9. Stereometria

REgblYOenDYto

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego. Sprawdź, czy umiesz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $A B C D E F$ . Wysokość podstawy $A B C$ jest równa $2 \sqrt{3}$ . Przekątna $A E$ ściany bocznej 𝐴𝐵𝐸𝐷 tworzy z krawędzią $A B$ kąt o mierze $60 °$ (zobacz rysunek)

R1KC73H38KKE7

Rysunek przedstawia graniastosłup prosty o podstawie ABC i górnej podstawie DEF. Zaznaczona jest przekątna AE ściany bocznej ABDE.
Kąt między tą przekątną a krawędzią podstawy AB jest zaznaczony łukiem. Wartość tego kąta wynosi 60 stopni.
Z wierzchołka C do krawędzi podstawy AB poprowadzono wysokość podstawy. Długość tego odcinka wynosi 2 pierwiastki z 3.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

$a$ – długość krawędzi podstawy,

$H$ – wysokość graniastosłupa.

RSTP25RHD22EB

Zauważamy, że $a > 0$ i $H > 0$ . Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, stąd:

2 \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Zatem:

a = 4

Obliczamy wysokość $H$ graniastosłupa:

tg 60^{\circ} = \frac{H}{a} = \frac{H}{4}

Stąd:

H = 4 \cdot t g 60 ° = 4 \sqrt{3}

Obliczamy objętość $V$ graniastosłupa:

V = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot H = \frac{4^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 4 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} = 48

Obliczamy pole powierzchni całkowitej $P_{c}$ graniastosłupa:

P_{c} = 2 \cdot \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot a \cdot H = 2 \cdot \frac{4^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + 3 \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3} + 48 \sqrt{3} = 56 \sqrt{3}

Ćwiczenie 2

Objętość walca o promieniu podstawy $2$ jest równa $8 π^{2}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RS9CR5MCGFLEV

Ćwiczenie 3

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $94, 5$ . Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym $4$ .

Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia

Przykładowe pełne rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, przy czym niech $a < b < c$ .

R1LQ22K4SRK9B

Rysunek przedstawia prostopadłościan. Literami a, b , c oznaczono trzy różne krawędzie tego prostopadłościanu wychodzące z tego samego wierzchołka.

Z warunków zadania otrzymujemy: $b = 4 a$ , $c = 16 a$ . Stąd i z tego, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $94, 5$ , otrzymujemy równanie:

2 \cdot (a \cdot 4 a + a \cdot 16 a + 4 a \cdot 16 a) = 94, 5

2 \cdot (4 𝑎^{2} + 16 𝑎^{2} + 64 𝑎^{2}) = 94, 5

168 𝑎^{2} = 94, 5

a^{2} = 0, 5625

a = 0, 75 = \frac{3}{4}

Obliczamy objętość prostopadłościanu:

V = a b c = a \cdot 4 a \cdot 16 a = 64 a^{3} = 64 \cdot {(\frac{3}{4})}^{3} = 64 \cdot \frac{27}{64} = 27

Ćwiczenie 4

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $20$ . Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RU1FCHKB7XU77

Ćwiczenie 5

Tworząca stożka ma długość $6$ . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60 °$ . Dokończ zdanie.

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R132GPQCEO6M7

Ćwiczenie 6

Objętość sześcianu jest równa $729$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R3KMK8E9C1UHF

Ćwiczenie 7

Dany jest prostopadłościan $A B C D E F G H$ , w którym prostokąty $A B C D$ i $E F G H$ są jego podstawami. Odcinek $B H$ jest przekątną tego prostopadłościanu.

R1HJN8984PCUN

Rysunek przedstawia prostopadłościan, w którym wierzchołki oznaczono literami. Wierzchołki dolnej podstawy to: A (przedni lewy), B (przedni prawy), C (tylny prawy), D (tylny lewy).
Wierzchołki górnej podstawy to: E (górny przedni lewy, nad A), F (górny przedni prawy, nad B), G (górny tylny prawy, nad C), H (górny tylny lewy, nad D).
Wewnątrz figury narysowany jest pogrubiony odcinek łączący wierzchołki H (górny tylny lewy) i B (dolny przedni prawy).

7.1 Na którym rysunku prawidłowo oznaczono i podpisano kąt $α$ pomiędzy przekątną $B H$ prostopadłościanu a jego ścianą boczną $A D H E$ ?

R7K85RLHB6ME8

Rysunek przedstawia cztery identyczne prostopadłościany ABCDEFGH. W każdym z nich wierzchołki dolnej podstawy to: A (przedni lewy), B (przedni prawy), C (tylny prawy), D (tylny lewy).
Wierzchołki górnej podstawy to: E (górny przedni lewy, nad A), F (górny przedni prawy, nad B), G (górny tylny prawy, nad C), H (górny tylny lewy, nad D).
Wewnątrz każdej bryły narysowany jest pogrubiony odcinek łączący wierzchołki H (górny tylny lewy) i B (dolny przedni prawy).
Na rysunku opisanym literą A wewnątrz prostopadłościanu zacieniowano i podpisano literą alfa kąt DHB pomiędzy krawędzią boczną DH i przekątną prostopadłościanu HB.
Na rysunku opisanym literą B wewnątrz prostopadłościanu zacieniowano i podpisano literą alfa kąt EHB pomiędzy górną krawędzią podstawy EH i przekątną prostopadłościanu HB.
Na rysunku opisanym literą C wewnątrz prostopadłościanu zacieniowano i podpisano literą alfa kąt AHB pomiędzy przekątną ściany bocznej EH i przekątną prostopadłościanu HB.
Na rysunku opisanym literą D nad rysunkiem znajduje się informacja, że punkt K jest środkiem krawędzi AE. Wewnątrz prostopadłościanu zacieniowano i podpisano literą alfa kąt KHB pomiędzy odcinkiem KH i przekątną prostopadłościanu HB.

Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R18ATHB7AGUUH

7.2 W prostopadłościanie $A B C D E F G H$ dane są:

$\operatorname{tg} \beta=\frac{9}{7} \quad|B G|=2 \sqrt{130} \quad|B H|=2 \sqrt{194}$

gdzie odcinek $B H$ jest przekątną prostopadłościanu, odcinek $B G$ jest przekątną ściany bocznej $B C G F, \beta$ jest miarą kąta $G B C$ . Sytuację ilustruje rysunek poniżej.

Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D} \boldsymbol{E} \boldsymbol{F} \boldsymbol{G} \boldsymbol{H}$ .

R12JGB41842TC

Przykładowa pełna odpowiedź

Wprowadźmy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku) długości krawędzi prostopadłościanu oznaczmy przez $a, b, c$ , a przekątną prostopadłościanu i przekątną ściany $B C G F$ oznaczmy przez $d$ oraz $e$ .

R1RMLEDGTJOQ8

Warunki zadania zapiszmy jako:

$\operatorname{tg} \beta=\frac{9}{7} \quad e=2 \sqrt{130} \quad d=2 \sqrt{194}$

Wyznaczymy zależność między $b$ oraz $c$ w trójkącie $B C G$ :

$\operatorname{tg} \beta=\frac{c}{b}=\frac{9}{7}, \quad \text { stąd } \quad c=\frac{9}{7} b$

Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $B C G$ , w celu obliczenia $b$ i $c$ :

$b^{2}+c^{2}=e^{2}$

Wykorzystamy związek z pkt. 1:

$b^{2}+\left(\frac{9}{7} b\right)^{2}=(2 \sqrt{130})^{2}$

$\frac{130}{49} b^{2}=520$

$b^{2}=196$

zatem

$b=14 \quad \text { oraz } \quad c=\frac{9}{7} \cdot 14=18$

Zauważmy, że trójkąt $B G H$ jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku $G$ ). Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $B G H$ , w celu obliczenia $a$ .

$e^{2}+a^{2}=d^{2}$

$(2 \sqrt{130})^{2}+a^{2}=(2 \sqrt{194})^{2}$

$a^{2}=256$

$a=16$

Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

$P_{c}=2 a b+2 b c+2 a c$

$P_{c}=2 \cdot 16 \cdot 14+2 \cdot 14 \cdot 18+2 \cdot 16 \cdot 18$

$P_{c}=1528$

Ćwiczenie 8

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy $d=20 \mathrm{~cm}$ , wysokości $H=25 \mathrm{~cm}$ i tworzącej $l$ .

Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską $A B S$ o kształcie wycinka koła o promieniu $l$ i środku $S$ (zobacz rysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę $z$ kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek $S B$ z odcinkiem $S A$ (zobacz rysunek 2.). W ten sposób otrzymała kształt stożka.

R153L426C9O31

Na rysunku znajduje się okrąg narysowany przerywaną, jasnoszarą linią.
Środkiem okręgu jest punkt S, który jest wierzchołkiem kąta środkowego opartego na łuku AB. Promień okręgu SA opisany jest literą l. Fragment koła, ograniczony dwoma promieniami SA, SB i łukiem AB, jest wyraźnie zaznaczony poprzez wypełnienie szarym kolorem. — Rysunek 1.

R1PJ251A47T1L

Obraz przedstawia stożek. Wierzchołek stożka oznaczono jako S, środek podstawy oznaczono literą O. Narysowano wysokość stożka SO i oznaczono literą H. Tworzącą stożka opisano małą literą l. Na dole, poniżej podstawy stożka, zaznaczono średnicę podstawy jako poziomy odcinek, oznaczony małą literą d. — Rysunek 2.

8.1 Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RVH44JX2QFJDP

Wskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.

8.2 Oblicz miarę kąta $B S A$ wycinka koła (rysunek 1.), z którego powstała czapeczka. Miarę kąta $B S A$ podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia:

$r=\frac{d}{2}$ - promień okręgu w podstawie stożka

$α = |∢ B S A|$ - miara kąta $B S A$ wycinka koła

$\beta$ - połowa miary kąta rozwarcia stożka.

Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).

Zauważmy, że pole $A B S$ wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu powierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole $A B S$ wycinka koła oraz wzór na pole powierzchni bocznej stożka:

$\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi l^{2}=\pi r l$

$\alpha=\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ} \$

Zauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła i kątem rozwarcia stożka:

$\alpha=\sin \beta \cdot 360^{\circ}$

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyrazimy $l$ poprzez $H$ i $d$ :

$l^{2}=H^{2}+r^{2}$

$l^{2}=H^{2}+\left(\frac{d}{2}\right)^{2}$

$l=\sqrt{H^{2}+\left(\frac{d}{2}\right)^{2}}$

Zapiszemy wzór na miarę kąta $\alpha$ i ją obliczymy:

$\alpha=\frac{\frac{d}{2}}{\sqrt{H^{2}+\left(\frac{d}{2}\right)^{2}}} \cdot 360^{\circ}$

$\alpha=\frac{10}{\sqrt{25^{2}+10^{2}}} \cdot 360^{\circ}$

$\alpha \approx 134^{\circ}$

Ćwiczenie 9

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości $4$ . Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem $α$ , że tg $t g α = 3$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

R18UKK48SPG4D

Ćwiczenie 10

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość $p$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

ROZ8UZ29RKDQO

Ćwiczenie 11

Ostrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

RNCQR3M7U3XS5

8. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

10. Kombinatoryka

9. Stereometria