Zdjęcie pięciu osób (w tym dwójki dzieci) ubranych w kolorowe stroje narciarskie podskakujących z radości (z rękami wyciągniętymi do góry) na stoku ośniżonej góry. Obok stoją narty wbite w śnieg.
Zdjęcie pięciu osób (w tym dwójki dzieci) ubranych w kolorowe stroje narciarskie podskakujących z radości (z rękami wyciągniętymi do góry) na stoku ośniżonej góry. Obok stoją narty wbite w śnieg.
Liczby całkowite
Źródło: Fotolia, tylko do użytku edukacyjnego na zpe.gov.pl.
3. Wartość bezwzględna
W tym materiale poznasz definicję wartości bezwzględnej oraz definicję liczb przeciwnych. Rozwiążesz zadania dotyczące tych zagadnień.
Zapis |a| oznaczający wartość bezwzględną liczby a wprowadził matematyk niemiecki Karl Weierstrass w 1841 roku. W informatyce często stosuje się oznaczenie abs (a).
RE1pIUHldU108
Portret matematyka Karla Weierstrassa - postać mężczyzny siedzącego na krześle.
Karl Weierstrass - portret Konrada Fehra
Źródło: Archiwum Berlińsko-Brandenburskiej Akademii Nauk, domena publiczna.
Przykład 1
Na osi liczbowej odległość punktu o współrzędnej pięć od punktu o współrzędnej zero jest równa pięć. Możemy krótko powiedzieć: odległość liczby pięć od zera jest równa pięć. Odległość tę zapiszemy, używając symbolu wartości bezwzględnej.
Na osi liczbowej odległość punktu o współrzędnej minus cztery od punktu o współrzędnej zero jest równa cztery. Możemy krótko powiedzieć: odległość liczby minus cztery od zera jest równa cztery. Odległość tę również zapiszemy używając symbolu wartości bezwzględnej.
R1dkYH3psgveu1
Animacja przedstawia jak na osi liczbowej wyznaczać odległości między liczbami.
Animacja przedstawia jak na osi liczbowej wyznaczać odległości między liczbami.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia jak na osi liczbowej wyznaczać odległości między liczbami.
Wartość bezwzględna liczby
Definicja: Wartość bezwzględna liczby
Odległość danej liczby od liczby zero na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględną tej liczby.
Ważne!
W skrócie wartość bezwzględną liczby zapisujemy tak: . Zapis czytamy: „wartość bezwzględna liczby minus trzynaście wynosi trzynaście”.
Własności wartości bezwzględnej
Własność: Własności wartości bezwzględnej
Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:
wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa , czyli
, dla dowolnej liczby rzeczywistej ,
jeśli , to ,
prawdziwa jest równość
dla dowolnej liczby rzeczywistej .
Przykład 2
R1Za51u1rAb6x1
Animacja pokazuje rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x =a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest równa a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem równania wartość bezwzględna z liczby x =a jest x =a lub x =-a.
Animacja pokazuje rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x =a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest równa a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem równania wartość bezwzględna z liczby x =a jest x =a lub x =-a.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja pokazuje rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x =a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest równa a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem równania wartość bezwzględna z liczby x =a jest x =a lub x =-a.
R1EVCqN7Fz53B
Ćwiczenie 1
Uzupełnij luki w równościach, wpisując odpowiednie liczby. Tu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnij
Uzupełnij luki w równościach, wpisując odpowiednie liczby. Tu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RhVfDkohysDGM1
Ćwiczenie 2
Określ wartość bezwzględną podanych liczb. Dopasuj liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8.
Określ wartość bezwzględną podanych liczb. Dopasuj liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. liczby, których wartość bezwzględna jest równa Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8.
Przeciagnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R10C9E3pDlIeC
Ćwiczenie 3
Uzupełnij luki w równościach, wpisując odpowiednie liczby. Tu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnij
Uzupełnij luki w równościach, wpisując odpowiednie liczby. Tu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnijTu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RfyRNKrPqH9Sk
RY32xEUmMJaC7
Ćwiczenie 4
Oceń prawdziwość podanych zdań. Możliwe odpowiedzi: 1. Wartość bezwzględna każdej liczby jest liczbą dodatnią lub zerem., 2. Liczby i są oddalone od zera na osi liczbowej o trzy jednostki.
Wartość bezwzględna każdej liczby jest liczbą dodatnią lub zerem.
Liczby i są oddalone od zera na osi liczbowej o trzy jednostki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RX79iUSv8S29w
Ćwiczenie 5
Uzupełnij odpowiedzi, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności malejącej. Odległość pewnych liczb na osi liczbowej od zera wynosi . Odpowiedź: Te liczby to Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.Wartość bezwzględna pewnych liczb wynosi . Odpowiedź: Te liczby to Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Uzupełnij odpowiedzi, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności malejącej. Odległość pewnych liczb na osi liczbowej od zera wynosi . Odpowiedź: Te liczby to Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.Wartość bezwzględna pewnych liczb wynosi . Odpowiedź: Te liczby to Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R4ai9XaccSUiB
Ćwiczenie 6
Wskaż wszystkie pary liczb, które leżą w tej samej odległości od zera na osi liczbowej.
Liczby przeciwne
Ważne!
Pary liczb: i , i , i , i to pary liczb przeciwnych. Liczby przeciwne, różne od zera, są położone na osi liczbowej w tej samej odległości od zera, po przeciwnych jego stronach. Liczbą przeciwną do zera jest zero.
Liczba przeciwna do liczby
Definicja: Liczba przeciwna do liczby
Liczba przeciwna do liczby to taka liczba , dla której
R1PrCBMZr8tS8
Ćwiczenie 7
Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Możliwe odpowiedzi: 1. Liczby i mają taką samą wartość bezwzględną., 2. Liczby i są oddalone od siebie na osi liczbowej o odcinki jednostkowe.
Liczby i mają taką samą wartość bezwzględną.
Liczby i są oddalone od siebie na osi liczbowej o odcinki jednostkowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1YPmbp5KU9Xu
Ćwiczenie 8
Wpisz w puste luki liczbę przeciwną do podanej liczby. Liczba przeciwna do największej trzycyfrowej liczby naturalnej podzielnej przez . Odpowiedź: Ta liczba to Tu uzupełnij.Liczba przeciwna do najmniejszej trzycyfrowej liczby naturalnej podzielnej przez . Odpowiedź: Ta liczba to Tu uzupełnij.Liczba przeciwna do najmniejszej czterocyfrowej liczby naturalnej podzielnej przez . Odpowiedź: Ta liczba to Tu uzupełnij.
Wpisz w puste luki liczbę przeciwną do podanej liczby. Liczba przeciwna do największej trzycyfrowej liczby naturalnej podzielnej przez . Odpowiedź: Ta liczba to Tu uzupełnij.Liczba przeciwna do najmniejszej trzycyfrowej liczby naturalnej podzielnej przez . Odpowiedź: Ta liczba to Tu uzupełnij.Liczba przeciwna do najmniejszej czterocyfrowej liczby naturalnej podzielnej przez . Odpowiedź: Ta liczba to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Notatnik
Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.
R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
