3. Jak Eratostenes wyznaczył rozmiar Ziemi?

W hinduizmie wierzono, że Ziemia ma kształt dysku dźwiganego przez słonie stojące na skorupie żółwia. Sumerowie i Babilończycy twierdzili, że Ziemia jest płaska. Tales z Miletu w $\text{VI}$ wieku przed naszą erą wyobrażał sobie Ziemię jako dysk pływający po oceanie. Pitagoras uznał, że Ziemia jest sferą, ale wyobrażał sobie planety jako kryształowe kule. W $\text{III}$ wieku przed naszą erą Eratostenes z Cyreny udowodnił, że Ziemia nie jest płaska i obliczył przy tym rozmiar naszej planety.

Pitagoras jako jeden z pierwszych uznał, że Ziemia jest kulista, nie przedstawił jednak żadnych fizycznych dowodów. Dopiero w $\text{IV}$ wieku p.n.e. Arystoteles przedstawił pierwsze dowody na kulistość planety. Na uwagę zasługują dowody takie jak okrągły widok cienia Ziemi na Księżycu podczas jego zaćmienia oraz stopniowe znikanie pływających statków za horyzontem. $\text{IV}$ i $\text{III}$ wieku p.n.e. stanowił w poglądach Greków odejście od boskich odwołań do stworzenia i wytłumaczenia świata, sprzyjał za to rozwojowi nauki, w tym astronomii.

Jednym z ówczesnych matematyków i astronomów, który zrewolucjonizował myślenie o kształcie planety, mierząc jej obwód, był Eratostenes z Cyreny. Urodził się on około roku $276$ p.n.e., studiował w Atenach i został głównym bibliotekarzem Biblioteki Aleksandryjskiej. Poza astronomią i matematyką znany jest także z poezji i filozofii. Zasłynął przed wszystkim z nowatorskiej metody szukania liczb pierwszych zwanej sitem Eratostenesasito Eratostenesasitem Eratostenesa oraz z pomiaru obwodu Ziemi. Dokładna metoda pomiaru zaginęła wraz z rękopisem, ale była ona przekazywana przez innych greckich uczonych i historyków.

Według przekazów, Eratostenes miał plan wykonać mapę Ziemi, ale do tego potrzebował znać rzeczywiste rozmiary planety. Postanowił on dokonać pomiaru w skali, mierząc fragment krzywizny planety i, dzięki obserwacji Słońca, odnieść to do całej Ziemi. Wykorzystał do tego proste spostrzeżenie dotyczące długości cienia rzucanego w południe w czasie letniego przesilenia w dwóch miejscach – obecnym Asuanie i Aleksandrii, oddalonych od siebie o znaną odległość (zmierzoną prawdopodobnie przez osoby wyspecjalizowane w pomiarach odległości, tak zwanych bematystów). W Asuanie Słońce oświetlało dno studni, nie rzucając przy tym żadnego cienia, co oznaczało, że jest ono centralnie nad studnią. W Aleksandrii sprawdził on jak wygląda cień kolumny (wybrane źródła mówią o cieniu zwykłej laski wbitej w ziemię, a nie kolumnie). Eratostenes założył, że Słońce znajduje się bardzo daleko od Ziemi i promienie powinny być do siebie równoległe. Oszacował, że kąt odchylenia kierunku promieni słonecznych od pionu odpowiada jednej pięćdziesiątej kąta pełnego, a więc $7,2°$. Należy zaznaczyć, że Eratostenes raczej nie mógł mierzyć kątów z dokładnością do dziesiątych części stopnia. Prawdopodobnie dokonał oszacowania, że kąt odchylenia kierunku promieni słonecznych od pionu odpowiada jednej pięćdziesiątej kąta pełnego, skąd wyliczyć mógł te $7,2°$.

R1Y3DcyCkG8kg

Ilustracja. Na szarym tle kula ziemska. Na kuli ziemskiej stoją dwa obiekty: wieża i studnia. Na glob padają promienie słoneczne. Na studnię padają prostopadle, na wieżę pod kątem. Przez studnię, prostopadle w głąb Ziemi, poprowadzono linię. Przez wieżę, prostopadle w głąb Ziemi poprowadzono linię przerywaną. Linie te przecinają się pod takim samym kątem, jaki tworzą promienie słoneczne z wieżą.

Eratostenes założył błędnie, że miasta leżą na tym samym południku, ale nie spowodowało to dużego błędu w obliczeniach. Odległość między miastami wynosiła około $5000$ stadionów (około $800 \mathrm{km}$), co dawało obwód Ziemi wynoszący około $250000$ stadionów. Obecnie zakłada się, że $250000$ stadionów wynosi od około $39690 \mathrm{km}$ do około $46620 \mathrm{km}$. Miary greckie nie były precyzyjne i dawały kilka możliwości wyniku. Rzeczywista wielkość obwodu Ziemi wynosi $40075 \mathrm{km}$, zakładając więc dolną granicę pomiaru wyznaczoną przez Eratostenesa popełnił on w swojej metodzie błąd mniejszy niż $1\%$.

RrX6n4U6ifp38

Fragment mapy z zaznaczonymi dwoma punktami i pociągniętą między nimi linią prostą. Wyraźnie zaznaczony Kair.

Do dzieła!

Dziś, dla przypomnienia prostoty i efektywności tej metody, możesz powtórzyć eksperyment Eratostenesa, mierząc długość cienia w dwóch różnych miejscowościach położonych na tym samym południku. Znając długości cienia i patyka, wyznaczysz (w oparciu o tablice funkcji trygonometrycznych sinus i cosinus) kąt między patykiem a promieniem słonecznym. Stosunek różnicy kątów z obu miejscowości do kąta pełnego będzie równy stosunkowi odległości między miejscowościami do obwodu Ziemi.

Również przejście ze zwykłym GPSem wzdłuż południka, np. o $1$ sekundę łuku, i zmierzenie tej odległości (ok. $30$ metrów) zwykłą taśmą mierniczą daje oszacowanie poprawnego rzędu rozmiarów Ziemi.

Jak Eratostenes wyznaczył rozmiar Ziemi

R2PIODsQCcR3b

Animacja nawiązująca do treści materiału

Animacja nawiązująca do treści materiału

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R2PIODsQCcR3b

Animacja nawiązująca do treści materiału

Zadania

Słownik