4. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

RcYvZesDmXD83

Prawdopodobnie w karty grywali już Chińczycy w $X$ wieku. Karty do gry powstały z przeniesienia na papier notacji używanej w grze w kości.

Do Europy karty trafiły mniej więcej w $XIV$ . Początkowo sporządzano je ręcznie, więc były bardzo drogie.

W Polsce gra w karty szybko się rozprzestrzeniła. W $XI$ w. na rynkach można było spotkać kartowników, czyli kramarzy sprzedających tylko karty. Obecnie karty straciły na popularności, ale w tradycji szkolnej, ciągle w modzie są zadania, w których należy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania z talii danego zestawu kart.

RL0AE3DBSa4AO

Siedemnastowieczny obraz przdstawia cztery postacie siedzące przy stole, grające w karty. W centrum znajduje się dama w złotej aksamitnej sukni, nosząca biżuterię z pereł. Skromniej ubrana kobieta podaje jest czerwony płyn w kieliszku. Dama patrzy na kobietę porozumiewawczo. Trzyma w lewej dłoni złożone karty do gry. Na pierwszym planie po lewo siedzi bogato ubrany młodzieniec. Po lewej stronie siedzi mody mężczyzna ubrany skromniej. Mężczyzna trzyma w prawej dłoni kilka kart, prawy łokieć opiera na stole. Lewą rękę chowa za plecami i trzyma tam dwa asy. Dama wyciąga w jego kierunku prawą dłoń, wskazując na niego palcem. — Georges de La Tour
**Oszust z asem karo** (1636-1638)

W tym materiale również rozwiążemy takie zadania, skorzystamy przy tym z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Klasyczne definicja prawdopodobieństwa obejmuje tylko przypadki, gdy rozważane zdarzenia są jednakowo prawdopodobne i jest ich skończona liczba. Takie założenie przyjmowano automatycznie w początkach rozwoju rachunku prawdopodobieństwa, niestety często prowadziło to do błędnych rozwiązań. Sytuacje oparte na założeniach klasycznej definicji prawdopodobieństwa rzadko występują w realnym świecie. Jednak ich rozważanie rozwija umiejętność logicznego myślenia i jest bazą do prowadzenia bardziej złożonych operacji matematycznych, np. w obliczeniach statystycznych.

Twoje cele

Sformułujesz własną definicję prawdopodobieństwa.
Rozpoznasz zdarzenia jednakowo prawdopodobne.
Określisz zbiór zdarzeń sprzyjających zajściu danego zdarzenia.
Obliczysz prawdopodobieństwo zdarzenia, korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Obserwacje wyników gier losowych doprowadziły do formułowania pierwszych stwierdzeń i wniosków dotyczących szans wygranej. Odpowiedzią na interesujące graczy zjawiska, była definicja prawdopodobieństwa (zwana dzisiaj klasyczną), sformułowana przez osiemnastowiecznego francuskiego matematyka, fizyka, astronoma i geodetę Pierra Simona de Laplace’a.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Definicja: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych.

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A \subset Ω$ nazywamy liczbę:

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|}

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa wynika więc, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A \subset Ω$ jest równe ilorazowi liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych należących do zbioru $Ω$ .

Definicja ta zakłada więc, że wszystkie zdarzenia elementarne wzajemnie się wykluczają, a ich wystąpienia są równie możliwe.

Podsumowując – w klasycznym schemacie obliczania prawdopodobieństwa zakłada się więc, że:

zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym,
wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

Korzystając z tych założeń (nie powtarzając ich za każdym razem) będziemy rozwiązywać wszystkie zadania w tym materiale.

Pokażemy teraz zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwaklasyczna definicja prawdopodobieństwaklasycznej definicji prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń, na przykładzie losowania kart do gry.

Przed rozwiązywaniem zadań, kilka przydatnych wiadomości.

Zwykle talia do gry zawiera $52$ karty w czterech kolorach: pik, kier, trefl, karo. W każdym z tych kolorów jest $13$ kart.

RKdXScgXNio9H

Ilustracja przedstawia kolory kart: pik, czyli czarne odwrócone serce z trójkątnym trzonkiem w podstawie, kier, czyli czerwone serce, trefl przypominający czarne drzewko oraz czerwone karo w kształcie podobnym do rombu, kórego boki są lekko wklęsłe.

Każdy z kolorów posiada dziewięć kart numerowanych od $2$ do $10$ oraz trzy figury: król, dama, walet oraz dodatkową kartę – as.

W pierwszych trzech przykładach losować będziemy tylko jedną kartę z talii.

Przykład 1

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to figura.

Zdarzeniu $F$ – wylosowana karta to figura, sprzyja $3 \cdot 4 = 12$ zdarzeń elementarnych (są trzy figury w każdym z czterech kolorów).

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa $52$ (tyle jest kart w talii).

Korzystamy ze wzoru podanego w klasycznej definicji prawdopodobieństwaklasyczna definicja prawdopodobieństwaklasycznej definicji prawdopodobieństwa.

$P (F) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to figura jest równe $\frac{3}{13}$ .

Przykład 2

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta nie jest ani treflem, ani damą.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty, która nie jest ani treflem, ani damą.

Jeśli karta nie ma być treflem, to może być pikiem, kierem, karo – $3 \cdot 13 = 39$ możliwości.

Jednak wśród tych kart są trzy damy. Musimy je wykluczyć.

Zatem:

$|A| = 39 - 3 = 36$

Możemy teraz obliczyć szukane prawdopodobieństwo.

$P (A) = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta nie jest ani kierem, ani damą jest równe $\frac{9}{13}$ .

Przykład 3

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest kierem, karo lub dwójką.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty, która jest kierem, karo lub dwójką.

Wylosowana karta może być kierem ( $13$ możliwości) lub karo ( $13$ możliwości), może być też dwójką ( $4$ możliwości).

Wydaje się więc, że liczba zdarzeń sprzyjających wylosowaniu karty jest równa $13 + 13 + 4$ .

Jednak tak nie jest, bo są dwie dwójki, które w ten sposób liczone by były podwójnie – dwójka kier i dwójka karo.

Zatem:

$|A| = 13 + 13 + 4 - 2 = 28$

Stąd:

$P (A) = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest kierem, karo lub dwójką jest równe $\frac{7}{13}$ .

Teraz czas na trudniejsze przykłady.

Przykład 4

Z talii $52$ kart losujemy ze zwracaniem trzy karty. Obliczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolejno dwójką, trójkę i czwórkę.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu kolejno dwójki, trójki i czwórki.

Losujemy karty ze zwracaniem, więc za każdym razem losujemy jedną kartę z $52$ . Zgodnie z regułą mnożenia:

$|Ω| = 52 \cdot 52 \cdot 52 = 52^{3}$

W talii są cztery dwójki, cztery trójki i cztery czwórki, zatem, rozumując w podobny sposób, jak przy wyznaczaniu mocy zdarzeń elementarnych, otrzymujemy:

$|A| = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{3}$

Stąd:

$P (A) = \frac{4^{3}}{52^{3}} = {(\frac{1}{13})}^{3} = \frac{1}{2197}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowane karty to dwójka, trójka i czwórka jest równe $\frac{1}{2197}$ .

Polecenie 1

Być może nigdy nie zdarzyło Ci się grać w kości, ale możesz mi wierzyć – ta gra była przez kilka stuleci pasjonującą rozrywką nie tylko dla zawodowych graczy. Wybitne umysły europejskie poszukiwały odpowiedzi na pytanie Jak grać, żeby wygrać? Jednym z nich był Francus Antoine Gombaud znany jako Chevalier de Méré, ekstrawagancki pisarz, matematyk – amator. Jak każdy hazardzista, chciał znaleźć pewny sposób na wygraną. W przeciwieństwie do większości graczy, prowadził systematyczne obserwacje wyrzucanych liczb oczek. Zauważył, że szansa wypadnięcia każdej z sześciu liczb oczek na kostce jest taka sama. Zatem szansa uzyskania szóstki w jednym rzucie wynosi 1:6 . Czyli w czterech rzutach szansa uzyskania szóstki będzie czterokrotnie większa, czyli wynosi 4:6. Wyciągnął więc wniosek, że gdyby rozegrać wystarczającą liczbę gier, sukces będzie zapewniony. Gombaud co prawda zarobił na grze w kości mnóstwo pieniędzy, ale jak się okazuje powyższe rozumowanie nie było słuszne.

Podamy inny przykład błędnego rozumowania, opartego na dociekaniach kawalera de’Mere.

R18adL0r803f1

Ilustracja interaktywna Problem kawalera de'Mere Rzucamy trzema kostkami do gry i dodajemy liczby oczek, które wypadły na kostkach. Twierdzimy, że suma oczek równa jedenaście będzie tak samo często wypadała, jak suma oczek równa dwanaście. Uzasadnienie 1. Przy rzucie trzema kostkami sumę oczek równą jedenaście można uzyskać sześcioma sposobami: jedenaście, równa się, jeden, plus, cztery, plus, sześć
jedenaście, równa się, jeden, plus, pięć, plus, pięć
jedenaście, równa się, dwa, plus, cztery, plus, pięć
jedenaście, równa się, dwa, plus, trzy, plus, sześć
jedenaście, równa się, trzy, plus, cztery, plus, cztery
jedenaście, równa się, trzy, plus, trzy, plus, pięć, 2. Przy rzucie trzema kostkami sumę oczek równą dwanaście można uzyskać też sześcioma sposobami:dwanaście, równa się, jeden, plus, pięć, plus, sześć
dwanaście, równa się, dwa, plus, pięć, plus, pięć
dwanaście, równa się, dwa, plus, cztery, plus, sześć
dwanaście, równa się, trzy, plus, trzy, plus, sześć
dwanaście, równa się, trzy, plus, cztery, plus, pięć
dwanaście, równa się, cztery, plus, cztery, plus, cztery, 3. Jednak nie mamy racji. Dlaczego? Ważne jes więc nie tylko jakie liczby oczek wypadły, ale też na których kostkach. {audio}Bowiem traktujemy kostki jako nierozróżnialne. Okazuje się jednak, że rzucając kilkoma kostkami koniecznie należy je rozróżnić, czego nie zrobiliśmy powyżej., 4. Na przykład poniższe wyniki są różne.

nawias, jeden przecinek pięć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu
nawias, jeden przecinek sześć, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu
nawias, pięć przecinek jeden, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu
nawias, pięć przecinek sześć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu
nawias, sześć przecinek jeden, przecinek, pięć, zamknięcie nawiasu
nawias, sześć przecinek pięć, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. Zajściu zdarzenia polegającego na otrzymaniu sumy oczek równej jedenaście sprzyja dwadzieścia siedem wyników: trzy, razy, trzy silnia, plus, trzy, razy, trzy, równa się, dwadzieścia siedem, 6. Zajściu zdarzenia polegającego na otrzymaniu sumy oczek równej dwanaście sprzyja dwadzieścia pięć wyników: trzy, razy, trzy silnia, plus, dwa, razy, trzy, plus, jeden, równa się, dwadzieścia pięć. Zatem szansa wypadnięcia sumy oczek równej jedenaście jest większa, niż szansa wypadnięcia sumy oczek równej dwanaście .

Polecenie 2

Rzucamy dwiema kostkami do gry i dodajemy liczby oczek, które wypadły na kostkach. Czy częściej wypadnie suma oczek równa $5$ czy $9$ ? Odpowiedź uzasadnij.

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu polegającemu na wypadnięciu sumy oczek równej $5$ jest taka sama jak liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu polegającemu na wypadnięciu sumy oczek równej $9$ (są $4$ możliwości). Suma oczek równa $5$ wypada tak samo często, jak suma oczek równa $9$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z filmem. Porównaj uzyskane wcześnie wiadomości z tymi, zawartymi na filmie. Zwróć uwagę na istotne elementy, ograniczające stosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

R1G1rOHtTsAlo

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RHa1e5R2jLTiA1

Ćwiczenie 1

R1c06Q0QOzldo1

Ćwiczenie 2

RvVnrHZlByhwt2

Ćwiczenie 3

RQDYCIL40FG2F2

Ćwiczenie 4

R1ZFRxDsu9y0S1

Ćwiczenie 5

RvZvyl9tueYSB2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Paweł losuje trzy karty z talii do gry w skata, zawierającej $32$ karty.

R1Zrj6OT4xlWD

Ilustracja przedstawia talię do gry w skata, składającą się z trzydziestu dwóch kart. Są to karty ułożone w czterech rzędach i w ośmiu kolumnach. Od lewej w pierwszym rzędzie mamy trefle: siódemkę, ósemkę, dziewiątkę, dziesiątkę, waleta, damę, króla, asa. Tak samo rosnąco ułożone są karty w każdym rzędzie. Drugi rząd to kiery, trzeci to piki, czwarty to karo.

Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania przez Pawła trzech kart koloru czarnego, jeśli losuje karty:

ze zwracaniem,
bez zwracania.

$p = \frac{16 \cdot 16 \cdot 16}{32 \cdot 32 \cdot 32} = \frac{1}{8}$ ,
$p = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{32 \cdot 31 \cdot 30} = \frac{7}{62}$ .

Słownik

klasyczna definicja prawdopodobieństwa

niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych; prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A \subset Ω$ nazywamy liczbę

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|}

3. Zdarzenia losowe

5. Metoda drzew