• Sformułujesz własną definicję prawdopodobieństwa.

• Rozpoznasz zdarzenia jednakowo prawdopodobne.

• Określisz zbiór zdarzeń sprzyjających zajściu danego zdarzenia.

• Obliczysz prawdopodobieństwo zdarzenia, korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych.

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A\subset \mathrm{\Omega }$ nazywamy liczbę:

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to figura.

Rozwiązanie:

Zdarzeniu $F$ – wylosowana karta to figura, sprzyja $3·4=12$ zdarzeń elementarnych (są trzy figury w każdym z czterech kolorów).

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa $52$ (tyle jest kart w talii).

Korzystamy ze wzoru podanego w klasycznej definicji prawdopodobieństwaklasyczna definicja prawdopodobieństwaklasycznej definicji prawdopodobieństwa.

$P\left(F\right)=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to figura jest równe $\frac{3}{13}$.

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta nie jest ani treflem, ani damą.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty, która nie jest ani treflem, ani damą.

Jeśli karta nie ma być treflem, to może być pikiem, kierem, karo – $3·13=39$ możliwości.

Jednak wśród tych kart są trzy damy. Musimy je wykluczyć.

Zatem:

$\left|A\right|=39-3=36$

Możemy teraz obliczyć szukane prawdopodobieństwo.

$P\left(A\right)=\frac{36}{52}=\frac{9}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta nie jest ani kierem, ani damą jest równe $\frac{9}{13}$.

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest kierem, karo lub dwójką.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty, która jest kierem, karo lub dwójką.

Wylosowana karta może być kierem ($13$ możliwości) lub karo ($13$ możliwości), może być też dwójką ($4$ możliwości).

Wydaje się więc, że liczba zdarzeń sprzyjających wylosowaniu karty jest równa $13+13+4$.

Jednak tak nie jest, bo są dwie dwójki, które w ten sposób liczone by były podwójnie – dwójka kier i dwójka karo.

Zatem:

$\left|A\right|=13+13+4-2=28$

Stąd:

$P\left(A\right)=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest kierem, karo lub dwójką jest równe $\frac{7}{13}$.

Z talii $52$ kart losujemy ze zwracaniem trzy karty. Obliczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolejno dwójką, trójkę i czwórkę.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu kolejno dwójki, trójki i czwórki.

Losujemy karty ze zwracaniem, więc za każdym razem losujemy jedną kartę z $52$. Zgodnie z regułą mnożenia:

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=52·52·52={52}^3$

W talii są cztery dwójki, cztery trójki i cztery czwórki, zatem, rozumując w podobny sposób, jak przy wyznaczaniu mocy zdarzeń elementarnych, otrzymujemy:

$\left|A\right|=4\cdot 4\cdot 4=4^3$

Stąd:

$P\left(A\right)=\frac{4^3}{{52}^3}={\left(\frac{1}{13}\right)}^3=\frac{1}{2197}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowane karty to dwójka, trójka i czwórka jest równe $\frac{1}{2197}$.

Rzucamy dwukrotnie symetryczną, sześcienną kostką do gry. Obliczymy, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez $6$.

Rozwiązanie:

Liczba wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia wynosi $36$, zatem  $\left|\mathrm{\Omega }\right|=36$

Przedstawmy za pomocą tabeli zbiór iloczynów liczb oczek, otrzymanych przy dwukrotnym rzucie symetryczną, sześcienną kostką do gry.

Zaznaczmy w tabeli te liczby, które są podzielne przez $6$:

Zatem $n=15$.
Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia  $A$ polegającego na tym, że iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez $6$ wynosi:
$P\left(A\right)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

Rzucamy dwa razy kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie mniejsza od $6$.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na otrzymaniu sumy oczek mniejszej od $6$.

Aby wyznaczyć moc zbioru zdarzeń elementarnych, korzystamy z reguły mnożenia.

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=6·6=36$

Rozwiązanie zadania wymaga wypisania wszystkich zdarzeń sprzyjających.

$A=\left\{\left(\mathrm{1,} 1\right),\left(\mathrm{1,} 2\right),\left(\mathrm{1,} 3\right),\left(\mathrm{1,} 4\right),\left(\mathrm{2,} 1\right),\left(\mathrm{2,} 2\right),\left(\mathrm{2,} 3\right),\left(\mathrm{3,} 1\right),\left(\mathrm{3,} 2\right),\left(\mathrm{4,} 1\right)\right\}$

Stąd:

$\left|A\right|=10$

Na podstawie klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

$P\left(A\right)=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek mniejszej od $6$ jest równe $\frac{5}{18}$.

Rzucamy kostką i monetą. Obliczymy prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki i parzystej liczby oczek.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wyrzuceniu reszki i parzystej liczby oczek.

Rzucamy kostką – $6$ możliwości,

rzucamy monetą – $2$ możliwości.

Zatem:

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=6·2=12$

W tym przypadku nie jest ważna kolejność, w jakiej rzucaliśmy kostką i monetą – możemy przyjąć, że rzucamy jednocześnie.

Zdarzania sprzyjające

$A=\left\{\left(2, R\right), \left(4, R\right), \left(6, R\right)\right\}$, czyli $\left|A\right|=3$

Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe:

$P\left(A\right)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki i parzystej liczby oczek jest równe $\frac{1}{4}$.

niech $\mathrm{\Omega }$ będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych; prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A\subset \mathrm{\Omega }$ nazywamy liczbę