8. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. - Przed maturą - zakres podstawowy

REgblYOenDYto

8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

k : y = (3 - m) x + 5

l : y = (m + 3) x - 4

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

R9EPCL8H5UXVS

Ćwiczenie 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $O$ o równaniu

O : {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

RAMX3EFF57M9T

Ćwiczenie 3

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = 5 x - 7$ . Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przecina oś $O y$ w punkcie $(0, - 4)$ . Punkt o współrzędnych $(p, 2)$ należy do prostej $l$ .

Oblicz $p$ . Zapisz obliczenia.

Przykładowa pełna odpowiedź

Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ , zatem współczynnik kierunkowy prostej $l$ jest równy $5$ . Ponadto prosta $l$ przechodzi przez punkty $(0, - 4)$ oraz $(p, 2)$ . Zatem ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej otrzymujemy równanie:

\frac{2 + 4}{p - 0} = 5

Stąd:

5 p = 6

p = \frac{6}{5}

Ćwiczenie 4

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $O$ o równaniu

O : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9

Okrąg $K$ jest obrazem okręgu $O$ w symetrii osiowej względem osi $O y$ układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RAG2SCZMDQAEH

Ćwiczenie 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $A B C D$ , w którym $A=(4,-1)$ . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S=(1,3)$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R13CCJCGB7BV7

Ćwiczenie 6

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przekątne równoległoboku $A B C D$ przecinają się w punkcie $S=\left(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\right)$ . Bok $A B$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=x-2$ , a bok $A D$ zawiera się w prostej o równaniu $y=3 x-6$ .

Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ .

Przykładowe pełne rozwiązanie

Punkt $A$ jest punktem wspólnym prostych $A B$ i $A D$ , zatem współrzędne tego punktu są rozwiązaniem układu równań

{\begin{cases} y = x - 2 \\ y = 3 x - 6 \end{cases}

Stąd

$x-2=3 x-6$

$-2 x=-4$

$x=2$

$y=0$

Zatem $A=(2,0)$ . Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A C$ , więc

$\frac{2+x_{c}}{2}=\frac{11}{2} \text { oraz } \frac{0+y_{c}}{2}=\frac{17}{2}$

$x_{c}=9 \text { oraz } y_{c}=17$

Zatem $C=(9,17)$ .

Prosta $B C$ jest równoległa do prostej $A D$ , zatem współczynnik kierunkowy prostej $B C$ jest równy 3.

Wyznaczamy równanie prostej $B C$ . Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe prostej o danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych).

$y=3(x-9)+17$

$y=3 x-10$

Punkt $B$ jest punktem wspólnym prostych $A B$ i $B C$ , zatem współrzędne tego punktu są rozwiązaniem układu równań

{\begin{cases} y = x - 2 \\ y = 3 x - 10 \end{cases}

Stąd

$x-2=3 x-10$

$-2 x=-8$

$x=4$

$y=2$

Zatem $B=(4,2)$ .

Ćwiczenie 7

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A=(2,8)$ oraz $B=(10,2)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $A B P$ , w którym $|A P|=|B P|$ .

Wierzchołek $P$ leży na osi $O x$ układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne punktu ${P}$ oraz długość odcinka ${A}{P}$ .

Przykładowe pełne rozwiązanie

Ponieważ punkt $P$ leży na osi $O x$ , więc jego współrzędne są równe $P=\left(x_{p}, 0\right)$ . Stąd, że $|A P|=|B P|$ i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie

\sqrt{(x_{P} - 2)^{2} + (0 - 8)^{2}} = \sqrt{(x_{P} - 10)^{2} + (0 - 2)^{2}}

(x_{P} - 2)^{2} + (0 - 8)^{2} = (x_{P} - 10)^{2} + (0 - 2)^{2}

x_{P}^{2} - 4 x_{P} + 4 + 64 = x_{P}^{2} - 20 x_{P} + 100 + 4

16 x_{P} = 36

x_{P} = \frac{9}{4}

Zatem $P=\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ .

Obliczamy długość odcinka $A P$ :

$|A P|=\sqrt{\left(\frac{9}{4}-2\right)^{2}+(0-8)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}+64}=\sqrt{\frac{1025}{16}}=\frac{5 \sqrt{41}}{4}$

Ćwiczenie 8

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $K=(-7,-2)$ oraz $L=(-1,4)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $K L M$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R1R5MQ1KGJ2KL

7. Planimetria

9. Stereometria

8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej