5. Mnożenie ułamków zwykłych

R1bC5qtEd3H7A

R1NFIOCElEOin1

Grafika przedstawia arkusz papieru oznaczony kodem A0. Arkusz podzielony jest w poprzek na dwie części, z czego jedna jest oznaczona kodem A1, a druga znów podzielona na dwie części itd. Oznaczenia kodów są od A0 do A8. — Źródło: Sven, licencja: CC BY-SA 3.0. wikipedia.org.

Arkusz papieru w formacie A0 ma długość $1189 m m$ i szerokość $841 m m$ . Arkusz w formacie A1 jest jego połową, a arkusz A2 połową tej połowy. Podobnie jest z kolejnymi arkuszami, każdy jest połową arkusza o numerze o jeden mniejszym. Aby obliczyć wymiary kolejnych arkuszy można wykorzystać mnożenie ułamków.

W tym materiale dowiesz się, w jaki sposób mnożymy ułamki zwykłe i liczby mieszane. Obliczysz również kwadraty i sześciany tych liczb.

Mnożenie ułamków właściwych

Przykład 1

RZW1qY0mc3cOR1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Wykonamy mnożenie dwóch ułamków.

R1XXOuBjuy38N1

Dwa przykłady. Pierwszy: jedna siódma razy trzy piąte (w liczniku ułamka 1 razy 3, w mianowniku 7 razy 5) równa się trzy trzydzieste piąte. Drugi: jedna druga razy pięć siódmych razy trzy czwarte (w liczniku ułamka 1 razy 5 razy 3, w mianowniku 2 razy 7 razy 4) równa się piętnaście pięćdziesiąt szóstych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynikiem mnożenia dwóch ułamków jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników mnożonych ułamków.

Ważne!

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka oraz mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.

Przykład 3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{15}{56}$

RZ1oynzoSLNmp

Ćwiczenie 1

Wykonaj mnożenie ułamków zwykłych. Wyniki mnożenia przesuń w puste pola lub kliknij w pole i wybierz poprawny wynik z listy rozwijalnej.

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{4} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{9} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

\frac{2}{11} \cdot \frac{2}{3} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{7} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{6} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} =

\frac{7}{54}

, 2.

\frac{9}{70}

, 3.

\frac{1}{12}

, 4.

\frac{4}{33}

, 5.

\frac{35}{60}

, 6.

\frac{3}{14}

, 7.

\frac{15}{32}

, 8.

\frac{8}{63}

Przeciągnij i upuść.

$\frac{35}{60}$ , $\frac{4}{33}$ , $\frac{1}{12}$ , $\frac{8}{63}$ , $\frac{3}{14}$ , $\frac{7}{54}$ , $\frac{9}{70}$ , $\frac{15}{32}$

a) $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} =$ ............
b) $\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} =$ ............
c) $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{4} =$ ............
d) $\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{9} =$ ............
e) $\frac{2}{11} \cdot \frac{2}{3} =$ ............
f) $\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{7} =$ ............
g) $\frac{7}{10} \cdot \frac{5}{6} =$ ............
h) $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rs1v4EjOfXu0S

Ćwiczenie 2

Wykonaj mnożenie ułamków zwykłych. Wyniki mnożenia przesuń w puste pola lub kliknij w pole i wybierz poprawny wynik z listy rozwijalnej.

\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{10} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{1}{8} \cdot \frac{4}{5} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{4} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{7}{15} \cdot \frac{10}{21} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{6} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{9}{20} \cdot \frac{8}{21} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

\frac{4}{15} \cdot \frac{7}{9} =

\frac{2}{5}

, 2.

\frac{4}{9}

, 3.

\frac{6}{35}

, 4.

\frac{1}{10}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{5}

, 7.

\frac{28}{135}

, 8.

\frac{2}{9}

, 9.

\frac{3}{14}

, 10.

\frac{3}{14}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RC9v0i22gSm9R

Ćwiczenie 3

Wykonaj mnożenie ułamków zwykłych i skróć ułamki w wyniku. Wyniki mnożenia przesuń w puste pola lub kliknij w pole i wybierz poprawny wynik z listy rozwijalnej.

\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{31} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{27} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

\frac{21}{22} \cdot \frac{11}{35} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

\frac{5}{12} \cdot \frac{24}{25} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

\frac{18}{19} \cdot \frac{38}{45} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{28} =

\frac{4}{5}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

\frac{2}{5}

, 4.

\frac{1}{24}

, 5.

\frac{3}{10}

, 6.

\frac{4}{9}

, 7.

\frac{1}{6}

, 8.

\frac{3}{5}

Skróć, a następnie przeciągnij i upuść.

$\frac{2}{5}$ , $\frac{3}{5}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{4}{5}$ , $\frac{1}{24}$ , $\frac{4}{9}$ , $\frac{15}{31}$ , $\frac{3}{10}$

a) $\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{31} =$ ............
b) $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} =$ ............
c) $\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} =$ ............
d) $\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{27} =$ ............
e) $\frac{21}{22} \cdot \frac{11}{35} =$ ............
f) $\frac{5}{12} \cdot \frac{24}{25} =$ ............
g) $\frac{18}{19} \cdot \frac{38}{45} =$ ............
h) $\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{28} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cnFRuxBQEPt

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rj9EL4QmsgTWS

Ćwiczenie 5

Przeciągnij i upuść.

$\frac{5}{3}$ , $\frac{5}{7}$ , $\frac{21}{4}$ , $\frac{45}{22}$

a) $\frac{4}{5} \cdot$ ............ $= \frac{4}{7}$
b) $\frac{3}{8} \cdot$ ............ $= \frac{5}{8}$
c) $\frac{2}{9} \cdot$ ............ $= \frac{5}{11}$
d) $\frac{1}{6} \cdot$ ............ $= \frac{7}{8}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rw62i7GeAlPcB

Ćwiczenie 6

Przyjrzyj się mnożonym ułamkom i otrzymanym wynikom.

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}

Czy potrafisz, nie wykonując obliczeń, uzupełnić wyniki? Przesuń odpowiednie wartości w puste pola lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} =

\frac{3}{10}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{2}{9}

, 5.

\frac{2}{7}

, 6.

\frac{5}{11}

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

\frac{5}{12}

, 9.

\frac{3}{8}

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{9} =

\frac{3}{10}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{2}{9}

, 5.

\frac{2}{7}

, 6.

\frac{5}{11}

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

\frac{5}{12}

, 9.

\frac{3}{8}

\frac{11}{12} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} =

\frac{3}{10}

, 2.

\frac{1}{6}

, 3.

\frac{1}{6}

, 4.

\frac{2}{9}

, 5.

\frac{2}{7}

, 6.

\frac{5}{11}

, 7.

\frac{1}{8}

, 8.

\frac{5}{12}

, 9.

\frac{3}{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie liczb mieszanych

Przykład 4

Jeżeli jeden z czynników jest liczbą mieszaną lub oba są liczbami mieszanymi, zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

$2 \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{19}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{57}{28} = 2 \frac{1}{28}$

$2 \frac{3}{4} \cdot 3 \frac{5}{6} = \frac{11}{4} \cdot \frac{23}{6} = \frac{253}{24} = 10 \frac{13}{24}$

Przykład 5

Pomnożymy dwie liczby mieszane, zamieniając je najpierw na ułamki niewłaściwe.

R17fMAGYRnjTC1

Przykład: dwie całe i jedna druga razy jedna cała i cztery piąte równa się pięć drugich razy dziewięć piątych (po skróceniu przez pięć z licznika i mianownika ułamków liczby 5) równa się dziewięć drugich równa się cztery całe i jedna druga. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Aby pomnożyć liczby mieszane, należy zamienić je na ułamki niewłaściwe i pomnożyć otrzymane ułamki.

R1ATROGPGxJgO

Ćwiczenie 7

Połącz w pary.

<math><mn>3</mn><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo> &CenterDot; <mn>1</mn></mo><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac></math>, <math><mn>1</mn><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo> &CenterDot; <mn>1</mn></mo><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></math>, <math><mn>1</mn><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo> &CenterDot; <mn>1</mn></mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></mfrac></math>, <math><mn>2</mn><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo> &CenterDot; <mn>2</mn></mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math>

$\frac{3}{2} \cdot \frac{11}{10}$
$\frac{4}{3} \cdot \frac{8}{5}$
$\frac{9}{4} \cdot \frac{5}{2}$
$\frac{11}{3} \cdot \frac{7}{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ckYQfcta1OQ

Ćwiczenie 8

Wykonaj mnożenie ułamków zwykłych. Wyniki mnożenia przesuń w puste pola lub kliknij w pole i wybierz poprawny wynik z listy rozwijalnej.

1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} =

9 \frac{1}{3}

, 2.

5

, 3.

6

, 4.

1 \frac{1}{4}

, 5.

4

, 6.

2 \frac{5}{8}

, 7.

3

3 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{2}{3} =

9 \frac{1}{3}

, 2.

5

, 3.

6

, 4.

1 \frac{1}{4}

, 5.

4

, 6.

2 \frac{5}{8}

, 7.

3

2 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{3}{5} =

9 \frac{1}{3}

, 2.

5

, 3.

6

, 4.

1 \frac{1}{4}

, 5.

4

, 6.

2 \frac{5}{8}

, 7.

3

2 \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{1}{8} =

9 \frac{1}{3}

, 2.

5

, 3.

6

, 4.

1 \frac{1}{4}

, 5.

4

, 6.

2 \frac{5}{8}

, 7.

3

2 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{6} =

9 \frac{1}{3}

, 2.

5

, 3.

6

, 4.

1 \frac{1}{4}

, 5.

4

, 6.

2 \frac{5}{8}

, 7.

3

1 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{7}{8} \cdot 2 \frac{2}{5} =

9 \frac{1}{3}

, 2.

5

, 3.

6

, 4.

1 \frac{1}{4}

, 5.

4

, 6.

2 \frac{5}{8}

, 7.

3

1 \frac{1}{9} \cdot 3 \frac{3}{8} \cdot 1 \frac{1}{3} =

9 \frac{1}{3}

, 2.

5

, 3.

6

, 4.

1 \frac{1}{4}

, 5.

4

, 6.

2 \frac{5}{8}

, 7.

3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AcgTVp0BsY2

Ćwiczenie 9

Pomnóż ułamki. Przeciągnij i upuść wynik działania w odpowiednie pole.

\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{31} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{21}{22} \cdot \frac{11}{35} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{28} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

\frac{25}{26} \cdot 2 \frac{3}{5} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

5 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{3}{17} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

12 \frac{1}{2} \cdot 7 \frac{3}{5} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{15}{31}

, 3.

95

, 4.

\frac{3}{5}

, 5.

12 \frac{1}{3}

, 6.

\frac{3}{10}

, 7.

\frac{2}{3}

, 8.

\frac{12}{31}

, 9.

\frac{1}{24}

, 10.

2 \frac{1}{2}

Przeciągnij i upuść.

$\frac{1}{24}$ , $\frac{2}{3}$ , $2 \frac{1}{2}$ , $95$ , $\frac{3}{5}$ , $12 \frac{1}{3}$ , $\frac{3}{10}$ , $\frac{12}{31}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{15}{31}$

a) $\frac{3}{5} \cdot \frac{25}{31} =$ ............ b) $\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} =$ ............
c) $\frac{21}{22} \cdot \frac{11}{35} =$ ............ d) $\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{28} =$ ............
e) $1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20} =$ ............ f) $\frac{25}{26} \cdot 2 \frac{3}{5} =$ ............
g) $5 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{3}{17} =$ ............ h) $12 \frac{1}{2} \cdot 7 \frac{3}{5} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JqWWqznBteb

Ćwiczenie 10

Oblicz. Wynik sprowadź do najprostszej postaci. Połącz w pary mnożenie ułamków z wynikiem.

1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

3 \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{14}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

\frac{25}{26} \cdot 2 \frac{3}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

\frac{1}{10} \cdot 5 \frac{5}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

5 \frac{2}{3} \cdot 2 \frac{3}{17}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

7 \frac{1}{7} \cdot 8 \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

12 \frac{1}{2} \cdot 7 \frac{3}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

5 \frac{2}{11} \cdot 2 \frac{1}{57}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{3}{4}

, 2.

10 \frac{5}{11}

, 3.

2 \frac{1}{2}

, 4.

12 \frac{1}{3}

, 5.

95

, 6.

59 \frac{11}{21}

, 7.

\frac{9}{16}

, 8.

\frac{1}{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8L9RF2k28Ba7

Ćwiczenie 11

Pomnóż przez siebie liczby mieszane. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone pole.

2 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{1}{3} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

1 \frac{1}{3} \cdot 1 \frac{5}{7} \cdot 2 \frac{1}{4} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

1 \frac{1}{5} \cdot 3 \frac{1}{8} \cdot 3 \frac{1}{5} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

3 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{13} \cdot 1 \frac{1}{7} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

2 \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{5}{8} \cdot 2 \frac{6}{9} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

3 \frac{1}{9} \cdot 3 \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{9} =

16 \frac{1}{3}

, 2.

6 \frac{1}{7}

, 3.

1 \frac{1}{6}

, 4.

4 \frac{1}{7}

, 5.

5 \frac{1}{7}

, 6.

4

, 7.

12

, 8.

4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kwadraty i sześciany ułamków zwykłych

Już wiesz

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch jednakowych czynników, np.

$7 \cdot 7 = 7^{2}$

Sześcian liczby to iloczyn trzech jednakowych czynników, np.

$4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{3}$

Przykład 6

Kwadraty i sześciany ułamków obliczamy podobnie, jak kwadraty i sześciany liczb naturalnych.

${(1 \frac{2}{3})}^{2} = 1 \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{9} = 2 \frac{7}{9}$

${(\frac{3}{4})}^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{64}$

Aby podnieść do kwadratu ułamek zwykły, należy ten ułamek pomnożyć przez siebie.

Aby obliczyć kwadrat liczby mieszanej, należy najpierw zamienić tę liczbę na ułamek niewłaściwy.

R7l2y74X4JkKT

Ćwiczenie 12

Na podstawie powyższego wzoru oblicz potęgi podanych ułamków, a następnie połącz w pary potęgę z jej wartością.

{(\frac{1}{5})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

{(\frac{2}{7})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

{(\frac{1}{2})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

{(\frac{5}{6})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

{(1 \frac{3}{4})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

{(1 \frac{1}{8})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

{(2 \frac{1}{2})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

{(1 \frac{1}{4})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{125}{216}

, 2.

15 \frac{5}{8}

, 3.

1 \frac{17}{64}

, 4.

\frac{1}{25}

, 5.

3 \frac{1}{16}

, 6.

1 \frac{61}{64}

, 7.

\frac{4}{49}

, 8.

\frac{1}{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R3Gr7COhQ0Edx

4. Obliczanie ułamka danej liczby

6. Dzielenie ułamków przez liczby naturalne