Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$ i o promieniu $36$. Punkt $S$ leży na odcinku $BD$. Kąt $BDA$ ma miarę $40°$, a kąt $DBC$ ma miarę $65°$ (zobacz rysunek).

R1CDQNJG44DL7

Rysunek przedstawia okrąg z czterema punktami, A, B, C, i D, leżącymi na jego obwodzie. Te punkty tworzą czworokąt wpisany ABCD. Wewnątrz okręgu znajduje się punkt S, który leży na przekątnej DB. Punkt S jest połączony również z wierzchołkiem A. Zaznaczone są następujące miary kątów i odległość: Kąt BDA ma miarę 40 stopni. Kąt DBC ma miarę 65 stopni. Odległość ∣AS∣ wynosi 36. Szarym kolorem zaznaczono kąt środkowy ASB, którego miary nie podano.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $\left|AB\right|=6$, $\left|AC\right|=4$ oraz $\left|\sphericalangle CAB\right|=60°$ (zobacz rysunek).

R1FDJXM778JZM

Rysunek przedstawia trójkąt ABC. Zaznaczone są następujące wymiary: Długość boku AC wynosi 4 jednostki. Długość boku AB wynosi 6 jednostek. Zaznaczono też kąt CAB (kąt przy wierzchołku A) , jego miara wynosi 60 stopni.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $\left|AB\right|=2·\left|CD\right|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).

R1VENJO33VGPF

Na rysunku jest trapez ABCD o podstawach AB i CD, w którym narysowano obie przekątne. Punkt przecięcia przekątnych oznaczono literą E.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).

R1M3PRSV3RUE6

Obraz przedstawia trójkąt prostokątny z zaznaczonymi długościami wszystkich trzech boków oraz kątem prostym. Kąt prosty jest zaznaczony małą kropką wewnątrz łuku w lewym dolnym wierzchołku. Długości przyprostokątnych (boków tworzących kąt prosty) wynoszą: 10 (bok pionowy), 24 (bok poziomy). Długość przeciwprostokątnej wynosi 26.

4.1 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

4.2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku w punkcie $S$ (zobacz rysunek).

R1LSECSB9PRSH

Obraz przedstawia dziesięciokąt foremny wpisany w okrąg. Jest to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta. Dziesięciokąt ma 10 wierzchołków oznaczonych literami: A,B,C,D,E,F,G,H,I,J. Punkt S (czarna kropka) oznacza środek okręgu. Na rysunku narysowane są też dwa dodatkowe odcinki: cięciwa AG i cięciwa DG. Zaznaczono też za pomocą łuku kąt wpisany AGD.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kwadrat $K_2$ jest podobny do kwadratu $K_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek).

Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.

RFJM86DNDVRCF

Rysunek przedstawia dwa kwadraty umieszczone obok siebie na białym tle. Mniejszy kwadrat jest umieszczony po lewej stronie rysunku. Jest on oznaczony literą K z indeksem dolnym 1, umieszczoną w jego środku. Znacznie większy kwadrat umieszczony jest po prawej stronie rysunku. Jest on oznaczony literą K z indeksem dolnym 2, umieszczoną w jego środku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$. Długość odcinka $SA$ jest równa $10$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie równoramiennym $A B C$ dane są: $|A C|=|B C|=4$ i $|A B|=3$. Na boku $B C$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $A B C$ i $B D A$ są podobne (zobacz rysunek). 

REK2D699CTABC

Rysunek przedstawia trójkąt ABC oraz odcinek AD, który dzieli go na dwa mniejsze trójkąty: ADC i ADB. Wierzchołki trójkąta są oznaczone literami A (lewy dolny), B (prawy dolny) i C (górny). Bok AC jest opisany liczbą 4, bok AB jest opisany liczbą 3. Poprowadzony jest odcinek AD, łączący wierzchołek A z punktem D znajdującym się na przeciwległym boku BC.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ o bokach $|A C|=12,|B C|=5,|A B|=13$. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

R1C1LHH2P8C8S

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym przy wierzchołu C. Długość przyprostokątnej BC wynosi 5. Długość przyprostokątnej AC wynosi 12. Z wierzchołków trójkąta poprowadzono półproste, które przecinają się w punkcie P. Z punktu P poprowadzono obcinek prostopadły do przeciwprostokątnej i opisano go literą x.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dany jest prostokąt $A B C D$, w którym $|A D|=2$. Kąt $B D A$ ma miarę $\alpha$, taką, że tg $\alpha=2$. Przekątna $B D$ i prosta przechodząca przez wierzchołek $C$ prostopadła do $B D$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek). 

RHG1EXXM6L9LJ

Rysunek przedstawia prostokąt ABCD z krótszym bokiem o długości 2. Narysowano przekątną DB na której leży punkt E. Przy wierzchołku D pomiędzy przekątną a krótszym bokiem zaznaczony jest kąt alfa. Przy puncie E zaznaczony jest kąt prosty pomiędzy odcinkiem DE i odcinkiem EC.

Oblicz długość odcinka $C E$.

Trzy różne punkty $A, B$ i $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $B D$ jest średnicą tego okręgu. Styczne $k$ i $l$ do tego okręgu, odpowiednio w punktach $A$ i $B$, przecinają się w punkcie $C$ (zobacz rysunek poniżej). 

R55G436PTKHM8

Rysunek przedstawia okrąg o środku S oraz dwie proste, k i l, styczne do okręgu odpowiednio w punktach A i B. Proste te przecinają się w punkcie C. Na okręgu zaznaczono dodatkowy punkt D, w ten sposób, że odcinek BD jest średnicą okręgu. W okręgu narysowano promienie SA, SB i SD.

Wykaż, że trójkąty $A C B$ i $A S D$ są podobne.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przykładowe pełne rozwiązanie

Zauważmy, że:

• trójkąt $A C B$ jest równoramienny, gdzie: $|A C|=|C B|$ (na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych).

• trójkąt $A S D$ jest równoramienny, gdzie: $|S D|=|S A|$ (odcinki $S D$ i $S A$ są promieniami okręgu).

• $|\sphericalangle SAC|=|\sphericalangle SBC|={90}^{\circ }$- (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej)

Oznaczmy  $|\sphericalangle ACB|=\alpha$.

Rozważmy czworokąt $A C B S$. Ponieważ suma miar kątów w czworokącie jest równa $360^{\circ}$, a kąty $S A C$ oraz $S B C$ są proste, to:

$$|\sphericalangle ASB|={360}^{\circ }-|\sphericalangle SAC|-|\sphericalangle SBC|-|\sphericalangle ACB|$$

$$|\sphericalangle ASB|={360}^{\circ }-{90}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={180}^{\circ }-\alpha$$

Kąt $D S A$jest przyległy do kąta $A S B$, zatem:

$$|\sphericalangle DSA|={180}^{\circ }-|\sphericalangle ASB|={180}^{\circ }-({180}^{\circ }-\alpha )=\alpha .$$

R9H5CX83QV59Z

Rysunek przedstawia okrąg o środku S oraz dwie proste, k i l, styczne do okręgu odpowiednio w punktach A i B. Proste te przecinają się w punkcie C. Na okręgu zaznaczono dodatkowy punkt D, w ten sposób, że odcinek BD jest średnicą okręgu. W okręgu narysowano promienie SA, SB i SD. Szarym kolorem zamalowano trójkąty równoramienne ACB i ADS. Oznaczono łukiem i opisano literą alfa kąty pomiędzy ramionami tych trójkątów. (tzn. kąt ACB i kąt ASD)

Długości dwóch boków trójkąta $A C B$są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta $A S D$i kąty między tymi parami boków są przystające:

$\frac{|A C|}{|A S|}=\frac{|B C|}{|D S|} \quad \text { i } |\sphericalangle ACB| = |\sphericalangle DSA| = \alpha$

Trójkąty $A C B$ i $A S D$ są podobne na podstawie cechy bok - kąt - bok podobieństwa trójkątów.

Dany jest trójkąt $A B C$ o bokach długości: $|A B|=4,|B C|=5,|A C|=6$.

Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta $\boldsymbol{A B C}$.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przykładowe pełne rozwiązanie

W trójkącie naprzeciw najmniejszego kąta wewnętrznego leży najkrótszy bok, więc musimy obliczyć sinus kąta $A C B$.

Oznaczmy: $|\sphericalangle ACB|=\alpha$.

R43MARQXDMJAK

Rysunek przedstawia trójkąt o wierzchołkach oznaczonych jako A (lewy dolny), B (prawy dolny) i C (górny). Podane są wymiary boków :Długość boku AB wynosi 4.Długość boku AC wynosi 6. Długość boku BC wynosi 5. Przy wierzchołku C, zaznaczono kąt ACB i oznaczono go literą alfa.

Z twierdzenia cosinusów obliczymy $\cos \alpha$ :

$|A B|^{2}=|A C|^{2}+|B C|^{2}-2 \cdot|A C| \cdot|B C| \cdot \cos \alpha$

$4^{2}=6^{2}+5^{2}-2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos \alpha$

$16=36+25-60 \cdot \cos \alpha$

$60 \cdot \cos \alpha=61-16$

$\cos \alpha=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$

Z „jedynki trygonometrycznej” obliczymy $\sin \alpha$ :

$\sin ^{2} \alpha=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{7}{16}$

Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, więc

$\sin \alpha=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Dany jest okrąg $O$ o środku w punkcie $S$. Średnica $A B$ tego okręgu przecina cięciwę $C D$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Ponadto: $|P B|=4,|P C|=8$ oraz $|P D|=5$.

R9TH33KSLGDZB

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku w punkcie S. Na okręgu zaznaczono cztery punkty: A (na dole po lewej), B (na górze po prawej), C (na dole po prawej) i D (na górze po lewej) i narysowano odcinek AB, który jest średnicą okręgu oraz odcinek CD który jest cięciwą. Odcinki te przecinają się w puncie P. Punkty na okręgu połączono przerywaną linią, która utworzyła czworokąt ACBD.

Oblicz promień okręgu $O$. Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $A B C D$ o boku długości 8 . Z wierzchołka $A$ zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

RA61ZVGZL8HEN

Rysunek przedstawia kwadrat ABCD, gdzie A jest środkiem okręgu, a wierzchołki B i D leżą na okręgu. Bok AB ma długość 8. Część wspólna koła o środku w A i kwadratu jest zacieniowana na fioletowo. Narysowano też promień wycinka koła będącego częścią wspólną tych figur.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.