Objętość stożka - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są informacje na temat objętości stożka. Poznasz wzór na objętość stożka oraz zależność między objętością stożka a objętością walca o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości.

Wzór na objętość stożka

R1HIzrERCHAbm1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Walec i stożek mają taki sam promień podstawy i taką samą wysokość.

Zaobserwuj, jak zmienia się stosunek objętości walca do objętości stożka wraz ze zmianą wysokości brył.

RuGH0O0Ljuwfj1

Walec i stożek mają taki sam promień podstawy $r$ i taką samą wysokość $H$ . Zaobserwuj, jak zmienia się stosunek objętości walca do objętości stożka wraz ze zmianą wysokości brył.

Przyjmijmy, że promień podstawy stożka i walca jest równy $2$ . Obliczymy objętości podanych brył dla pięciu różnych wysokości i zastanowimy się, czy zachodzi jakaś analogia między ilorazem objętości walca do objętości stożka.

Niech $H = 2$ . Zatem $V_{w a l c a} = π \cdot 2^{2} \cdot 2 = 8 π$ , $V_{s t o ż k a} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 2 = \frac{8}{3} π$ oraz

$I l o r a z_{o b j ę t o ś c i} = \frac{V_{w a l c a}}{V_{s t o ż k a}} = \frac{8 π}{\frac{8}{3} π} = 3$ .

Niech $H = 3$ . Zatem $V_{w a l c a} = π \cdot 2^{2} \cdot 3 = 12 π$ , $V_{s t o ż k a} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 3 = \frac{12}{3} π = 4 π$ oraz

$I l o r a z_{o b j ę t o ś c i} = \frac{V_{w a l c a}}{V_{s t o ż k a}} = \frac{12 π}{4 π} = 3$ .

Niech $H = 4$ . Zatem $V_{w a l c a} = π \cdot 2^{2} \cdot 4 = 16 π$ , $V_{s t o ż k a} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 4 = \frac{16}{3} π$ oraz

$I l o r a z_{o b j ę t o ś c i} = \frac{V_{w a l c a}}{V_{s t o ż k a}} = \frac{16 π}{\frac{16}{3} π} = 3$ .

Niech $H = 5$ . Zatem $V_{w a l c a} = π \cdot 2^{2} \cdot 5 = 20 π$ , $V_{s t o ż k a} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 5 = \frac{20}{3} π$ oraz

$I l o r a z_{o b j ę t o ś c i} = \frac{V_{w a l c a}}{V_{s t o ż k a}} = \frac{20 π}{\frac{20}{3} π} = 3$ .

Niech $H = 6$ . Zatem $V_{w a l c a} = π \cdot 2^{2} \cdot 6 = 24 π$ , $V_{s t o ż k a} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 6 = \frac{24}{3} π = 8 π$ oraz

$I l o r a z_{o b j ę t o ś c i} = \frac{V_{w a l c a}}{V_{s t o ż k a}} = \frac{24 π}{8 π} = 3$ .

Łatwo więc zauważyć, że stosunek objętości walca do objętości stożka zawsze jest równy $3$ .

Ważne!

Objętość stożka o wysokości $H$ i promieniu podstawy $r$ wyraża się wzorem:

R1PE313jAwPEW1

Rysunek stożka o wysokości równej H i promieniu podstawy r. Zapis: V = jedna trzecia pi r do potęgi drugiej razy H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

V = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot H

Przykład 2

Oblicz objętość stożka, którego wysokość jest równa $36 cm$ , a promień podstawy $4 cm$ .

Do wzoru na objętość stożka

V = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot H

podstawiamy:

H = 36 cm

r = 4 cm

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4^{2} \cdot 36

V = 192 π {cm}^{3}

Objętość stożka jest równa $192 π {cm}^{3}$ .

Przykład 3

Ile porcji lodów można otrzymać z $1 l$ masy lodowej?

RajfAmTlCjpW21

Rysunek dwóch trójkątów sklejonych podstawami o długości 6 cm. Wysokość pierwszego trójkąta wynosi 8 cm a drugiego trójkąta wynosi 10 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy objętość masy lodowej potrzebnej do wykonania jednej porcji lodów, czyli objętość dwóch stożków o wspólnej podstawie. Wysokość jednego z tych stożków jest równa $10 cm$ , a drugiego $8 cm$ . Promień podstawy każdego ze stożków jest równy $\frac{6 cm}{2} = 3 cm$ .

V = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 10 + \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 8

V = 30 π + 24 π = 54 π

V \approx 54 \cdot 3, 14 = 169, 56

V \approx 169, 56 {cm}^{3}

Na wykonanie jednej porcji lodów potrzeba około $169, 56 {cm}^{3}$ masy lodowej.

Obliczamy teraz, ile lodów można otrzymać z $1 l$ masy lodowej.

Ponieważ $1 l = 1000 ml$ , a $1 ml = 1 {cm}^{3}$ , zatem $1 l = 1000 {cm}^{3}$ .

\frac{1000}{169, 56} \approx 5, 89

Z $1 l$ masy lodowej można wykonać $5$ lodów.

Obliczanie objętości stożka

Przykład 4

Świeca wykonana z wosku o gęstości $0, 9 \frac{g}{{cm}^{3}}$ ma masę $0, 231 kg$ . Świeca ma kształt stożka o średnicy podstawy równej $70 mm$ . W czasie godziny wysokość palącej się świecy zmniejsza się przeciętnie o $1 cm$ . Świecę zapalono o godzinie $20 : 00$ . O której godzinie zgaśnie ta świeca?

Przyjmij $π = \frac{22}{7}$ .

Gęstość wosku podana jest w $\frac{g}{{cm}^{3}}$ . Średnicę świecy zapiszemy więc w centymetrach, a jej masę w gramach, aby ujednolicić jednostki.

70 mm = 7 cm

0, 231 kg = 231 g

RDDRnL6mKQ3em1

Rysunek świecy w kształcie stożka o wysokości H i średnicy podstawy 70 mm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

$H$ – wysokość świecy.

Objętość $V$ stożka, w kształcie którego jest świeca, jest równa

V = \frac{1}{3} π \cdot {(\frac{7}{2})}^{2} \cdot H

Stąd

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{7} \cdot \frac{49}{4} \cdot H = \frac{77}{6} \cdot H

V = \frac{77}{6} H {cm}^{3}

Zapisujemy równość wynikającą z tego, że masa substancji to iloczyn zajmowanej przez nią objętości przez gęstość tej substancji.

0, 9 \cdot \frac{77}{6} \cdot H = 231

Z zapisanej równości wyznaczamy wysokość świecy.

\frac{9}{10} \cdot \frac{77}{6} \cdot H = 231

\frac{231}{20} \cdot H = 231 | : \frac{231}{20}

H = 20 cm

W czasie godziny wysokość świecy zmniejsza się o $1 cm$ , czyli świeca będzie paliła się $20$ godzin.

Świecę zapalono o godzinie $20 : 00$ , do północy paliła się więc $4$ godziny i $16$ godzin po północy.

Świeca zgaśnie o godzinie $16 : 00$ następnego dnia.

Przykład 5

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt, którego tworząca jest równa $12 dm$ . Pole powierzchni bocznej stożka jest równe $48 π \sqrt{5} {dm}^{2}$ . Oblicz objętość stożka.

RylX4fWFwbSow1

Rysunek stożka o wysokości H, promieniu podstawy r i tworzącej równej 12. Zaznaczono trójkąt będący przekrojem osiowym stożka. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć objętość stożka, należy najpierw znaleźć wysokość stożka i promień jego podstawy.

Promień $r$ podstawy stożka znajdujemy, korzystając z tego, że pole powierzchni bocznej stożka jest równe $48 π \sqrt{5} {dm}^{2}$ .

π \cdot r \cdot 12 = 48 π \sqrt{5}

r = 4 \sqrt{5} dm

Zauważmy, że wysokość stożka jest zarazem wysokością jego przekroju osiowego.

Zatem trójkąt, którego boki mają długości $H$ , $r$ , $12$ (jak na rysunku), jest prostokątny.

Zapisujemy dla tego trójkąta równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy wysokość stożka.

H^{2} + r^{2} = 1 2^{2}

H^{2} + {(4 \sqrt{5})}^{2} = 144

H^{2} + 80 = 144

H^{2} = 144 - 80

H = \sqrt{64}

H = 8 dm

Obliczamy objętość stożka.

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 8 \cdot {(4 \sqrt{5})}^{2}

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 8 \cdot 80

V = 213 \frac{1}{3} \cdot π {cm}^{3}

Objętość stożka jest równa $213 \frac{1}{3} \cdot π {cm}^{3}$ .

Przykład 6

Element ma kształt walca, na którym umieszczony jest stożek.

Przekrojem osiowym tego walca jest kwadrat o polu $9 m^{2}$ . Objętość całej bryły wynosi $25, 905 m^{2}$ .

Oblicz, ile puszek farby należy zakupić, aby pomalować cały element, jeżeli zawartość jednej puszki wystarcza na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni. Przyjmij $π = 3, 14$ .

Oznaczmy:

$r$ – promień podstawy walca,
$H$ – wysokość walca,
$h$ – wysokość stożka,
$l$ – długość tworzącej stożka.

RiCTfSw3VspjK1

Rysunek walca i umieszczonego na nim stożka o promieniach podstaw długości r. Wysokość walca równa jest H, wysokość stożka długości h oraz tworząca stożka równa l. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o polu $9 m^{2}$ . Wynika z tego, że długość boku tego kwadratu jest równa $\sqrt{9} m$ , czyli $3 m$ . Wysokość walca $H$ jest więc równa $3 m$ , a promień jego podstawy $r = \frac{3 m}{2} = 1, 5 m$ . Objętość elementu jest równa sumie objętości walca i stożka.

π r^{2} \cdot H + \frac{1}{3} π r^{2} \cdot h = 25, 905

Dla ułatwienia obliczeń wyłączamy z obu składników wspólne czynniki poza nawias.

π r^{2} (H + \frac{1}{3} h) = 25, 905

3, 14 \cdot {(1, 5)}^{2} \cdot (3 + \frac{1}{3} h) = 25, 905

7, 065 (3 + \frac{1}{3} h) = 25, 905 | : 3, 14

2, 25 (\frac{9 + h}{3}) = 8, 25

0, 75 (9 + h) = 8, 25 | : 0, 75

9 + h = 11

h = 2 m

Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość tworzącej stożka.

l^{2} = h^{2} + r^{2}

l = \sqrt{2^{2} + {(1, 5)}^{2}} = \sqrt{6, 25} = 2, 5

l = 2, 5 m

Obliczamy pole $P$ powierzchni całkowitej elementu, czyli sumę pola koła (podstawy bryły), pola powierzchni bocznej walca i pola powierzchni bocznej stożka.

P = π r^{2} + 2 π r \cdot H + π r l

P = π r (r + 2 H + l)

P = 3, 14 \cdot 1, 5 (1, 5 + 2 \cdot 3 + 2, 5)

P = 4, 71 \cdot 10 = 47, 1

P = 47, 1 m^{2}

Jedna puszka farby wystarcza na pomalowanie $5 m^{2}$ powierzchni. Ponieważ $\frac{47, 1}{5} = 9, 42$ , zatem należy kupić $10$ puszek farby.

Ćwiczenie 1

Oblicz objętość stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego $A B C$ wokół prostej $A B$ . Przyjmij $π = 3 \frac{1}{7}$ .

RuuULbTLk7Xar

Rysunki trzech trójkątów prostokątnych A B C o kącie prostym przy wierzchołku A. W podpunkcie a, trójkąt ma przyprostokątne długości AB =12, AC=siedem. W podpunkcie b, trójkąt ma przyprostokątne długości AB =3, AC =siedem. W podpunkcie c, trójkąt ma przyprostokątne długości AB =6, AC =siedem. Poprowadzone osie obrotu zawierają przyprostokątną AB trójkątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

R7aC6NKiv5S2m

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Na rysunku poniżej przedstawiono przekrój osiowy trzech stożków.

R1EiCaOqAmZtA

Na rysunku przedstawiono trzy trójkąty będące przekrojem osiowym stożków. W podpunkcie A znajduje się trójkąt równoboczny, o boku długości sześć. W podpunkcie B znajduje się trójkąt rozwartokątny, o kącie rozwartym o mierze 120 stopni i najdłuższym boku długości dwadzieścia cztery. W podpunkcie C znajduje się trójkąt równoramienny o podstawie długości cztery i wysokości pięć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

R1LZ6OZC81A5U

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxBX4BLgvdjCx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvxHKgke1WCYS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGSNr62xAITq6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Karnisz składa się z trzech elementów. Dwa elementy są jednakowe i każdy z nich ma kształt stożka o średnicy podstawy $120 mm$ i wysokości $8 cm$ . Trzeci element ma kształt walca o wysokości $2 m$ i średnicy podstawy $60 mm$ . Oblicz, ile ${cm}^{3}$ aluminium zużyto na wykonanie karnisza. Przyjmij $π = 3, 14$ .

R19v55vDA5x0U1

Rysunek karnisza składającego się z dwóch jednakowych stożków połączonych walcem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aq1p0WXBYms

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Powierzchnia boczna elementu składającego się ze stożka i walca (jak na rysunku) jest równa $135 π$ . Promień podstawy walca jest równy $5$ , a tworząca stożka $13$ . Oblicz objętość elementu.

R1QHlCD9Pc07v1

Rysunek walca i umieszczonego na nim stożka o tej samej podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WfbidbUAPaA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Do szklanki w kształcie walca wstawiono lejek w kształcie stożka. Naczynia mają równe wysokości i średnice.

Rv0nPW3CAWF1M1

Rysunek walca i umieszczonego w nim stożka. Górna podstawa walca jest także podstawą stożka. Bryły mają te same wysokości i te same średnice podstaw. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WAeDDwJSfi8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RA2nSh6poXL1q2

Ćwiczenie 6

Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, dzieląc wysokość stożka w stosunku

1 : 2

, licząc od wierzchołka. Wysokość stożka wynosi

15 cm

, a jego objętość

45 π {cm}^{3}

. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Oblicz objętość większej z tak otrzymanych brył (czyli stożka ściętego).
Odpowiedź: Objętość większej bryły wynosi

V =

_{} (1 + \sqrt{26}) π^{}

, 2.

43 \frac{1}{3} π

, 3.

41 \frac{1}{2} π

, 4.

_{} (1 + \sqrt{22}) π^{}

, 5.

42 \frac{1}{4} π

, 6.

_{} (2 + \sqrt{26}) π^{}

{cm}^{3}

.
Oblicz pole powierzchni mniejszej z tak otrzymanych brył.
Odpowiedź: Pole powierzchni mniejszej bryły wynosi

P_{c} =

_{} (1 + \sqrt{26}) π^{}

, 2.

43 \frac{1}{3} π

, 3.

41 \frac{1}{2} π

, 4.

_{} (1 + \sqrt{22}) π^{}

, 5.

42 \frac{1}{4} π

, 6.

_{} (2 + \sqrt{26}) π^{}

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1APIp9nL1MRN2

Ćwiczenie 7

Obracamy dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości

4 cm

3 cm

, jeden wokół krótszej przyprostokątnej, a drugi wokół dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętości otrzymanych stożków. Jaki jest ich stosunek? Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
Odpowiedź: Objętość stożków wynosi kolejno

V_{1} =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

_{} 16 π

, 4.

_{} 12 π

, 5.

_{} 10 π

, 6.

_{} 20 π

, 7.

\frac{4}{3}

, 8.

_{} 14 π

, 9.

_{} 18 π

{cm}^{3}

oraz

V_{2} =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

_{} 16 π

, 4.

_{} 12 π

, 5.

_{} 10 π

, 6.

_{} 20 π

, 7.

\frac{4}{3}

, 8.

_{} 14 π

, 9.

_{} 18 π

{cm}^{3}

. Ich stosunek wynosi

k =

\frac{5}{3}

, 2.

\frac{2}{3}

, 3.

_{} 16 π

, 4.

_{} 12 π

, 5.

_{} 10 π

, 6.

_{} 20 π

, 7.

\frac{4}{3}

, 8.

_{} 14 π

, 9.

_{} 18 π

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYWdLmUhKY0Ce2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aOGGI9FlIhv2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Xz9Rj4wZHzB2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SNBTgzwE1uT2

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1D2oHbSfvTzT

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8JHqRKQPQWdv2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ri9XhwWmDfJkp2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzKM4IQcA3vNG3

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Naszkicuj bryłę powstałą w wyniku obrotu:

trójkąta równoramiennego wokół jego podstawy,
kwadratu wokół jego przekątnej.

R67fA444DPSN6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

RJja3mrvErdZJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQss4etAbRxla3

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REViBeMnNZOnT3

Ćwiczenie 18

$\frac{Vπ}{r^{2}}$
$3 V + π r^{2}$
$\frac{π r^{2}}{3 V}$
$\frac{3 V}{π r^{2}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1qFAYWukCev83

Ćwiczenie 19

Przyprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego ma długość

2 cm

. Oblicz objętość stożka otrzymanego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego. Uzupełnij odpowiedź, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
Odpowiedź: Objętość stożka wynosi 1.

\frac{2 \sqrt{2}}{3} π

, 2.

\frac{2 \sqrt{3}}{2} π

, 3.

\frac{4 \sqrt{3}}{2} π

, 4.

\frac{4 \sqrt{2}}{3} π

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AxRi8xZl4SM3

Ćwiczenie 20

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie ma kształt wycinka kołowego o promieniu

4 cm

, opartego na kącie środkowym o mierze

120 °

. Oblicz objętość tego stożka i uzupełnij odpowiedź, przeciągając w lukę odpowiednią liczbę lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
Odpowiedź: Objętość stożka wynosi 1.

\frac{121 \sqrt{2}}{72} π

, 2.

\frac{136 \sqrt{2}}{81} π

, 3.

\frac{125 \sqrt{2}}{72} π

, 4.

\frac{128 \sqrt{2}}{81} π

{cm}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.