5. Porównywanie potęg

RAAXiHt2qOtJb

R1bO6PeiAWLWJ1

Zdjęcie przedstawia kobietę, która w ćwiczy na siłowni. — Źródło: domena publiczna. The Lazy Artist Gallery, pexels.com/pl-pl.

W języku polskim potęga może oznaczać nie tylko wynik potęgowania, ale także siłę i skuteczność w działaniu lub oddziaływaniu na otoczenie. Który z ludzi jest potężniejszy: ten co więcej kilogramów wyciska na siłowni czy ten, który ma większy wpływ na zachowanie innych ludzi? W tym materiale będziemy porównywać ze sobą potęgi. Ale takie matematyczne. Dowiesz się jak je porównujemy i sprawdzisz swoje umiejętności rozwiązując ćwiczenia.

Przykład 1

Aby porównać dwie potęgi o takich samych podstawach będących liczbami naturalnymi dodatnimi i wykładnikach będących również liczbami naturalnymi dodatnimi, wystarczy porównać wykładniki.

Ta potęga jest większa, której wykładnik jest większy.

RGnoH4gmoRG791

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Jeżeli liczby naturalne dodatnie $m$ i $n$ spełniają warunek $n > m$ , liczba $a$ jest większa od $1$ , to

$a^{n} > a^{m}$

Rozważmy teraz potęgi o podstawach dodatnich, mniejszych od $1$ .

Przykład 2

Aby porównać dwie potęgi o takich samych podstawach będących liczbami dodatnimi mniejszymi od 1 i wykładnikach będących liczbami naturalnymi dodatnimi, wystarczy porównać wykładniki.

Ta potęga jest większa, której wykładnik jest mniejszy.

R15gQsGCwAbix1

Zapamiętaj!

Jeżeli liczby naturalne dodatnie $m$ i $n$ spełniają warunek $n > m$ , liczba $a$ jest liczbą dodatnią i mniejszą od $1$ , to

$a^{n} < a^{m}$

Polecenie 1

Przeanalizuj przykłady porównywania potęg o jednakowych wykładnikach.

R1USSmq0xcSqj1

Zapamiętaj!

Jeżeli liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają warunek $a < b$ , $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to $a^{n} < b^{n}$ .

Przykład 3

Aby porównać dwie liczby zapisane za pomocą potęg, możemy je podzielić. Jeżeli iloraz jest większy od 1 to dzielna jest większa od dzielnika.

Ustalimy ile razy liczba 300Indeks górny 4 jest większa od liczby 10Indeks górny 7.

RSo5D97lgPpu11

Liczba 300Indeks górny 4 jest od liczby 10Indeks górny 7 większa 810 razy.

RH7NP4gZEwf8A

Ćwiczenie 1

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

2^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

2^{7}

5^{5}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

5^{2}

{(0,3)}^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

{(0,3)}^{7}

{(\frac{5}{6})}^{8}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

{(\frac{5}{4})}^{8}

6^{8}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

6^{9}

{(1,1)}^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

<

, 6.

>

, 7.

>

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

>

, 12.

>

{(1,1)}^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AHG2hYnh6uC

Ćwiczenie 2

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

2^{3}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{(2^{2})}^{3}

{(4^{2})}^{5}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

4^{7}

{(\frac{2}{5})}^{6}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{({(\frac{2}{5})}^{2})}^{3}

{({0,3}^{2})}^{4}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{(0,3)}^{4}

{(\frac{2}{3})}^{8}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{({(\frac{2}{3})}^{2})}^{3}

{({1,4}^{5})}^{5}

=

, 2.

<

, 3.

=

, 4.

=

, 5.

>

, 6.

>

, 7.

=

, 8.

=

, 9.

<

, 10.

>

, 11.

<

, 12.

<

, 13.

>

, 14.

>

, 15.

>

, 16.

=

, 17.

<

, 18.

<

{(1, 4^{3})}^{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ryx9FFMBoUCxv1

Ćwiczenie 3

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

$2^{13}$
$64^{2}$
$16^{0}$
$8^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OeCChtF1e3Z

Ćwiczenie 4

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

3^{5}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

9^{3}

2^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

4^{2}

4^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

8^{2}

{(\frac{3}{4})}^{3}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

{(\frac{9}{16})}^{2}

{(0,09)}^{3}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

{(0,3)}^{3}

3^{4} \cdot 2^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

6^{4}

{(2^{3} \cdot 4^{2})}^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

2^{12} \cdot 4^{8}

{(3^{2} \cdot 5^{2})}^{4}

=

, 2.

<

, 3.

>

, 4.

=

, 5.

=

, 6.

<

, 7.

>

, 8.

>

3^{8} \cdot 5^{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWxbRclh9XRSD

Ćwiczenie 5

Przeciągnij i upuść odpowiedni znak.

8^{3}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

4^{3}

3^{6}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

12^{6}

{(0, 2)}^{9}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(0, 3)}^{9}

{(1, 4)}^{5}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(1, 3)}^{5}

{(\frac{2}{7})}^{4}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(\frac{1}{4})}^{4}

{(0,75)}^{7}

>

, 2.

<

, 3.

<

, 4.

=

, 5.

<

, 6.

=

, 7.

=

, 8.

<

, 9.

<

, 10.

=

, 11.

>

, 12.

>

, 13.

=

, 14.

=

, 15.

>

, 16.

>

, 17.

>

, 18.

<

{(\frac{3}{4})}^{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyEDfn2jWNN6c

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcwD99Ua3WSH3

Ćwiczenie 7

$9^{3} > 9^{0}$
${(\frac{1}{3})}^{5} \leq {(\frac{1}{3})}^{3}$
${(\frac{1}{6})}^{3} \geq {(\frac{1}{6})}^{2}$
$4^{3} < 4^{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14xAkAS1qRyb

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUE9WaSTEMfBZ

Ćwiczenie 9

$27^{5}, 3^{9}, 81^{2}, {(\frac{1}{3})}^{3}, {(\frac{1}{3})}^{4}$
$27^{5}, {81^{2}, 3}^{9}, {(\frac{1}{3})}^{3}, {(\frac{1}{3})}^{4}$
${(\frac{1}{3})}^{3}, {(\frac{1}{3})}^{4} {, 27}^{5}, {81^{2}, 3}^{9}$
${(\frac{1}{3})}^{4}, {(\frac{1}{3})}^{3} {, 27}^{5}, 3^{9}, 81^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LPXVff6xA4v

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZd2l5enJRfS4

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. Iloczyn i iloraz potęg o takich samych wykładnikach

6. Działania na potęgach o wykładnikach naturalnych

5. Porównywanie potęg

Notatnik