiLP9sv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKPmFBILDYdoE2

Ćwiczenie 17

$f (0) = f (- 3)$
$f (0) = f (1)$
$f (0) = f (4)$
$f (0) = f (6)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYTSameZgzER22

Ćwiczenie 18

$b = - 2, c = 3$
$b = - 4, c = 3$
$b = 2, c = 7$
$b = 4, c = 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpHtLicI3d58Q2

Ćwiczenie 19

$"⟨"3"", + \infty)$
$"⟨"5"", + \infty)$
$"⟨"6"", + \infty)$
$"⟨"10"", + \infty)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ , określonej wzorem ogólnym:

$f (x) = 2 x^{2} - 5$ ,
$f (x) = - 3 x^{2} + 4$ ,
$f (x) = x^{2} + x + \frac{1}{4}$ ,
$f (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 3 \frac{1}{8}$ .

RWPEM84R3vQJa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej $f$ przedstawiona jest wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, a $q$ to druga współrzędna wierzchołka paraboli.

$f (x) = 2 x^{2} - 5$ ,
$f (x) = - 3 x^{2} + 4$ ,
$f (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ ,
$f (x) = - 2 {(x - \frac{5}{4})}^{2}$ .

Ćwiczenie 21

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ , określonej wzorem ogólnym:

$f (x) = 5 x^{2} + 30 x + 31$ ,
$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$ ,
$f (x) = - 3 x^{2} - x + 6$ ,
$f (x) = - 4 x^{2} + 14 x - 7$ .

RNynKSfDlrWXL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$f (x) = 5 {(x + 3)}^{2} - 14$ ,
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ ,
$f (x) = - 3 {(x + \frac{1}{6})}^{2} + 6 \frac{1}{12}$ ,
$f (x) = - 4 {(x - \frac{7}{4})}^{2} + 5 \frac{1}{4}$ .

Ćwiczenie 22

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ , której wykresem jest parabola o wierzchołku $W$ , przecinająca oś $Y$ w punkcie $P$ .

$W = (2, 0)$ , $P = (0, 5)$ ,
$W = (- 1, 1)$ , $P = (0, - 2)$ ,
$W = (- 2, - 3)$ , $P = (0, 1)$ ,
$W = (4, 6)$ , $P = (0, - 2)$ .

RWsrnxQV5XhKA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej $f$ przedstawiona jest wzorem $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka, a $q$ to druga współrzędna wierzchołka.

$f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2}$ ,
$f (x) = - 3 {(x + 1)}^{2} + 1$ ,
$f (x) = {(x + 2)}^{2} - 3$ ,
$f (x) = - \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 6$ .

Ćwiczenie 23

W układzie współrzędnych narysowano parabole, będące wykresami funkcji kwadratowych. Przyporządkuj wykresom wzory odpowiednich funkcji.

R1QJlK1SUIU7e1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1UsGWowVyqjX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1e3JPJdJebSJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RV5ucikCNvEQO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFofkx9puSYPG1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjRng3QMXtczZ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RCP7HhG1Nwq

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Na pierwszym rysunku znajduje się funkcja opisana wzorem 1.

f (x) = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3

, 3.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2

, 4.

f (x) = - 3 {(x - 1)}^{2} + 3

, 5.

f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1

, 6.

f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 2

.Na drugim rysunku znajduje się funkcja opisana wzorem 1.

f (x) = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3

, 3.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2

, 4.

f (x) = - 3 {(x - 1)}^{2} + 3

, 5.

f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1

, 6.

f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 2

.Na trzecim rysunku znajduje się funkcja opisana wzorem 1.

f (x) = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3

, 3.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2

, 4.

f (x) = - 3 {(x - 1)}^{2} + 3

, 5.

f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1

, 6.

f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 2

.Na czwartym rysunku znajduje się funkcja opisana wzorem 1.

f (x) = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3

, 3.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2

, 4.

f (x) = - 3 {(x - 1)}^{2} + 3

, 5.

f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1

, 6.

f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 2

.Na piątym rysunku znajduje się funkcja opisana wzorem 1.

f (x) = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3

, 3.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2

, 4.

f (x) = - 3 {(x - 1)}^{2} + 3

, 5.

f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1

, 6.

f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 2

.Na szóstym rysunku znajduje się funkcja opisana wzorem 1.

f (x) = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3

, 3.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2

, 4.

f (x) = - 3 {(x - 1)}^{2} + 3

, 5.

f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1

, 6.

f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R16Ca4IYBcGxK2

Ćwiczenie 23

Połącz współrzędne wierzchołka ze wzorem funkcji.

W = (2, - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 2)^{2} - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} (x - 1)^{2} - 3

, 3.

f (x) = - \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 2

, 4.

f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 2

, 5.

f (x) = - (x + 2)^{2} + 2

, 6.

f (x) = - 3 (x - 1)^{2} + 3

W = (- 1, - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 2)^{2} - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} (x - 1)^{2} - 3

, 3.

f (x) = - \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 2

, 4.

f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 2

, 5.

f (x) = - (x + 2)^{2} + 2

, 6.

f (x) = - 3 (x - 1)^{2} + 3

W = (1, - 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 2)^{2} - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} (x - 1)^{2} - 3

, 3.

f (x) = - \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 2

, 4.

f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 2

, 5.

f (x) = - (x + 2)^{2} + 2

, 6.

f (x) = - 3 (x - 1)^{2} + 3

W = (- 2, 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 2)^{2} - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} (x - 1)^{2} - 3

, 3.

f (x) = - \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 2

, 4.

f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 2

, 5.

f (x) = - (x + 2)^{2} + 2

, 6.

f (x) = - 3 (x - 1)^{2} + 3

W = (1, 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 2)^{2} - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} (x - 1)^{2} - 3

, 3.

f (x) = - \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 2

, 4.

f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 2

, 5.

f (x) = - (x + 2)^{2} + 2

, 6.

f (x) = - 3 (x - 1)^{2} + 3

W = (- 1, 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = (x - 2)^{2} - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} (x - 1)^{2} - 3

, 3.

f (x) = - \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 2

, 4.

f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 2

, 5.

f (x) = - (x + 2)^{2} + 2

, 6.

f (x) = - 3 (x - 1)^{2} + 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ , wiedząc, że do jej wykresu należą punkty $A$ , $B$ , $C$ . Uzupełnij zdania. Przeciągnij w każdą lukę odpowiedni wzór lub wybierz ten wzór z listy rozwijalnej.

R1KpAbka8T2Ta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfeaOiouE3ZAa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 25

Podaj zbiór wartości funkcji określonej wzorem:

$f (x) = 2 + {(1 - x)}^{2}$ ,
$f (x) = 5 - {(- 3 + x)}^{2}$ ,
$f (x) = {(3 x - 1)}^{2} - 9$ ,
$f (x) = - {(2 x + 5)}^{2} + 7$ .

Rkdibq2IZu2Gm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$⟨2, + \infty)$
$(- \infty, 5⟩$
$⟨- 9, + \infty)$
$(- \infty, 7⟩$

Ćwiczenie 26

Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej $f$ .

$f (x) = x^{2} + 12 x$ ,
$f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 5$ ,
$f (x) = - x^{2} + 2 x - 5$ ,
$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3$ .

RxcfYJUNdbjHB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$⟨- 36, + \infty)$
$⟨2, + \infty)$
$(- \infty, - 4⟩$
$(- \infty, 5⟩$

Ćwiczenie 27

Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ rośnie.

$f (x) = 3 - {(x - 2)}^{2}$ ,
$f (x) = 11 + {(1 - x)}^{2}$ ,
$f (x) = {(2 x - 6)}^{2} - 7$ ,
$f (x) = - {(3 x + 15)}^{2} + 8$ .

R1Vr2F6y92kl1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$(- \infty, 2⟩$
$⟨1, + \infty)$
$⟨3, + \infty)$
$(- \infty, - 5⟩$

Ćwiczenie 28

Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ maleje.

$f (x) = x^{2} - 5 x$ ,
$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 5$ ,
$f (x) = - x^{2} - 4 x + 7$ ,
$f (x) = - 3 x^{2} + 8 x - 1$ .

RQ3E9g11qkIsi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$(- \infty, 2 \frac{1}{2}⟩$
$(- \infty, - \frac{3}{4}⟩$
$⟨- 2, + \infty)$
$⟨1 \frac{1}{3}, + \infty)$

R185bDy1Dvkez3

Ćwiczenie 29

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROmpo5lVf3GLw3

Ćwiczenie 30

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RarnLAERYUJsH3

Ćwiczenie 31

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VlHlEdWF0FN3

Ćwiczenie 32

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.