R2JB51E5RABJ7
Zdjęcie przedstawia cienką niebieską siatkę na ciemnym tle.

I_R_W14_M41C_C++ Grafy dla wytrwałych

Źródło: Uriel SC, domena publiczna.

Siedem mostów królewieckich

Narodziny teorii grafów datuje się na rok 1736. Jeden z głównych matematyków – Leonhard Euler – zaprezentował wtedy pracę, w której przedstawił problem siedmiu mostów królewieckich (Koenigsberg Bridge Problem – od nazwy miasta Koenigsberg, jak wówczas nazywał się Królewiec).

Królewiec (dzisiejszy Kaliningrad w Rosji) to miasto położone nad rzeką Pregołą. W jej rozwidleniach znajdują się dwie wyspy. W czasach Eulera, czyli w XVIII w., w obrębie miasta istniało siedem mostów – jeden łączył obie wyspy, a pozostałe łączyły wyspy z brzegami rzeki. Specyficzne ułożenie mostów stało się przyczynkiem do narodzin pewnej zagadki. Oto ona:

Czy można przejść kolejno przez wszystkie siedem mostów w taki sposób, by każdy z nich przekroczyć dokładnie raz i wrócić do miejsca startu?

RXGLXHUZA2ZPJ1
Na zdjęciu znajduje się kolorowa rycina przedstawiająca panoramę Królewca. Przez miasto przepływa rzeka która rozdziela miasto w jego centralnej części. W oddali znajdują się małe zielone wzniesienia. Wokół miasta znajdują się pola uprawne. Po prawej stronie ryciny znajduje się ramka z informacją zapisana po łacinie. Na pierwszym planie obok informacji stoi kobieta z mężczyzną. Są ubrani w nowożytne stroje. Nad miastem na niebie znajduje się napis zapisany odręcznie po niemiecku.
Rycina przedstawiająca Królewiec, oryginalnie zamieszczona w dziele Civitates orbis terrarum autorstwa Georga Brauna i Fransa Hogenberga. Na rycinie brakuje jednego z mostów rozważanych w problemie Eulera.
Źródło: Ozgur Tufekci, dostępny w internecie: historic-cities.huji.ac.il [dostęp 15.12.2020], tylko do użytku edukacyjnego.

W 1736 r. Euler przedstawił artykuł zawierający rozwiązanie problemu siedmiu mostów królewieckich. Stwierdził, że wybór ścieżki – na lądzie lub wyspie – nie ma znaczenia. Spostrzeżenie to pozwoliło przeformułować problem w sposób abstrakcyjny z zastosowaniem teorii grafów.

RQ3MXZCN73S1U
Rysunek przedstawia rzekę która otacza wyspę, a następnie rozdziela się na dwa biegi. Obszar wyspy oznaczono literą a, obszar na południe od wyspy literą b, na północ literą c, a obszar między dwoma biegami po prawej stronie literą d, na rysunku znajdują się również inne nieczytelne notatki i podpisy. Na górze szkicu znajduje się napisy po łacinie oraz liczy rzymskie.
Źródło: Leonhard Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, domena publiczna.

Euler użył wielkich liter alfabetu łacińskiego do reprezentowania lądów, a za pomocą małych liter oznaczył mosty.

W języku matematycznym zagadnienie dotyczące mostów królewieckich jest równoznaczne z pytaniem: Czy w grafie, którego wierzchołki odpowiadają lądom, a krawędzie – mostom, istnieje cykl, który przechodzi przez każdą krawędź dokładnie raz?

Dla zainteresowanych

Gdyby taki cykl istniał, moglibyśmy bez odrywania ołówka narysować graf, przechodząc po każdej krawędzi jeden raz. Takie figury nazywamy jednobieżnymi lub unikursalnymi.

Tak prezentuje się graf przedstawiający mosty i lądy w Królewcu z czasów Eulera:

RQPULMX8C517X
Ilustracja przedstawia graf. Znajdują się na nim trzy punkty podpisane wielkimi literami A, C, D oraz jeden nieopisany punkt. Punkty C, A oraz punkt nieopisany leżą na okręgu, w taki sposób, że punkt C leży naprzeciwko punktu nieopisanego, a punkt A pomiędzy nimi. Punkt te znajduje się na końcu poziomego odcinka pomiędzy punktem A oraz d, przy czym nie leży on na linii okręgu. Pomiędzy punktem A i C oraz A i punktem nieopisanym znajdują się dodatkowe krzywe łączące te punkty. Punkty C i D oraz D i punkt nieopisany są połączone prostymi odcinkami.
Nieskierowany spójny graf, który przedstawia mosty i lądy w Królewcu z czasów Eulera.
Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

W teorii grafów taka ścieżka zamknięta nazywana jest cyklem Eulera. Warunki istnienia takiego cyklu w grafie zostały przedstawione następującym twierdzeniem:

Pierwsze twierdzenie teorii grafów
Twierdzenie: Pierwsze twierdzenie teorii grafów

Spójny graf zawiera cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek jest parzystego stopnia.

Wynika to z faktu, że za każdym razem, gdy wierzchołek zostanie odwiedzony przy przejściu przez jedną z krawędzi, przejście do kolejnego wierzchołka musi odbyć się inną krawędzią, aby pierwsza nie została powtórzona. Z tego powodu każdorazowe przejście przez wierzchołek w cyklu zwiększa liczbę odwiedzonych krawędzi o dwa. Oznacza to, że stopień każdego z wierzchołków musi być parzysty.

Warunkiem koniecznym istnienia cyklu Eulera jest spójność grafu. Gdyby graf nie był spójny, nie istniałaby możliwość odwiedzenia wszystkich jego wierzchołków w jednym cyklu.

Graf (będący multigrafem) przedstawiający problem mostów królewieckich zawiera cztery wierzchołki, z których każdy jest nieparzystego stopnia – zatem zgodnie z twierdzeniem, graf ten nie zawiera cyklu Eulera. Oznacza to, że nie można przejść przez siedem wspomnianych mostów w taki sposób, by każdy z nich przekroczyć dokładnie raz i wrócić do punktu początkowego.

Ciekawostka

Obecnie w Kaliningradzie (czyli dawnym Królewcu) na rzece Pregole istnieje pięć mostów, z czego tylko dwa pochodzą jeszcze z czasów Eulera. Gdyby przedstawić je za pomocą grafu, wówczas dwa węzły byłyby stopnia drugiego, a dwa pozostałe – stopnia trzeciego. Możliwe jest utworzenie ścieżki przechodzącej przez każdy z mostów jedynie raz, ale ze względu na nieparzyste stopnie dwóch wierzchołków nie będzie ona cyklem Eulera – zakończy się w innym wierzchołku niż wierzchołek początkowy.

R18LBQT6HB35U
Ilustracja przedstawia czworokąt przypominający deltoid, jego punkty oznaczono dużymi literami a, b, c, d. małymi literami oznaczono jego ściany, prosta ab to a, prosta bd to b, prosta cd to d, prosta ca to c, a prosta ad to e.
Graf nieskierowany bez wag, który składa się z czterech wierzchołków oraz pięciu krawędzi. Graf przedstawia mosty współczesnego Królewca.
Źródło: Contentplus.pl Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Algorytm sprawdzający, czy graf zawiera cykl Eulera – pseudokod

Wiemy już, że spójny graf zawiera cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek jest parzystego stopnia. To, czy wierzchołki są parzystego stopnia, możemy odczytać z macierzy sąsiedztwa danego grafu.

Dla grafu przedstawiającego pięć mostów współczesnego Królewca macierz sąsiedztwa miałaby następującą postać:

R1GFFOJKSGTB5
Ilustracja przedstawia tabelkę, górne kolumny są podpisane a, b, c, d, wiersze rak samo, w pierwszym wierszu znajdują się następujące liczby, 0, 1, 1, 1, w drugim, 1, 0, 0, 1, w trzecim 1, 0, 0, 1, w czwartym 1, 1, 1, 0.
Macierz sąsiedztwa grafu przedstawiającego pięć mostów współczesnego Królewca.
Źródło: Contentplus.pl sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Poniżej znajduje się pseudokod funkcji sprawdzającej z użyciem macierzy sąsiedztwa, czy dany graf jest grafem eulerowskim. Jej argumentem jest macierz sąsiedztwa reprezentująca graf, na podstawie której sprawdzona zostanie parzystość stopni wierzchołków, oraz liczba wierzchołków grafu. Funkcja zwróci prawdziwy wynik jedynie w przypadku, gdy wejściowy graf jest spójny.

Specyfikacja problemu:

Dane:

  • macierzSasiedztwa – macierz sąsiedztwa grafu; tablica tablic (lista list) liczb naturalnych z przedziału <0, 1>

Wynik:

  • komunikat informujący o tym, czy graf zawiera cykl Eulera

Zaczynamy od zapisania nagłówka funkcji istnienieCykluEulera, która jako argument przyjmuje macierz sąsiedztwa macierzSasiedztwa. W kolejnym kroku inicjalizujemy zmienną liczbaWierzcholkow jako rozmiar macierzy, czyli liczbę wierzchołków w grafie.

Następnie tworzymy tablicę (listę) stopnieWierzcholkow o długości liczbaWierzcholkow i wypełniamy ją wartościami początkowymi 0. Tworzymy również zmienną liczbaNieparzystych, której przypisujemy wartość 0. Zmienna będzie przechowywać liczbę wierzchołków o stopniu nieparzystym.

Zapisujemy pętlę, która będzie iterować po kolejnych wierzchołkach i zapisywać ich stopnie wierzchołków.

Wewnątrz tej pętli zapisujemy drugą pętlę, której zadaniem będzie sprawdzenie sąsiedztwa wierzchołka.

Dla każdego elementu tablicy (listy) stopnieWierzcholkow dodajemy wartość zmiennej macierzSasiedztwa[i][j] do wartości stopnia wierzchołka.

Po zakończeniu obu pętli obliczone zostają stopnie wszystkich wierzchołków.

Uruchamiamy pętlę, aby zliczyć wierzchołki o stopniu nieparzystym.

Sprawdzamy warunek stopnieWierzcholkow[i] mod 2 != 0. Jeśli warunek jest spełniony, zwiększamy wartość zmiennej liczbaNieparzystych o 1.

Po zakończeniu pętli zostaje obliczona liczba wierzchołków o stopniu nieparzystym.

Wykonujemy instrukcję warunkową. Sprawdzamy, czy wartość zmiennej liczbaNieparzystych wynosi 0 oraz czy wartość zmiennej liczbaWierzcholkow jest większa od 0. Jeśli tak, oznacza to, że wszystkie wierzchołki mają stopień parzysty, a więc graf zawiera cykl Eulera. Wypisujemy odpowiedni komunikat.

Jeśli warunek nie zostaje spełniony, graf nie zawiera cyklu Eulera. Wtedy również wypisujemy komunikat.

Algorytm kończy swoje działanie.

Linia 1. funkcja istnienieCykluEulera otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 2. liczbaWierzcholkow ← długość otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły. Linia 3. stopnieWierzcholkow ← otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy asterysk liczbaWierzcholkow. Linia 4. liczbaNieparzystych ← 0. Linia 5. otwórz nawias ostrokątny code style znak równości cudzysłów white minus space dwukropek pre średnik cudzysłów data minus inline zamknij nawias ostrokątny dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek. Linia 6. dla j znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek. Linia 7. stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy ← stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy plus macierzSasiedztwa otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias kwadratowy j zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik code zamknij nawias ostrokątny. Linia 9. dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek. Linia 10. jeżeli stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy mod 2 wykrzyknik znak równości 0 dwukropek. Linia 11. liczbaNieparzystych plus znak równości 1. Linia 12. otwórz nawias ostrokątny code style znak równości cudzysłów white minus space dwukropek pre średnik cudzysłów data minus inline zamknij nawias ostrokątny jeżeli liczbaNieparzystych znak równości znak równości 0 ORAZ liczbaWierzcholkow ampersant gt średnik 0 dwukropek. Linia 13. wypisz cudzysłów Graf zawiera cykl Eulera kropka cudzysłów. Linia 14. w przeciwnym razie dwukropek. Linia 15. wypisz cudzysłów Graf nie zawiera cyklu Eulera kropka cudzysłów otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik code zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów codemirror minus holder cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror cm minus s minus default cudzysłów translate znak równości cudzysłów no cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów overflow dwukropek hidden średnik position dwukropek relative średnik width dwukropek 3px średnik height dwukropek 0px średnik top dwukropek 4px średnik left dwukropek 34px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny textarea style znak równości cudzysłów position dwukropek absolute średnik bottom dwukropek minus 1em średnik padding dwukropek 0px średnik width dwukropek 1px średnik height dwukropek 1em średnik min minus height dwukropek 1em średnik outline dwukropek none średnik cudzysłów wrap znak równości cudzysłów off cudzysłów autocorrect znak równości cudzysłów off cudzysłów autocapitalize znak równości cudzysłów none cudzysłów spellcheck znak równości cudzysłów false cudzysłów readonly znak równości cudzysłów cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów 0 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik textarea zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus vscrollbar cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów minus 1 cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów style znak równości cudzysłów display dwukropek block średnik bottom dwukropek 0px średnik width dwukropek 18px średnik visibility dwukropek hidden średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów min minus width dwukropek 1px średnik height dwukropek 505px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus hscrollbar cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów minus 1 cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów style znak równości cudzysłów display dwukropek block średnik right dwukropek 0px średnik left dwukropek 30px średnik height dwukropek 18px średnik visibility dwukropek hidden średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów height dwukropek 100 procent średnik min minus height dwukropek 1px średnik width dwukropek 821 kropka 75px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus scrollbar minus filler cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus filler cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus scroll cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów minus 1 cudzysłów draggable znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus sizer cudzysłów style znak równości cudzysłów margin minus left dwukropek 30px średnik margin minus bottom dwukropek 0px średnik border minus right minus width dwukropek 50px średnik min minus height dwukropek 485px średnik min minus width dwukropek 801 kropka 75px średnik padding minus right dwukropek 0px średnik padding minus bottom dwukropek 0px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik top dwukropek 0px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus lines cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik outline dwukropek none średnik cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus measure cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div zamknij nawias ostrokątny 17 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus measure cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik z minus index dwukropek 1 średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus cursors cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus cursor cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 4px średnik top dwukropek 0px średnik height dwukropek 28 kropka 0667px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus code cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów style znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny funkcja istnienieCykluEulera otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 2 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów cm minus tab cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów cm minus text znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny liczbaWierzcholkow ← długość otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 3 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny stopnieWierzcholkow ← otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy asterysk liczbaWierzcholkow otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 4 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny liczbaNieparzystych ← 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 5 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span cm minus text znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 6 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 7 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny dla j znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 8 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy ← stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy plus macierzSasiedztwa otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias kwadratowy j zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 9 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span cm minus text znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 10 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 11 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny jeżeli stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy mod 2 wykrzyknik znak równości 0 dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 12 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny liczbaNieparzystych plus znak równości 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 13 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span cm minus text znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 14 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny jeżeli liczbaNieparzystych znak równości znak równości 0 ORAZ liczbaWierzcholkow ampersant gt średnik 0 dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 15 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny wypisz cudzysłów Graf zawiera cykl Eulera kropka cudzysłów otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 16 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny w przeciwnym razie dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 17 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny wypisz cudzysłów Graf nie zawiera cyklu Eulera kropka cudzysłów otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek absolute średnik height dwukropek 50px średnik width dwukropek 1px średnik border minus bottom dwukropek 0px solid transparent średnik top dwukropek 485px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutters cudzysłów style znak równości cudzysłów height dwukropek 535px średnik left dwukropek 0px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter CodeMirror minus linenumbers cudzysłów style znak równości cudzysłów width dwukropek 29px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik figure zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2M cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2M cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Dla tak skonstruowanego algorytmu dane wejściowe opisujące graf reprezentujący Królewiec współcześnie wyglądałyby następująco dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2N cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2N cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span aria minus label znak równości cudzysłów nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego cudzysłów role znak równości cudzysłów math cudzysłów data minus editor minus mathml znak równości cudzysłów ampersant lt średnik math aria minus label znak równości ampersant quot średnik nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego ampersant quot średnik role znak równości ampersant quot średnik math ampersant quot średnik ampersant gt średnik ampersant lt średnik mo ampersant gt średnik ampersant amp średnik nbsp średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mo ampersant gt średnik ampersant lt średnik mfenced open znak równości ampersant quot średnik otwórz nawias kwadratowy ampersant quot średnik close znak równości ampersant quot średnik zamknij nawias kwadratowy ampersant quot średnik ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtable ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtable ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mfenced ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik math ampersant gt średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus container class znak równości cudzysłów MathJax cudzysłów jax znak równości cudzysłów CHTML cudzysłów style znak równości cudzysłów font minus size dwukropek 112 kropka 5 procent średnik position dwukropek relative średnik cudzysłów contenteditable znak równości cudzysłów false cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus math aria minus label znak równości cudzysłów nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego cudzysłów role znak równości cudzysłów math cudzysłów class znak równości cudzysłów MJX minus TEX cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mo class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus cA0 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mfenced zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mo class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus stretchy minus v style znak równości cudzysłów height dwukropek 5 kropka 293em średnik vertical minus align dwukropek minus 2 kropka 397em średnik cudzysłów class znak równości cudzysłów mjx minus c5B cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus stretchy minus v zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtable style znak równości cudzysłów min minus width dwukropek 4 kropka 4em średnik cudzysłów justify znak równości cudzysłów left cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus table zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus itable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus itable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus table zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mo class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus stretchy minus v style znak równości cudzysłów height dwukropek 5 kropka 293em średnik vertical minus align dwukropek minus 2 kropka 397em średnik cudzysłów class znak równości cudzysłów mjx minus c5D cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus stretchy minus v zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mfenced zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus math zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus assistive minus mml unselectable znak równości cudzysłów on cudzysłów display znak równości cudzysłów block cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny math xmlns znak równości cudzysłów http dwukropek prawy ukośnik prawy ukośnik www kropka w3 kropka org prawy ukośnik 1998 prawy ukośnik Math prawy ukośnik MathML cudzysłów aria minus label znak równości cudzysłów nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego cudzysłów role znak równości cudzysłów math cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mfenced open znak równości cudzysłów otwórz nawias kwadratowy cudzysłów close znak równości cudzysłów zamknij nawias kwadratowy cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mfenced zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik math zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus assistive minus mml zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus container zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik section zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny section data minus block minus name znak równości cudzysłów StudentWorkHomework cudzysłów data minus block minus resolved minus by znak równości cudzysłów praca minus domowa cudzysłów data minus editor minus block znak równości cudzysłów cudzysłów class znak równości cudzysłów has minus icon minus container animation minus ready animation minus fade minus out animated animated minus minus hide cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus editor minus params znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus specifier minus resolvedby znak równości cudzysłów cudzysłów data minus specifier minus type znak równości cudzysłów praca minus domowa cudzysłów data minus specifier minus type minus main znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus alternative znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus value znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus block minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów note note minus minus warning cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów note podkreślnik podkreślnik title cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Praca domowa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów section minus content cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2Q cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2Q cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Zaimplementuj w wybranym języku programowania omówiony algorytm sprawdzający przecinek czy w danym grafie znajduje się cykl otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów foreign cudzysłów lang znak równości cudzysłów de cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Eulera otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny kropka otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik section zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2S cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2S cudzysłów class znak równości cudzysłów has minus icon minus container animation minus ready animation minus fade minus out animated animated minus minus hide cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Poniżej znajduje się pseudokod innej funkcji sprawdzającej przecinek czy dany graf jest otwórz nawias ostrokątny strong zamknij nawias ostrokątny grafem eulerowskim otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik strong zamknij nawias ostrokątny kropka Tym razem korzystamy jednak z otwórz nawias ostrokątny strong zamknij nawias ostrokątny listy sąsiedztwa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik strong zamknij nawias ostrokątny przecinek a nie otwórz nawias ostrokątny strong zamknij nawias ostrokątny macierzy sąsiedztwa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik strong zamknij nawias ostrokątny jak wcześniej kropka otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2W cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2W cudzysłów class znak równości cudzysłów has minus icon minus container animation minus ready animation minus fade minus out animated animated minus minus hide cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Argumentami funkcji są lista sąsiedztwa reprezentująca graf przecinek na podstawie której sprawdzona zostanie parzystość stopni wierzchołków przecinek oraz liczba wierzchołków grafu kropka Funkcja zwróci prawdziwy wynik jedynie w przypadku przecinek gdy wejściowy graf jest spójny kropka otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny section data minus block minus name znak równości cudzysłów Note cudzysłów data minus block minus resolved minus by znak równości cudzysłów nota cudzysłów data minus editor minus block znak równości cudzysłów cudzysłów class znak równości cudzysłów has minus icon minus container animation minus ready animation minus fade minus out animated animated minus minus hide cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus editor minus params znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus specifier minus resolvedby znak równości cudzysłów cudzysłów data minus specifier minus type znak równości cudzysłów nota cudzysłów data minus specifier minus type minus main znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus alternative znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus value znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus block minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów note note minus minus important cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów section minus content cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2Y cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2Y cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny strong zamknij nawias ostrokątny Specyfikacja problemu dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik strong zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 30 cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny em zamknij nawias ostrokątny Dane otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik em zamknij nawias ostrokątny dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny ul data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 32 cudzysłów id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 32 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik code zamknij nawias ostrokątny. Linia 18. otwórz nawias ostrokątny em zamknij nawias ostrokątny Wynik dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik em zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny ul data minus id znak równości cudzysłów D7E77JMKX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2N cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny li data minus id znak równości cudzysłów D7E77JMKX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 2O cudzysłów zamknij nawias ostrokątny komunikat informujący o tym przecinek czy graf zawiera cykl Eulera otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik li zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik ul zamknij nawias ostrokątny.

tak skonstruowanego algorytmu dane wejściowe opisujące graf reprezentujący Królewiec współcześnie wyglądałyby następująco:

A:B→C→DB:A→DC:A→DD:A→B→D

Praca domowa

Zaimplementuj w wybranym języku programowania omówiony algorytm sprawdzający, czy w danym grafie znajduje się cykl Eulera.

Algorytm sprawdzający, czy graf zawiera ścieżkę Eulera– pseudokod

Przeanalizujmy teraz algorytm sprawdzający, czy w grafie można wyznaczyć ścieżkę Eulera. Nazywamy w ten sposób ścieżkę, która przechodzi przez każdą krawędź grafu dokładnie raz i która nie musi kończyć się w wierzchołku, w którym się zaczynała.

Graf, który nie zawiera cyklu Eulera, a jedynie ścieżkę Eulera, nazywamy grafem półeulerowskim. Aby graf można było nazwać półeulerowskim, musi on spełniać warunek zawarty w poniższym twierdzeniu.

o istnieniu grafu półeulerowskiego
Twierdzenie: o istnieniu grafu półeulerowskiego

Graf spójny nazywamy grafem półeulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera on dokładnie dwa wierzchołki stopnia nieparzystego.

Na tej podstawie wcześniej przedstawiony algorytm można zmodyfikować tak, aby sprawdzał zarówno, czy graf jest eulerowski, jak i półeulerowski.

Specyfikacja problemu:

Dane:

  • macierzSasiedztwa – macierz sąsiedztwa grafu; tablica tablic (lista list) liczb naturalnych z przedziału <0, 1>

Wynik:

  • komunikat informujący o tym, czy graf jest eulerowski, półeulerowski lub nie jest ani eulerowski, ani półeulerowski

Zaczynamy od zapisania nagłówka funkcji istnienieSciezkiEulera, która jako argument przyjmuje macierz sąsiedztwa macierzSasiedztwa. W kolejnym kroku inicjalizujemy zmienną liczbaWierzcholkow jako rozmiar macierzy, czyli liczbę wierzchołków w grafie.

Następnie tworzymy tablicę (listę) stopnieWierzcholkow o długości liczbaWierzcholkow i wypełniamy ją wartościami początkowymi 0.

Zapisujemy pętlę, która będzie iterować po kolejnych wierzchołkach i zapisywać dla nich stopnie wierzchołków.

Wewnątrz tej pętli zapisujemy drugą pętlę, której zadaniem będzie sprawdzenie sąsiedztwa wierzchołka.

Dla każdego elementu tablicy (listy) stopnieWierzcholkow zwiększamy ten element o wartość zmiennej macierzSasiedztwa[i][j].

Po zakończeniu obu pętli obliczone zostają stopnie wszystkich wierzchołków.

Inicjalizujemy zmienną liczbaNieparzystych wartością 0. Zmienna będzie przechowywać liczbę wierzchołków o stopniu nieparzystym.

Uruchamiamy pętlę, aby zliczyć wierzchołki o stopniu nieparzystym.

Sprawdzamy warunek stopnieWierzcholkow[i] mod 2 != 0. Jeśli warunek jest spełniony, zwiększamy wartość zmiennej liczbaNieparzystych o 1.

Po zakończeniu pętli zostaje obliczona liczba wierzchołków o stopniu nieparzystym.

Wykonujemy instrukcję warunkową. Sprawdzamy, czy wartość zmiennej liczbaNieparzystych wynosi 0. Jeśli tak, oznacza to, że wszystkie wierzchołki mają stopień parzysty, a więc mamy do czynienia z grafem eulerowskim. Wypisujemy odpowiedni komunikat.

Jeśli wartość zmiennej liczbaNieparzystych wynosi 2, oznacza to, że dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty, co oznacza, że graf zawiera ścieżkę Eulera i jest grafem półeulerowskim. Wypisujemy odpowiedni komunikat.

W przeciwnym razie, gdy żaden z powyższych warunków nie jest spełniony, graf nie zawiera ani cyklu Eulera, ani ścieżki Eulera, zatem graf nie jest ani eulerowski, ani półeulerowski. Wypisujemy odpowiedni komunikat

Algorytm kończy swoje działanie.

Linia 1. funkcja istnienieSciezkiEulera otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 2. liczbaWierzcholkow ← długość otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły. Linia 3. stopnieWierzcholkow ← otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy asterysk liczbaWierzcholkow. Linia 4. liczbaNieparzystych ← 0. Linia 5. otwórz nawias ostrokątny code style znak równości cudzysłów white minus space dwukropek pre średnik cudzysłów data minus inline zamknij nawias ostrokątny dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek. Linia 6. dla j znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek. Linia 7. stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy ← stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy plus macierzSasiedztwa otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias kwadratowy j zamknij nawias kwadratowy. Linia 9. dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek. Linia 10. jeżeli stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy mod 2 wykrzyknik znak równości 0 dwukropek. Linia 11. liczbaNieparzystych ← liczbaNieparzystych plus 1. Linia 13. jeżeli liczbaNieparzystych znak równości 0 dwukropek. Linia 14. wypisz otwórz nawias okrągły cudzysłów Graf jest eulerowski kropka cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 15. w przeciwnym razie jeżeli liczbaNieparzystych znak równości 2 dwukropek. Linia 16. wypisz otwórz nawias okrągły cudzysłów Graf jest półeulerowski kropka cudzysłów zamknij nawias okrągły. Linia 17. w przeciwnym razie dwukropek. Linia 18. wypisz otwórz nawias okrągły cudzysłów Graf nie jest ani eulerowski przecinek ani półeulerowski kropka cudzysłów zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik code zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów codemirror minus holder cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror cm minus s minus default cudzysłów translate znak równości cudzysłów no cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów overflow dwukropek hidden średnik position dwukropek relative średnik width dwukropek 3px średnik height dwukropek 0px średnik top dwukropek 4px średnik left dwukropek 34px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny textarea style znak równości cudzysłów position dwukropek absolute średnik bottom dwukropek minus 1em średnik padding dwukropek 0px średnik width dwukropek 1px średnik height dwukropek 1em średnik min minus height dwukropek 1em średnik outline dwukropek none średnik cudzysłów wrap znak równości cudzysłów off cudzysłów autocorrect znak równości cudzysłów off cudzysłów autocapitalize znak równości cudzysłów none cudzysłów spellcheck znak równości cudzysłów false cudzysłów readonly znak równości cudzysłów cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów 0 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik textarea zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus vscrollbar cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów minus 1 cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów style znak równości cudzysłów display dwukropek block średnik bottom dwukropek 0px średnik width dwukropek 18px średnik visibility dwukropek hidden średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów min minus width dwukropek 1px średnik height dwukropek 561px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus hscrollbar cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów minus 1 cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów style znak równości cudzysłów display dwukropek block średnik right dwukropek 0px średnik left dwukropek 30px średnik height dwukropek 18px średnik visibility dwukropek hidden średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów height dwukropek 100 procent średnik min minus height dwukropek 1px średnik width dwukropek 821 kropka 75px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus scrollbar minus filler cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus filler cudzysłów cm minus not minus content znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus scroll cudzysłów tabindex znak równości cudzysłów minus 1 cudzysłów draggable znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus sizer cudzysłów style znak równości cudzysłów margin minus left dwukropek 30px średnik margin minus bottom dwukropek 0px średnik border minus right minus width dwukropek 50px średnik min minus height dwukropek 541px średnik min minus width dwukropek 801 kropka 75px średnik padding minus right dwukropek 0px średnik padding minus bottom dwukropek 0px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik top dwukropek 0px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus lines cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik outline dwukropek none średnik cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus measure cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div zamknij nawias ostrokątny 19 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus measure cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik z minus index dwukropek 1 średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus cursors cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus cursor cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 4px średnik top dwukropek 0px średnik height dwukropek 28 kropka 0667px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus code cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów style znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny funkcja istnienieSciezkiEulera otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 2 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny liczbaWierzcholkow ← długość otwórz nawias okrągły macierzSasiedztwa zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 3 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny stopnieWierzcholkow ← otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy asterysk liczbaWierzcholkow otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 4 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny liczbaNieparzystych ← 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 5 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span cm minus text znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 6 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 7 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny dla j znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 8 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy ← stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy plus macierzSasiedztwa otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias kwadratowy j zamknij nawias kwadratowy otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 9 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span cm minus text znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 10 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny dla i znak równości 0 przecinek 1 przecinek kropka kropka kropka przecinek liczbaWierzcholkow minus 1 wykonuj dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 11 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny jeżeli stopnieWierzcholkow otwórz nawias kwadratowy i zamknij nawias kwadratowy mod 2 wykrzyknik znak równości 0 dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 12 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny liczbaNieparzystych ← liczbaNieparzystych plus 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 13 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span cm minus text znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 14 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny jeżeli liczbaNieparzystych znak równości 0 dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 15 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny wypisz otwórz nawias okrągły cudzysłów Graf jest eulerowski kropka cudzysłów zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 16 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny w przeciwnym razie jeżeli liczbaNieparzystych znak równości 2 dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 17 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny wypisz otwórz nawias okrągły cudzysłów Graf jest półeulerowski kropka cudzysłów zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 18 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny w przeciwnym razie dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek relative średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter minus wrapper cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek minus 30px średnik cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus linenumber CodeMirror minus gutter minus elt cudzysłów style znak równości cudzysłów left dwukropek 0px średnik width dwukropek 21px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny 19 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny pre class znak równości cudzysłów CodeMirror minus line cudzysłów role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span role znak równości cudzysłów presentation cudzysłów zamknij nawias ostrokątny wypisz otwórz nawias okrągły cudzysłów Graf nie jest ani eulerowski przecinek ani półeulerowski kropka cudzysłów zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div style znak równości cudzysłów position dwukropek absolute średnik height dwukropek 50px średnik width dwukropek 1px średnik border minus bottom dwukropek 0px solid transparent średnik top dwukropek 541px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutters cudzysłów style znak równości cudzysłów height dwukropek 591px średnik left dwukropek 0px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów CodeMirror minus gutter CodeMirror minus linenumbers cudzysłów style znak równości cudzysłów width dwukropek 29px średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik pre zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik figure zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5G cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5G cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Przykładowe dane wejściowe odpowiadające obecnym mostom królewieckim wyglądałyby tak jak w poprzednim algorytmie dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5H cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5H cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span aria minus label znak równości cudzysłów nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego cudzysłów role znak równości cudzysłów math cudzysłów data minus editor minus mathml znak równości cudzysłów ampersant lt średnik math aria minus label znak równości ampersant quot średnik nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego ampersant quot średnik role znak równości ampersant quot średnik math ampersant quot średnik ampersant gt średnik ampersant lt średnik mo ampersant gt średnik ampersant amp średnik nbsp średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mo ampersant gt średnik ampersant lt średnik mfenced open znak równości ampersant quot średnik otwórz nawias kwadratowy ampersant quot średnik close znak równości ampersant quot średnik zamknij nawias kwadratowy ampersant quot średnik ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtable ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 1 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik mn ampersant gt średnik 0 ampersant lt średnik prawy ukośnik mn ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtd ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtr ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mtable ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik mfenced ampersant gt średnik ampersant lt średnik prawy ukośnik math ampersant gt średnik cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus container class znak równości cudzysłów MathJax cudzysłów jax znak równości cudzysłów CHTML cudzysłów style znak równości cudzysłów font minus size dwukropek 112 kropka 5 procent średnik position dwukropek relative średnik cudzysłów contenteditable znak równości cudzysłów false cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus math aria minus label znak równości cudzysłów nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego cudzysłów role znak równości cudzysłów math cudzysłów class znak równości cudzysłów MJX minus TEX cudzysłów aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mo class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus cA0 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mfenced zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mo class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus stretchy minus v style znak równości cudzysłów height dwukropek 5 kropka 293em średnik vertical minus align dwukropek minus 2 kropka 397em średnik cudzysłów class znak równości cudzysłów mjx minus c5B cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus stretchy minus v zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtable style znak równości cudzysłów min minus width dwukropek 4 kropka 4em średnik cudzysłów justify znak równości cudzysłów left cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus table zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus itable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c31 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mn class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c class znak równości cudzysłów mjx minus c30 cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus tstrut zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus itable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus table zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mtable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mo class znak równości cudzysłów mjx minus n cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus stretchy minus v style znak równości cudzysłów height dwukropek 5 kropka 293em średnik vertical minus align dwukropek minus 2 kropka 397em średnik cudzysłów class znak równości cudzysłów mjx minus c5D cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus beg zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus ext zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus c zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus end zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mark zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus stretchy minus v zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus mfenced zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus math zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mjx minus assistive minus mml unselectable znak równości cudzysłów on cudzysłów display znak równości cudzysłów block cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny math xmlns znak równości cudzysłów http dwukropek prawy ukośnik prawy ukośnik www kropka w3 kropka org prawy ukośnik 1998 prawy ukośnik Math prawy ukośnik MathML cudzysłów aria minus label znak równości cudzysłów nawias kwadratowy przecinek macierz przecinek element przecinek jeden jeden przecinek zero przecinek element przecinek dwa jeden przecinek jeden przecinek element przecinek trzy jeden przecinek jeden przecinek element przecinek cztery jeden przecinek jeden przecinek element przecinek jeden dwa przecinek jeden przecinek element przecinek dwa dwa przecinek zero przecinek element przecinek trzy dwa przecinek jeden przecinek element przecinek cztery dwa przecinek zero przecinek element przecinek jeden trzy przecinek jeden przecinek element przecinek dwa trzy przecinek jeden przecinek element przecinek trzy trzy przecinek zero przecinek element przecinek cztery trzy przecinek zero przecinek element przecinek jeden cztery przecinek jeden przecinek element przecinek dwa cztery przecinek zero przecinek element przecinek trzy cztery przecinek zero przecinek element przecinek cztery cztery przecinek zero przecinek zamknięcie nawiasu kwadratowego cudzysłów role znak równości cudzysłów math cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mo zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mfenced open znak równości cudzysłów otwórz nawias kwadratowy cudzysłów close znak równości cudzysłów zamknij nawias kwadratowy cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 1 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny mn zamknij nawias ostrokątny 0 otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mn zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtd zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtr zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mtable zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mfenced zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik math zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus assistive minus mml zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik mjx minus container zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik section zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny section data minus block minus name znak równości cudzysłów StudentWorkHomework cudzysłów data minus block minus resolved minus by znak równości cudzysłów praca minus domowa cudzysłów data minus editor minus block znak równości cudzysłów cudzysłów class znak równości cudzysłów has minus icon minus container animation minus ready animation minus fade minus out animated animated minus minus hide cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus editor minus params znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus specifier minus resolvedby znak równości cudzysłów cudzysłów data minus specifier minus type znak równości cudzysłów praca minus domowa cudzysłów data minus specifier minus type minus main znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus alternative znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus value znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus block minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów note note minus minus warning cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów note podkreślnik podkreślnik title cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Praca domowa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów section minus content cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5K cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5K cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Zaimplementuj w wybranym języku programowania omówiony algorytm wyszukiwania ścieżki otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów foreign cudzysłów lang znak równości cudzysłów de cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Eulera otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny w grafie kropka otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik div zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik section zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5M cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5M cudzysłów class znak równości cudzysłów has minus icon minus container animation minus ready animation minus fade minus out animated animated minus minus hide cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Przeanalizujmy teraz algorytm sprawdzający przecinek czy w grafie można wyznaczyć ścieżkę otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów foreign cudzysłów lang znak równości cudzysłów de cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Eulera otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny przecinek ale wykorzystujący otwórz nawias ostrokątny strong zamknij nawias ostrokątny listę sąsiedztwa otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik strong zamknij nawias ostrokątny kropka otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny section data minus block minus name znak równości cudzysłów Note cudzysłów data minus block minus resolved minus by znak równości cudzysłów nota cudzysłów data minus editor minus block znak równości cudzysłów cudzysłów class znak równości cudzysłów has minus icon minus container animation minus ready animation minus fade minus out animated animated minus minus hide cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus editor minus params znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus specifier minus resolvedby znak równości cudzysłów cudzysłów data minus specifier minus type znak równości cudzysłów nota cudzysłów data minus specifier minus type minus main znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus alternative znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span data minus value znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus block minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów dummy minus node cudzysłów data minus editor minus no minus parse znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów note note minus minus important cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div class znak równości cudzysłów section minus content cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny div data minus editor minus content znak równości cudzysłów cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5Q cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5Q cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny strong zamknij nawias ostrokątny Specyfikacja problemu dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik strong zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny p id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5S cudzysłów data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5S cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny em zamknij nawias ostrokątny Dane otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik em zamknij nawias ostrokątny dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik p zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny ul data minus id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5U cudzysłów id znak równości cudzysłów DAf7fBcRX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 5U cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik code zamknij nawias ostrokątny. Linia 21. otwórz nawias ostrokątny em zamknij nawias ostrokątny Wynik dwukropek otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik em zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny ul data minus id znak równości cudzysłów D7E77JMKX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 4G cudzysłów zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny li data minus id znak równości cudzysłów D7E77JMKX podkreślnik pl podkreślnik main podkreślnik podkreślnik 4H cudzysłów zamknij nawias ostrokątny komunikat informujący o tym przecinek czy graf jest eulerowski przecinek półeulerowski lub nie jest ani eulerowski przecinek ani półeulerowski otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik li zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik ul zamknij nawias ostrokątny.

Przykładowe dane wejściowe odpowiadające obecnym mostom królewieckim wyglądałyby tak jak w poprzednim algorytmie:

A:B→C→DB:A→DC:A→DD:A→B→D

Praca domowa

Zaimplementuj w wybranym języku programowania omówiony algorytm wyszukiwania ścieżki Eulera w grafie.

Ważne!

Wykorzystaliśmy funkcję długość(). Ma ona swoje odpowiedniki w językach programowania.

C++

Linia 1. sizeof otwórz nawias okrągły lista zamknij nawias okrągły prawy ukośnik sizeof otwórz nawias okrągły lista otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły.

Przykład:

Linia 1. kratka include otwórz nawias ostrokątny iostream zamknij nawias ostrokątny. Linia 2. using namespace std średnik. Linia 4. int main otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 5. string lista otwórz nawias kwadratowy 3 zamknij nawias kwadratowy znak równości otwórz nawias klamrowy cudzysłów kot cudzysłów przecinek cudzysłów pies cudzysłów przecinek cudzysłów rybki cudzysłów zamknij nawias klamrowy średnik. Linia 6. int x znak równości sizeof otwórz nawias okrągły lista zamknij nawias okrągły prawy ukośnik sizeof otwórz nawias okrągły lista otwórz nawias kwadratowy 0 zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły średnik. Linia 7. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny x otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny endl średnik. Linia 8. otwórz nawias ostrokątny code style znak równości cudzysłów white minus space dwukropek pre średnik cudzysłów data minus inline zamknij nawias ostrokątny return 0 średnik otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik code zamknij nawias ostrokątny. Linia 10. zamknij nawias klamrowy. Linia 12. prawy ukośnik prawy ukośnik wynik działania programu. Linia 13. prawy ukośnik prawy ukośnik 3.

Słownik

cykl
cykl

ścieżka zamknięta, która zaczyna się i kończy w tym samym wierzchołku

multigraf
multigraf

graf, w którym możliwe jest połączenie dwóch wierzchołków za pomocą kilku krawędzi lub w którym występują krawędzie łączące wierzchołek sam ze sobą

ścieżka
ścieżka

trasa łącząca kolejne wierzchołki grafu, w której wszystkie krawędzie są różne

Na dobry początek
Strefa wyzwań