3. Wariacje bez powtórzeń

R18uqck6rXxlw

Uczniowie Twojej szkoły biorą udział w loterii i każdy z nich kupuje jeden los. W loterii jest $5$ głównych nagród: $I$ – miesięczny karnet na siłownię; $II$ – dwutygodniowy karnet na basen, $III$ – $2$ bilety do kina, $IV$ – powerbank, $V$ – gra planszowa. Na ile sposobów uczniowie mogą wylosować te nagrody? W tym materiale przedstawimy Ci narzędzie, które pozwoli odpowiedzieć na to pytanie.

Twoje cele

Dowiesz się czym są wariacja bez powtórzeń.
Rozpoznasz wariacje bez powtórzeń w typowych doświadczeniach.
Nauczysz się, jak analizować modele odwołujące się do pojęcia wariacji bez powtórzeń w zadaniach różnego typu.
Utrwalisz umiejętność obliczania wszystkich możliwych wyników doświadczeń losowych, które opisywane są warunkiem 'co najmniej' albo 'co najwyżej'.

Rozpatrzmy doświadczenie polegające na wyborze kolejno $k$ elementów ze zbioru $n$ –elementowego, bez powtórzeń, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunek $1 \leq k \leq n$ .

Korzystając z reguły mnożenia stwierdzamy, że liczba wszystkich możliwych wyników w takim doświadczeniu jest równa

\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}}

Modelem dla tego typu doświadczenia jest $k$ –wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru $n$ –elementowego.

wariacja bez powtórzeń

Definicja: wariacja bez powtórzeń

Doświadczenie polegające na wyborze kolejno $k$ elementów ze zbioru $n$ –elementowego, bez powtórzeń, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunek $1 \leq k \leq n$ , nazywa się $k$ -wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego.

liczba wszystkich

k

–elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru

n

-elementowego

Twierdzenie: liczba wszystkich

k

–elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru

n

-elementowego

Liczba wszystkich $k$ -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego jest równa

\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}}

Zauważmy, że otrzymany wzór można przekształcić następująco

\frac{\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}} \cdot (n - k)!}{(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!}

Zwyczajowo liczbę wszystkich $k$ -elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego oznacza się symbolem $V_{n}^{k}$ .

Zatem dla dowolnych liczb całkowitych $k$ i $n$ takich, że $1 \leq k \leq n$ mamy

V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}

Przykład 1

Obliczymy, ile jest wszystkich funkcji różnowartościowych, których dziedziną jest zbiór $\{a, b, c, d\}$ , a zbiorem wartości jest zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ .

Rozwiązanie

Każda opisana wyżej funkcja różnowartościowa da się wzajemnie jednoznacznie przyporządkować do czteroelementowego ciągu $(a, b, c, d)$ , którego elementy przyjmują parami różne wartości z siedmioelementowego zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ .

Dla przykładu:

spełniającej warunki zadania funkcji $f$ , takiej, że $f (a) = 5$ , $f (b) = 7$ , $f (c) = 1$ , $f (d) = 2$ przypisany jest w ten sposób ciągciągciąg $(5, 7, 1, 2)$ ,

ciągowi $(3, 4, 6, 1)$ przypisana jest funkcja $f$ taka, że $f (a) = 3$ , $f (b) = 4$ , $f (c) = 6$ , $f (d) = 1$ .

Zatem wszystkich takich funkcji jest tyle, ile czteroelementowych wariacji bez powtórzeńwariacja bez powtórzeńwariacji bez powtórzeń zbioru siedmioelementowego, czyli $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$ .

Otrzymany wynik możemy również zapisać w postaci

$V_{7}^{4} = \frac{7!}{(7 - 4)!} = \frac{7!}{3!}$ .

bg‑gray1

Uwaga

Każda $k$ -elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru $n$ -elementowego jest funkcją różnowartościową ze zbioru $k$ -elementowego do zbioru $n$ -elementowego, gdzie $1 \leq k \leq n$ .

Przykład 2

Pięcioro przyjaciół: Jaś, Małgosia, Adaś, Ewa i Hela ma wybrać pięć miejsc spośród jedenastu dostępnych w tym samym rzędzie w kinie. Obliczymy, na ile różnych sposobów mogą tego dokonać.

Rozwiązanie

Każdy dokonany wybór można przedstawić jako pięcioelementową wariację bez powtórzeń zbioru jedenastoelementowego.

Liczba wszystkich możliwych wyborów pięciu różnych miejsc w jedenastoelementowym rzędzie jest równa

$V_{11}^{5} = \frac{11!}{6!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 55440$ .

Zatem jest $55440$ rozmieszczeń opisanych warunkami zadania.

Przykład 3

Wykażemy, że wszystkich pięcioelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru piętnastoelementowego jest $21$ razy więcej niż wszystkich czteroelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru trzynastoelementowego.

Dowód

Zauważmy, że

$21 \cdot V_{13}^{4} = 21 \cdot \frac{13!}{(13 - 4)!} = \frac{21 \cdot 13!}{9!} = \frac{10 \cdot 21 \cdot 13!}{10 \cdot 9!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{10!} = \frac{15!}{(15 - 5)!} = V_{15}^{5}$ .

W ten sposób dowód został zakończony.

Przykład 4

Obliczymy $n$ , wiedząc, że wszystkich trzyelementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $n$ - elementowego jest $990$ .

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że liczba całkowita $n$ spełnia równanie

$V_{n}^{3} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) = 990$ .

Zatem $n > 2$ , a wtedy ciąg $a_{n} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)$ jest rosnący.

Ponieważ $a_{11} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$ , więc $n = 11$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązania zadań dotyczących zapisu dziesiętnego liczb naturalnych. Jest w nich pokazane, jak wykorzystać wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń.

RXy5ky1oYGtri

Polecenie 2

Korzystając z przykładu omówionego w animacji, rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Rozpatrujemy wszystkie pięciocyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach, w których zapisie dziesiętnym nie występuje żadna z cyfr $0$ , $4$ .

Oblicz, ile jest wśród nich liczb podzielnych przez $4$ .

Jak wiemy, jeżeli liczba naturalna dzieli się przez $4$ , to dwie ostatnie cyfry jej zapisu dziesiętnego tworzą liczbę podzielną przez $4$ .

Najpierw rozpatrzymy więc wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez $4$ , które można utworzyć zgodnie z warunkami zadania.

Ponieważ taka liczba dwucyfrowa ma ostatnią cyfrę parzystą, więc może to być jedna z cyfr: $2$ , $6$ lub $8$ .

Mamy więc dla takich liczb dwucyfrowych następujące rozłączne przypadki:

(1) jeżeli ostatnią cyfrą jest podzielna przez $4$ ósemka, to pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc jest nią jedna z dwóch pozostałych cyfr parzystych: $2$ lub $6$ . Oznacza to, że w tym przypadku są dwie liczby dwucyfrowe podzielne przez $4$ .

(2) jeżeli ostatnią cyfrą jest $2$ lub $8$ , to pierwsza cyfra musi być nieparzysta, wobec tego za każdym razem mamy do wyboru jedną z pięciu cyfr ze zbioru $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ . W tym przypadku jest więc $2 \cdot 5 = 10$ liczb dwucyfrowych podzielnych przez $4$ .

Wynika stąd, że jest $12$ liczb dwucyfrowych, które mogą być zapisane na dwóch ostatnich miejscach zapisu dziesiętnego liczby pięciocyfrowej spełniającej warunki zadania.

Zauważmy, że w każdym z tych $12$ przypadków pozostaje nam uzupełnić $3$ pierwsze miejsca zapisu dziesiętnego tworzonej liczby. Zrobimy to wybierając $3$ różne cyfry z pozostałych $6$ .

Oznacza to, że wszystkich możliwości tego uzupełnienia jest tyle, ile trzyelementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru sześcioelementowego, czyli

$V_{6}^{3} = \frac{6!}{(6 - 3)!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ .

Zatem wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania jest

$12 \cdot V_{6}^{3} = 12 \cdot 120 = 1440$ .

$12 \cdot V_{6}^{3} = 1440$ .

W rozwiązaniu kolejnego przykładu pokażemy, że jeden ze sposobów uzyskania wyniku opiera się na zastosowaniu reguły równolicznościreguła równolicznościreguły równoliczności.

Przykład 5

Obliczymy, ile jest pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są podzielne przez $5$ .

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że liczba naturalna jest podzielna przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest $0$ lub $5$ .

Rozpatrzmy więc dwa rozłączne przypadki:

(1) gdy ostatnią cyfrą szukanej liczby pięciocyfrowej jest $0$ ; wtedy rozmieszczeń bez powtórzeń $4$ cyfr z pozostałych dziewięciu na czterech pierwszych miejscach jest $V_{9}^{4} = \frac{9!}{(9 - 4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ ,

(2) gdy ostatnią cyfrą szukanej liczby pięciocyfrowej jest $5$ ; wtedy - ponieważ na pierwszym miejscu nie możemy zapisać cyfry $0$ - cyfrę na pierwszym miejscu z pozostałych do wypełnienia czterech możemy wybrać na $8$ sposobów, a cyfry na pozostałych $3$ miejscach możemy rozmieścić bez powtórzeń na $V_{8}^{3}$ sposobów. Zatem na podstawie reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że wszystkich możliwości jest w tym przypadku $8 \cdot V_{8}^{3} = 8 \cdot \frac{8!}{(8 - 3)!} = 8 \cdot \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 2688$ .

Korzystamy z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania, skąd dostajemy ostatecznie, że wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są podzielne przez $5$ jest $3024 + 2688 = 5712$ .

Uwaga!

Liczbę wszystkich możliwości w przypadku (2) można również obliczyć, korzystając z:

reguły równolicznościReguła równolicznościreguły równoliczności; zauważmy mianowicie, że po wstawieniu na ostatnim miejscu cyfry $5$ pozostałe $4$ cyfry można wybrać na $V_{9}^{4}$ sposobów. Ponadto cyfra $0$ to jedyna z dostępnych dziewięciu, której nie możemy wstawić na pierwszym miejscu. Zatem na pierwszym miejscu można wpisać osiem z dziewięciu dostępnych cyfr, więc wszystkich liczb pięciocyfrowych, które w tym przypadku spełniają warunki zadania jest $\frac{8}{9} \cdot V_{9}^{4} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9!}{5!} = \frac{8}{9} \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 2688$ ,

reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania; zauważmy mianowicie, że po wstawieniu na ostatnim miejscu cyfry $5$ pozostałe $4$ cyfry można wybrać na $V_{9}^{4}$ sposobów. Ponieważ cyfra $0$ nie może wystąpić na pierwszym miejscu, więc wszystkie przypadki z cyfrą $0$ zapisaną na pierwszym miejscu należy odrzucić. Jest ich tyle, ile wyborów $3$ cyfr spośród $8$ na trzech środkowych miejscach, czyli $V_{8}^{3}$ . Oznacza to, że wszystkich liczb pięciocyfrowych, które w tym przypadku spełniają warunki zadania jest $V_{9}^{4} - V_{8}^{3} = \frac{9!}{5!} - \frac{8!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 - 8 \cdot 7 \cdot 6 = (9 - 1) \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 =$ $= 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 2688$ .

Przykład 6

Kwadrat $A B C D$ o boku $4$ podzielono na $16$ kwadracików o boku $1$ - te kwadraciki będziemy nazywać polami.

R121JeqGSKxL5

Ilustracja przestawiająca kwadrat A B C D. W środku kwadratu umieszczono 16 mniejszych jednakowych kwadratów.

Następnie w każde spośród szesnastu pól kwadratu $A B C D$ wpisujemy jedną liczbę wybraną ze zbioru $A = \{1, 2, 3, \dots, 19\}$ , przy czym wybrana liczba może być wpisana co najwyżej raz. Wymagamy ponadto, żeby pola, które przecina przekątna $A C$ były wypełnione wyłącznie liczbami parzystymi, a pola, które przecina przekątna $B D$ były wypełnione wyłącznie liczbami nieparzystymi.

Wykażemy, że wszystkich sposobów wypełnienia pól kwadratu według powyższych warunków jest więcej niż $10^{14}$ .

Dowód

Obliczenia przeprowadzimy w trzech etapach.

W pierwszym etapie rozmieścimy różne liczby parzyste na czterech polach, które przecina przekątna $A C$ .

Ponieważ dostępnych jest $9$ liczb parzystych, więc wszystkich możliwości w tym etapie jest $V_{9}^{4} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$ .

W drugim etapie rozmieścimy różne liczby nieparzyste na czterech polach, które przecina przekątna $B D$ .

Ponieważ dostępnych jest $10$ liczb nieparzystych, więc wszystkich możliwości w tym etapie jest $V_{10}^{4} = \frac{10!}{6!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ .

W trzecim etapie rozmieścimy różne liczby spośród pozostałych $11$ na $8$ polach, które jeszcze nie zostałe wypełnione - wszystkich możliwości w tym etapie jest $V_{11}^{8} = \frac{11!}{3!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6652800$ .

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia otrzymujemy ostatecznie, że wszystkich sposobów wypełnienia pól kwadratu według powyższych warunków jest

$V_{9}^{4} \cdot V_{10}^{4} \cdot V_{11}^{8} = 3024 \cdot 5040 \cdot 6652800 = 101395058688000 =$

$= 1, 01395058688 \cdot 10^{14} > 10^{14}$ .

To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykład 7

Obliczymy, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, których trzy pierwsze cyfry są nieparzyste, pozostałe cztery cyfry są parzyste oraz w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra podzielna przez $7$ .

Rozwiązanie

Na wstępie zauważmy, że:

wśród cyfr zapisu dziesiętnego jest pięć nieparzystych: $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , przy czym jedna z nich, $7$ , dzieli się przez $7$ ,

wśród cyfr zapisu dziesiętnego jest pięć parzystych: $0$ , $2$ , $4$ , $6$ , $8$ , przy czym jedna z nich, $0$ , dzieli się przez $7$ .

Rozpatrujemy grupy cyfr określone warunkami zadania.

Trzy pierwsze cyfry mają być nieparzyste i różne, zatem można je zapisać na $V_{5}^{3} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ sposobów. Jeśli nie będzie wśród nich cyfry $7$ , to wtedy trzy pierwsze cyfry można zapisać na $V_{4}^{3} = \frac{4!}{1!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ sposoby. Wobec tego trzy pierwsze cyfry wśród których jest cyfra 7 można - korzystając z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania - zapisać na $V_{5}^{3} - V_{4}^{3} = 60 - 24 = 36$ sposobów.

Cztery ostatnie cyfry mają być parzyste i różne, więc można je zapisać na $V_{5}^{4} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ sposobów. Jeśli nie będzie wśród nich cyfry $0$ , to wtedy cztery ostatnie cyfry można zapisać na $V_{4}^{4} = \frac{4!}{0!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ sposoby. Oznacza to, że cztery ostatnie cyfry wśród których jest cyfra $0$ można zapisać na $V_{5}^{4} - V_{4}^{4} = 120 - 24 = 96$ sposobów.

Wynika stąd, że liczbę spełniającą warunki zadania możemy otrzymać w jednym z dwóch rozłącznych przypadków:

(1) kiedy wśród trzech pierwszych cyfr jest siódemka i wśród czterech ostatnich nie ma zera; korzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia i stwierdzamy, że wszystkich takich liczb siedmiocyfrowych jest $(V_{5}^{3} - V_{4}^{3}) \cdot V_{4}^{4} = 36 \cdot 24 = 864$ ,

(2) kiedy wśród trzech pierwszych cyfr nie ma siódemki i wśród czterech ostatnich jest zero; korzystamy z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia i stwierdzamy, że wszystkich takich liczb siedmiocyfrowych jest $V_{4}^{3} \cdot (V_{5}^{4} - V_{4}^{4}) = 24 \cdot 96 = 2304$ .

Korzystając z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania otrzymujemy ostatecznie, że wszystkich liczb siedmiocyfrowych, które spełniają warunki zadania jest $864 + 2304 = 3168$ .

Uwaga!

Aby ustalić, na ile sposobów można zapisać trzy pierwsze cyfry wśród których jest cyfra $7$ można rozumować następująco: miejsce dla cyfry $7$ możemy wybrać na $3$ sposoby, a pozostałe dwie cyfry – na $V_{4}^{2}$ sposoby, więc wszystkich takich możliwości jest $3 \cdot V_{4}^{2} = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$ .

Rozumując podobnie obliczymy, że liczba sposobów, na które można zapisać cztery ostatnie cyfry wśród których jest cyfra $0$ , jest równa $4 \cdot V_{4}^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96$ .

Przykład 8

Wyznaczymy wszystkie pary $(k, n)$ liczb całkowitych takich, że $1 \leq k \leq n$ , które spełniają równanie

$42 \cdot V_{n}^{k} = V_{n + 2}^{k + 2}$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy kolejno zadane równanie:

$42 \cdot V_{n}^{k} = V_{n + 2}^{k + 2}$

$42 \cdot \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{(n + 2)!}{(n + 2 - k - 2)!}$

$42 \cdot \frac{n!}{(n - k)!} = \frac{n! \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{(n - k)!}$

$42 = (n + 1) \cdot (n + 2)$ .

Ponieważ ciągciągciąg określony dla $n \geq 1$ wzorem ogólnym $a_{n} = (n + 1) \cdot (n + 2)$ jest rosnący oraz $a_{5} = 6 \cdot 7 = 42$ , więc równanie jest spełnione dla $n = 5$ oraz każdej liczby całkowitej $k$ , która spełnia warunek $1 \leq k \leq 5$ .

Oznacza to, że jest $5$ par $(k, n)$ spełniających warunki zadania: $(1, 5)$ , $(2, 5)$ , $(3, 5)$ , $(4, 5)$ , $(5, 5)$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania. Jest w nim pokazane, jak obliczyć, ile jest wszystkich pięciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są większe od $62571$ .

RcfHh90xj4DEp

Polecenie 4

Rozumując podobnie, jak w rozwiązaniu zadania omówionego w powyższej animacji oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są mniejsze od $470913$ .

Zauważmy, że każda liczba sześciocyfrowa utworzona za pomocą różnych cyfr ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ może być wzajemnie jednoznacznie utożsamiona z sześcioelementowym ciągiem kolejnych i różnych cyfr zapisu dziesiętnego tej liczby: $(c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}, c_{6})$ , gdzie:

$c_{1}$ to cyfra setek tysięcy,
$c_{2}$ - cyfra dziesiątek tysięcy,
$c_{3}$ - cyfra tysięcy,
$c_{4}$ - cyfra setek,
$c_{5}$ - cyfra dziesiątek,
$c_{6}$ - cyfra jedności.

Liczby spełniające warunki zadania występują wyłącznie w następujących sześciu rozłącznych przypadkach.

(1) $c_{1} = 4$ , $c_{2} = 7$ , $c_{3} = 0$ , $c_{4} = 9$ , $c_{5} = 1$ .

Te warunki są spełniona tylko dla $c_{6} = 2$ . Zatem w tym przypadku jest jedna liczba, która spełnia warunki zadania.

(2) $c_{1} = 4$ , $c_{2} = 7$ , $c_{3} = 0$ , $c_{4} = 9$ , $c_{5} < 1$ .

W tym przypadku nie ma liczb spełniających warunki zadania.

(3) $c_{1} = 4$ , $c_{2} = 7$ , $c_{3} = 0$ , $c_{4} < 9$ .

Wtedy $c_{4} \in \{8, 6, 5, 3, 2, 1\}$ , a cyfry $c_{5}$ , $c_{6}$ możemy dobrać jako dwie różne z pozostałych sześciu możliwych.

Stąd w tym przypadku jest $6 \cdot V_{6}^{2} = 6 \cdot 6 \cdot 5 = 180$ liczb, które spełniają warunki zadania.

(4) $c_{1} = 4$ , $c_{2} = 7$ , $c_{3} < 0$ .

W tym przypadku nie ma liczb spełniających warunki zadania.

(5) $c_{1} = 4$ , $c_{2} < 7$ .

Wtedy $c_{2} \in \{6, 5, 3, 2, 1, 0\}$ , a cyfry $c_{3}$ , $c_{4}$ , $c_{5}$ , $c_{6}$ możemy dobrać jako cztery parami różne z pozostałych ośmiu możliwych.

Zatem w tym przypadku jest $6 \cdot V_{8}^{4} = 6 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 10080$ liczb, które spełniają warunki zadania.

(6) $c_{1} < 4$ .

Wtedy $c_{1} \in \{3, 2, 1\}$ , a cyfry $c_{2}$ , $c_{3}$ , $c_{4}$ , $c_{5}$ , $c_{6}$ możemy dobrać jako pięć parami różnych z pozostałych dziewięciu możliwych.

Oznacza to, że w tym przypadku jest $3 \cdot V_{9}^{5} = 3 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 45360$ liczb, które spełniają warunki zadania.

Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich sześciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są mniejsze od $470913$ jest $1 + 180 + 10080 + 45360 = 55621$ .

Jest $55621$ takich liczb.

Ćwiczenie 1

RmMqnPkqOtjUP

Ćwiczenie 2

R1QfSkp8dZQQP

Ćwiczenie 3

R1VaHRTiyo16h

Ćwiczenie 4

R1FqdpPQZfmuB

Ćwiczenie 5

Rozmieszczamy $4$ różne kule w $10$ różnych pudełkach tak, żeby w każdym pudełku znalazła się co najwyżej jedna kula.

Wykaż, że wszystkich takich rozmieszczeń jest $5040$ .

Zauważmy, że warunki zadania są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy każdej kuli przypiszemy dokładnie jedno pudełko do którego ta kula została wrzucona oraz gdy każde dwie różne kule zostały wrzucone do różnych pudełek. Zatem rozmieszczenie kul, które spełnia warunki zadania można zapisać jako czteroelementową wariację ze zbioru dziesięcioelementowego, bez powtórzeń. Oznacza to, że wszystkich rozmieszczeń spełniających warunki zadania jest $V_{10}^{4} = \frac{10!}{(10 - 4)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ . To spostrzeżenie kończy dowód.

Ćwiczenie 6

R1DWPp7rEBWAa

Ćwiczenie 7

R16JDFK335wfe

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 4$ prawdziwa jest równość

$V_{n}^{4} + 4 \cdot V_{n}^{3} + 1 = {(V_{n}^{2} - 1)}^{2}$

Przekształcamy równoważnie wyrażenie zapisane z lewej strony równości:

$V_{n}^{4} + 4 \cdot V_{n}^{3} + 1 = \frac{n!}{(n - 4)!} + 4 \cdot \frac{n!}{(n - 3)!} + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) + 4 \cdot n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ((n - 3) + 4) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n + 1) + 1$ .

Następnie przekształcamy równoważnie wyrażenie zapisane z prawej strony równości:

${(V_{n}^{2} - 1)}^{2} = {(\frac{n!}{(n - 2)!} - 1)}^{2} = {(n \cdot (n - 1) - 1)}^{2} =$

$= {(n \cdot (n - 1))}^{2} - 2 \cdot n \cdot (n - 1) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n \cdot (n - 1) - 2) + 1 = n \cdot (n - 1) \cdot (n^{2} - n - 2) + 1 =$

$= n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n + 1) + 1$ .

Wobec tego dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 4$ zadana równość jest prawdziwa. To kończy dowód.

Rj7ZrwLXf2oN32

Ćwiczenie 9

RMSmH8dNp6Ts32

Ćwiczenie 10

R1ZuM9vqogP2Q2

Ćwiczenie 11

Rozpatrujemy wszystkie naturalne liczby czterocyfrowe o różnych cyfrach wybranych ze zbioru nawias klamrowy, jeden przecinek dwa, przecinek, trzy przecinek cztery, przecinek, pięć przecinek sześć, przecinek, siedem przecinek osiem, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu klamrowego. Wśród nich wyróżniamy następujące zbiory:
A - liczb, które są podzielne przez dwa lub przez pięć, w których zapisie dziesiętnym każda z trzech początkowych cyfr jest nieparzysta,
B - liczb, które nie są podzielne ani przez dwa ani przez pięć, w których zapisie dziesiętnym każda z trzech początkowych cyfr jest parzysta,
C - liczb, które nie są podzielne ani przez dwa ani przez pięć, w których zapisie dziesiętnym suma każdych dwóch sąsiednich cyfr jest nieparzysta,
D - liczb, które są podzielne przez dwa lub przez pięć, w których zapisie dziesiętnym suma każdych dwóch sąsiednich cyfr jest parzysta.
Znajdź pary równych liczb. miara zbioru A Możliwe odpowiedzi: 1. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 2. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 3. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 4. cztery, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego miara zbioru B Możliwe odpowiedzi: 1. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 2. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 3. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 4. cztery, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego miara zbioru C Możliwe odpowiedzi: 1. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 2. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 3. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 4. cztery, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego miara zbioru D Możliwe odpowiedzi: 1. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 2. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, cztery, 3. V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 4. cztery, razy, V, indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego

RrOdMNysbpgbD2

Ćwiczenie 12

RC1DO5Jd4wOx62

Ćwiczenie 13

R1J3Jmf4DzKGj3

Ćwiczenie 14

Rx2AUnxMfQ9eK3

Ćwiczenie 15

R1IjsrMWfNmJ33

Ćwiczenie 16

Słownik

wariacja bez powtórzeń

$k$ –wyrazowy ciąg o elementach wybieranych bez powtórzeń ze zbioru $n$ –elementowego, gdzie $1 \leq k \leq n$

ciąg

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

reguła równoliczności

dwa zbiory $A$ i $B$ są równoliczne (mają tyle samo elementów) jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy: każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $B$ oraz każdemu elementowi zbioru $B$ przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru $A$

reguła mnożenia

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_{1}$ sposobów, druga – na jeden z $k_{2}$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_{3}$ sposobów i tak dalej do $n$ –tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_{n}$ sposobów, jest równa

k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}

reguła dodawania

jeżeli wybór polega na podjęciu jednej z $k$ decyzji , przy czym pierwszą z nich można podjąć na $k_{1}$ sposobów, drugą na $k_{2}$ sposobów, $\dots$ , $n$ – tą na $k_{n}$ sposobów, to takiego wyboru można dokonać na $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n}$ sposobów

reguła równoliczności

reguła dodawania

reguła mnożenia

k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}

reguła dodawania

reguła mnożenia

k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}

reguła mnożenia

k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}

reguła dodawania

2. Wariacje z powtórzeniami

4. Permutacje