6. Działania na potęgach o wykładnikach naturalnych

R1SHfwQr8eSDJ

R1TGZv9hbyENM1

Zdjęcie przedstawia zrzut ekranu z gry o nazwie: 2048. — Źródło: By Heavy Horse, licencja: CC BY-SA 3.0.

2048 to nazwa jednej z najbardziej popularnych gier logicznych. Polega na przesuwaniu i łączeniu ze sobą płytek z jednakowymi liczbami. W wyniku połączenia płytek powstaje nowa płytka z liczbą będącą sumą poprzednich liczb. Czy wiesz, że wszystkie liczny na płytkach to potęgi liczby dwa, a łączenie tych płytek odpowiada mnożeniu potęg o tych samych podstawach?

W tym materiale będziemy przekształcać wyrażenia zawierające potęgi tylko o wykładnikach naturalnych. Rozwiązując ćwiczenia utrwalisz umiejętności obliczania wartości wyrażeń zawierających potęgi, zastosowania wzorów na iloczyn oraz iloraz potęg o jednakowych wykładnikach, potęgowania potęgi.

Ważne!

Dla dowolnych i różnych od zera liczb $a$ i $b$ oraz dowolnych liczb naturalnych $m$ i $n$ prawdziwe są wzory:

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

${(a^{n})}^{m} = a^{n m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$

$a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$

$a^{n} : b^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$

Rub4iVgVkselh

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQkfNH5hbSAgP

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1UbqcgiUJ7hR

Ćwiczenie 3

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

{(2^{3})}^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

4^{4} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(3^{2})}^{5} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

9^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

8^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(9^{1})}^{2} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(2^{3})}^{2} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(16^{1})}^{2} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

{(4^{2})}^{3} =

2^{8}

, 2.

4^{3}

, 3.

3^{6}

, 4.

2^{8}

, 5.

3^{4}

, 6.

2^{9}

, 7.

16^{3}

, 8.

2^{9}

, 9.

9^{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R16DOBYQoFOun

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YX9vkMOQTDn

Ćwiczenie 5

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie potęgi liczb lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2^{3} \cdot 4 : 2^{2} =

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

27 :

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

\cdot 3^{5} = 3^{6}

4^{4} :

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

\cdot 16 \cdot 64 = 4^{8}

625 : 5^{2} :

2^{4}

, 2.

2^{5}

, 3.

5^{0}

, 4.

4^{1}

, 5.

5^{2}

, 6.

3^{2}

, 7.

2^{3}

, 8.

5^{1}

, 9.

4^{2}

, 10.

4^{3}

, 11.

3^{4}

: 5^{2} = 1

Przeciągnij i upuść.

$2^{3}$ , $4^{3}$ , $5^{0}$ , $2^{4}$ , $3^{4}$ , $4^{2}$ , $5^{2}$ , $3^{2}$ , $4^{1}$ , $5^{1}$ , $2^{5}$

$2^{3} \cdot 4 : 2^{2} =$ ............
$27 :$ ............ $\cdot 3^{5} = 3^{6}$
$4^{4} :$ ............ $\cdot 16 \cdot 64 = 4^{8}$
$625 : 5^{2} :$ ............ $: 5^{2} = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKsmKamN8e1tz

Ćwiczenie 6

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wartość wyrażenia

3^{3} - 2^{3}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

.Wartość wyrażenia

{(\frac{1}{3})}^{2}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

.Wartość wyrażenia

2^{3} \cdot 3^{2}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

.Wartość wyrażenia

5^{3} - 5^{2}

jest równa 1.

3

, 2.

19

, 3.

\frac{1}{9}

, 4.

72

, 5.

\frac{1}{6}

, 6.

5

, 7.

100

, 8.

36

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZOWYZayhYmi

Ćwiczenie 7

Połącz w pary.

$- 4 \cdot 3^{3} \cdot {(- 2)}^{5} \cdot 27$
$32 \cdot 9 \cdot 2^{4} : 3^{0} \cdot {(- 3)}^{4}$
${(- 2)}^{13} : 64 \cdot 3^{3} \cdot (- 9)$
$- 243 \cdot 3^{2} \cdot 1024 : 2 : {(- 2)}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1COxf5xmBa5r

Ćwiczenie 8

Przedstaw wynik w postaci jednej potęgi. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2^{3} + 2^{3} =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

4^{4} + 4^{4} + 4^{4} + 4^{4} =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

2 \cdot (2^{5} + 2^{5} + 2^{5} + 2^{5}) =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

(3^{3} + 3^{3} + 3^{3}) : 3 =

3^{9}

, 2.

3^{1}

, 3.

2^{20}

, 4.

4^{16}

, 5.

3^{3}

, 6.

4^{4}

, 7.

2^{8}

, 8.

2^{6}

, 9.

4^{5}

, 10.

2^{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci iloczynu potęg o takiej samej podstawie.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
$3^{2 x + 5}$
$10^{x + 2 y}$

Wykorzystaj wzór $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ .

Zadanie ma wiele rozwiązań np.:

$2^{15} = 2^{10} \cdot 2^{5}$ lub $2^{15} = 2^{8} \cdot 2^{7}$
${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{10} \cdot {(- 5)}^{13}$ lub ${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{3} \cdot {(- 5)}^{20}$
$3^{2 x + 5} = 3^{2 x} \cdot 3^{5}$ lub $3^{2 x + 5} = 3^{x} \cdot 3^{x + 5}$
$10^{x + 2 y} = 10^{x} \cdot 10^{2 y}$ lub $10^{x + 2 y} = 10^{x + y} \cdot 10^{y}$

Ćwiczenie 10

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci ilorazu potęg o takiej samej podstawie.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
$3^{2 x - 5}$
$10^{x - 2 y}$

Wykorzystaj wzór $a^{n} : a^{m} = a^{n - m}$ .

To zadanie ma wiele rozwiązań, np.:

$2^{15} = 2^{20} : 2^{5}$ lub $2^{15} = 2^{35} : 2^{20}$
${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{25} : {(- 5)}^{2}$ lub ${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{35} : {(- 5)}^{12}$
$3^{2 x - 5} = 3^{2 x} : 3^{5}$ lub $3^{2 x - 5} = 3^{x} : 3^{5 - x}$
$10^{x - 2 y} = 10^{x} : 10^{2 y}$ lub $10^{x - 2 y} = 10^{x - y} : 10^{y}$

R16rIEyQGup65

Ćwiczenie 11

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach. Przyjmij, że

a \neq 0

a^{3} \cdot a^{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{2} \cdot a^{1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{8} : a^{5} \cdot a^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{3} : a^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{12} : a^{11}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

a^{8} \cdot a : a^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{0} \cdot a^{10} : a^{3}

, 2.

a^{5} : a^{2}

, 3.

a^{3} \cdot a \cdot a

, 4.

a^{0}

, 5.

a^{7} \cdot a^{4} : a^{10}

, 6.

a \cdot a^{7}

Połącz w pary.

$a^{3} \cdot a^{5}$
$a^{2} \cdot a^{1}$
$a^{8} : a^{5} \cdot a^{2}$
$a^{3} : a^{3}$
$a^{12} : a^{11}$
$a^{8} \cdot a : a^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ajHkdKCSyVO

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzPFMTNyXmrlP

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAeHCfDtVhVnd

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REOVPWY5LzEAM

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13NmdQT8Ygrm

Ćwiczenie 16

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Załóż, że wszystkie zmienne są niezerowe.

{(2 x)}^{2} \cdot x^{2} =

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{2}

, 2.

{(2 x^{2})}^{4}

, 3.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}

, 4.

{(y^{4})}^{7}

, 5.

3^{3}

, 6.

{(4 z^{5})}^{8}

, 7.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}

, 8.

{(2 x^{2})}^{5}

, 9.

2^{3}

, 10.

{(4 z^{5})}^{3}

, 11.

{(4 z^{5})}^{4}

, 12.

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{4}

, 13.

{(2 x^{2})}^{2}

, 14.

1^{3}

, 15.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}

, 16.

{(y^{4})}^{6}

, 17.

{(y^{4})}^{9}

{(y^{3})}^{6} \cdot {(y)}^{6} =

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{2}

, 2.

{(2 x^{2})}^{4}

, 3.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}

, 4.

{(y^{4})}^{7}

, 5.

3^{3}

, 6.

{(4 z^{5})}^{8}

, 7.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}

, 8.

{(2 x^{2})}^{5}

, 9.

2^{3}

, 10.

{(4 z^{5})}^{3}

, 11.

{(4 z^{5})}^{4}

, 12.

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{4}

, 13.

{(2 x^{2})}^{2}

, 14.

1^{3}

, 15.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}

, 16.

{(y^{4})}^{6}

, 17.

{(y^{4})}^{9}

{(8 z^{4})}^{4} \cdot {(\frac{1}{2} z)}^{4} =

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{2}

, 2.

{(2 x^{2})}^{4}

, 3.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}

, 4.

{(y^{4})}^{7}

, 5.

3^{3}

, 6.

{(4 z^{5})}^{8}

, 7.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}

, 8.

{(2 x^{2})}^{5}

, 9.

2^{3}

, 10.

{(4 z^{5})}^{3}

, 11.

{(4 z^{5})}^{4}

, 12.

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{4}

, 13.

{(2 x^{2})}^{2}

, 14.

1^{3}

, 15.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}

, 16.

{(y^{4})}^{6}

, 17.

{(y^{4})}^{9}

{(\frac{1}{4} x^{3} y)}^{2} \cdot {(2 x^{2} y^{2})}^{2} =

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{2}

, 2.

{(2 x^{2})}^{4}

, 3.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}

, 4.

{(y^{4})}^{7}

, 5.

3^{3}

, 6.

{(4 z^{5})}^{8}

, 7.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}

, 8.

{(2 x^{2})}^{5}

, 9.

2^{3}

, 10.

{(4 z^{5})}^{3}

, 11.

{(4 z^{5})}^{4}

, 12.

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{4}

, 13.

{(2 x^{2})}^{2}

, 14.

1^{3}

, 15.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}

, 16.

{(y^{4})}^{6}

, 17.

{(y^{4})}^{9}

{(\frac{1}{2} p^{3} q^{4})}^{5} \cdot {(- \frac{4}{p} q^{2})}^{5} =

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{2}

, 2.

{(2 x^{2})}^{4}

, 3.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}

, 4.

{(y^{4})}^{7}

, 5.

3^{3}

, 6.

{(4 z^{5})}^{8}

, 7.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}

, 8.

{(2 x^{2})}^{5}

, 9.

2^{3}

, 10.

{(4 z^{5})}^{3}

, 11.

{(4 z^{5})}^{4}

, 12.

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{4}

, 13.

{(2 x^{2})}^{2}

, 14.

1^{3}

, 15.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}

, 16.

{(y^{4})}^{6}

, 17.

{(y^{4})}^{9}

{(9 k)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3} k)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3 k^{2}})}^{3} =

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{2}

, 2.

{(2 x^{2})}^{4}

, 3.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}

, 4.

{(y^{4})}^{7}

, 5.

3^{3}

, 6.

{(4 z^{5})}^{8}

, 7.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}

, 8.

{(2 x^{2})}^{5}

, 9.

2^{3}

, 10.

{(4 z^{5})}^{3}

, 11.

{(4 z^{5})}^{4}

, 12.

{(\frac{1}{2} x^{5} y^{3})}^{4}

, 13.

{(2 x^{2})}^{2}

, 14.

1^{3}

, 15.

{(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}

, 16.

{(y^{4})}^{6}

, 17.

{(y^{4})}^{9}

Przeciągnij i upuść.

${(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}$ , ${(4" z^{5})}^{8}$ , ${(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}$ , ${(4" z^{5})}^{3}$ , ${(\frac{1}{2}" x^{5}" y^{3})}^{4}$ , ${(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}$ , ${(\frac{1}{2}" x^{5}" y^{3})}^{6}$ , ${(2" x^{2})}^{5}$ , ${(y^{4})}^{6}$ , $3^{3}$ , ${(4" z^{5})}^{4}$ , ${(y^{4})}^{7}$ , ${(2" x^{2})}^{4}$ , ${(2" x^{2})}^{2}$ , ${(y^{4})}^{9}$ , $1^{3}$ , $2^{3}$

${(2" x)}^{2} \cdot x^{2} =$ ..............
${(y^{3})}^{6} \cdot {(y)}^{6} =$ ..............
${(8" z^{4})}^{4} \cdot {(\frac{1}{2}" z)}^{4} =$ ..............
${(\frac{1}{4}" x^{3}" y)}^{2} \cdot {(2" x^{2}" y^{2})}^{2} =$ ..............
${(\frac{1}{2}" p^{3}" q^{4})}^{5} \cdot {(- \frac{4}{p} q^{2})}^{5} =$ ..............
${(9" k)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3}" k)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3 k^{2}})}^{3} =$ ..............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgaUjMOpGFSR9

Ćwiczenie 17

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Załóż, że wszystkie zmienne są niezerowe.

{(2 x)}^{3} : x^{3} =

{(4 z^{3})}^{4}

, 2.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}

, 3.

2^{3}

, 4.

{(81 k^{2})}^{4}

, 5.

{(4 z^{3})}^{6}

, 6.

{(3 x)}^{3}

, 7.

{(4 z^{3})}^{8}

, 8.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}

, 9.

{(81 k^{2})}^{6}

, 10.

{(81 k^{2})}^{3}

, 11.

{(3 x)}^{4}

, 12.

{(y^{2})}^{8}

, 13.

2^{5}

, 14.

{(3 x)}^{2}

, 15.

2^{4}

, 16.

{(y^{2})}^{6}

, 17.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}

, 18.

{(y^{2})}^{9}

{(y^{3})}^{6} : {(y)}^{6} =

{(4 z^{3})}^{4}

, 2.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}

, 3.

2^{3}

, 4.

{(81 k^{2})}^{4}

, 5.

{(4 z^{3})}^{6}

, 6.

{(3 x)}^{3}

, 7.

{(4 z^{3})}^{8}

, 8.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}

, 9.

{(81 k^{2})}^{6}

, 10.

{(81 k^{2})}^{3}

, 11.

{(3 x)}^{4}

, 12.

{(y^{2})}^{8}

, 13.

2^{5}

, 14.

{(3 x)}^{2}

, 15.

2^{4}

, 16.

{(y^{2})}^{6}

, 17.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}

, 18.

{(y^{2})}^{9}

{(8 z^{4})}^{4} : {(2 z)}^{4} =

{(4 z^{3})}^{4}

, 2.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}

, 3.

2^{3}

, 4.

{(81 k^{2})}^{4}

, 5.

{(4 z^{3})}^{6}

, 6.

{(3 x)}^{3}

, 7.

{(4 z^{3})}^{8}

, 8.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}

, 9.

{(81 k^{2})}^{6}

, 10.

{(81 k^{2})}^{3}

, 11.

{(3 x)}^{4}

, 12.

{(y^{2})}^{8}

, 13.

2^{5}

, 14.

{(3 x)}^{2}

, 15.

2^{4}

, 16.

{(y^{2})}^{6}

, 17.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}

, 18.

{(y^{2})}^{9}

{(6 x^{3} y^{2})}^{2} : {(2 x^{2} y^{2})}^{2} =

{(4 z^{3})}^{4}

, 2.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}

, 3.

2^{3}

, 4.

{(81 k^{2})}^{4}

, 5.

{(4 z^{3})}^{6}

, 6.

{(3 x)}^{3}

, 7.

{(4 z^{3})}^{8}

, 8.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}

, 9.

{(81 k^{2})}^{6}

, 10.

{(81 k^{2})}^{3}

, 11.

{(3 x)}^{4}

, 12.

{(y^{2})}^{8}

, 13.

2^{5}

, 14.

{(3 x)}^{2}

, 15.

2^{4}

, 16.

{(y^{2})}^{6}

, 17.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}

, 18.

{(y^{2})}^{9}

{(\frac{1}{2} p^{3} q^{4})}^{5} : {(- \frac{1}{4 p} q^{2})}^{5} =

{(4 z^{3})}^{4}

, 2.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}

, 3.

2^{3}

, 4.

{(81 k^{2})}^{4}

, 5.

{(4 z^{3})}^{6}

, 6.

{(3 x)}^{3}

, 7.

{(4 z^{3})}^{8}

, 8.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}

, 9.

{(81 k^{2})}^{6}

, 10.

{(81 k^{2})}^{3}

, 11.

{(3 x)}^{4}

, 12.

{(y^{2})}^{8}

, 13.

2^{5}

, 14.

{(3 x)}^{2}

, 15.

2^{4}

, 16.

{(y^{2})}^{6}

, 17.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}

, 18.

{(y^{2})}^{9}

{(9 k)}^{3} : {(\frac{1}{3} k)}^{3} \cdot {(3 k^{2})}^{3} =

{(4 z^{3})}^{4}

, 2.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}

, 3.

2^{3}

, 4.

{(81 k^{2})}^{4}

, 5.

{(4 z^{3})}^{6}

, 6.

{(3 x)}^{3}

, 7.

{(4 z^{3})}^{8}

, 8.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}

, 9.

{(81 k^{2})}^{6}

, 10.

{(81 k^{2})}^{3}

, 11.

{(3 x)}^{4}

, 12.

{(y^{2})}^{8}

, 13.

2^{5}

, 14.

{(3 x)}^{2}

, 15.

2^{4}

, 16.

{(y^{2})}^{6}

, 17.

{(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}

, 18.

{(y^{2})}^{9}

Przeciągnij i upuść.

${(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}$ , ${(y^{2})}^{8}$ , $2^{5}$ , ${(3" x)}^{2}$ , ${(y^{2})}^{9}$ , ${(y^{2})}^{6}$ , ${(3" x)}^{4}$ , $2^{3}$ , ${(4" z^{3})}^{8}$ , ${(4" z^{3})}^{6}$ , ${(81" k^{2})}^{4}$ , ${(4" z^{3})}^{4}$ , ${(81" k^{2})}^{6}$ , ${(81" k^{2})}^{3}$ , ${(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}$ , $2^{4}$ , ${(3" x)}^{3}$ , ${(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}$

${(2" x)}^{3} : x^{3} =$ ..............
${(y^{3})}^{6} : {(y)}^{6} =$ ..............
${(8" z^{4})}^{4} : {(2" z)}^{4} =$ ..............
${(6" x^{3}" y^{2})}^{2} : {(2" x^{2}" y^{2})}^{2} =$ ..............
${(\frac{1}{2}" p^{3}" q^{4})}^{5} : {(- \frac{1}{4 p} q^{2})}^{5} =$ ..............
${(9" k)}^{3} : {(\frac{1}{3}" k)}^{3} \cdot {(3" k^{2})}^{3} =$ ..............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

RbmqwDZBrjYIm

Oblicz „sprytnie”. Połącz wyrażenie z odpowiednim rozwiązaniem.

{(2, 5)}^{3} \cdot 2^{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(0, 2)}^{4} \cdot 10^{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(\frac{1}{3})}^{4} \cdot 3^{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(\frac{2}{3})}^{4} \cdot {(1, 5)}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

12^{2} : 3^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

{(2, 4)}^{3} : {(0, 3)}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 \frac{1}{3}

, 2.

250

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

160

, 5.

9

, 6.

153, 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2, 5^{3} \cdot 2^{4} = 2, 5^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2 = {(2, 5 \cdot 2)}^{3} \cdot 2 = 5^{3} \cdot 2 = 125 \cdot 2 = 250$

Pozostałe podpunkty analogicznie.

Ćwiczenie 19

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci iloczynu potęg o takich samych wykładnikach.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
${(4 x y)}^{6}$
${(2 x^{3} y^{4})}^{9}$

Wykorzystaj wzór $a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$ .

Zadanie ma wiele rozwiązań, np.:

$2^{15} = 4^{15} \cdot {(\frac{1}{2})}^{15}$ lub $2^{15} = 8^{15} \cdot {(\frac{1}{4})}^{15}$
${(- 5)}^{23} = {(- 10)}^{23} \cdot {(\frac{1}{2})}^{23}$ lub ${(- 5)}^{23} = {(- 15)}^{23} \cdot {(\frac{1}{3})}^{23}$
${(4 x y)}^{6} = {(4 x)}^{6} \cdot y^{6}$ lub ${(4 x y)}^{6} = {(2 x)}^{6} \cdot {(2 y)}^{6}$
${(2 x^{3} y^{4})}^{9} = {(2 x y)}^{9} \cdot {(x^{2} y^{3})}^{9}$ lub ${(2 x^{3} y^{4})}^{9} = {(x^{2} y^{2})}^{9} \cdot {(2 x y^{2})}^{9}$

Ćwiczenie 20

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci ilorazu potęg o takich samych wykładnikach.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
${(4 x y)}^{6}$ zakładając, że $x \neq 0$ i $y \neq 0$
${(2 x^{3} y^{4})}^{9}$ zakładając, że $x \neq 0$ i $y \neq 0$

Wykorzystaj wzór $\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$ .

Zadanie ma wiele rozwiązań, np.:

$2^{15} = 4^{15} : 2^{15}$ lub $2^{15} = 8^{15} : 4^{15}$
${(- 5)}^{23} = {(- 10)}^{23} : 2^{23}$ lub ${(- 5)}^{23} = 25^{23} : {(- 5)}^{23}$
${(4 x y)}^{6} = {(4 x)}^{6} : {(\frac{1}{y})}^{6}$ lub ${(4 x y)}^{6} = {(8 x)}^{6} : {(\frac{2}{y})}^{6}$
${(2 x^{3} y^{4})}^{9} = {(2 x y)}^{9} : {(\frac{1}{x^{2} y^{3}})}^{9}$ lub ${(2 x^{3} y^{4})}^{9} = {(4 x^{2} y^{2})}^{9} : {(\frac{2}{x y^{2}})}^{9}$

R6mcrEvJhN3ky

Ćwiczenie 21

Uprość wyrażenie i oblicz jego wartość liczbową. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

{(3 a^{2})}^{3} : {(\frac{1}{2} a^{2})}^{2}

, dla

a = - 1

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

{(6 x^{2} y^{3})}^{5} : {(6 x^{2} y)}^{4}

, dla

x = - \frac{1}{2}

y = - 1

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

{(\frac{3 a^{2}}{2 b})}^{3} \cdot {(\frac{4 b^{2}}{3 a})}^{2}

, dla

a = - \frac{1}{2}

b = 4

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

[{(2 x^{3} y)}^{6} \cdot {(2 x^{2} y^{5})}^{2}] : [{(x^{2} y)}^{2} \cdot {(4 x^{3} y^{5})}^{2}]

, dla

x = - 1

y = - \frac{1}{3}

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 1.

1, 3

, 2.

\frac{12}{51}

, 3.

\frac{14}{41}

, 4.

- 2,5

, 5.

- 0,5

, 6.

108

, 7.

- 1,5

, 8.

112

, 9.

2, 2

, 10.

1, 5

, 11.

107

, 12.

\frac{16}{81}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RljpDOgMPFAUR

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RsUS3OCwfWcoX

Ćwiczenie 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $10^{n} + 2$ jest podzielna przez $3$ .

Przypomnij sobie, jaki jest warunek podzielności liczby przez $3$ . Zwróć uwagę na sumę cyfr w tych liczbach.

Suma cyfr liczby $10^{n} + 2$ jest podzielna przez $3$ , więc liczba też jest podzielna przez $3$ .

R1FvzBmQVWXwQ

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

Uzasadnij, że liczba $2^{16} + 2^{15} + 2^{14}$ jest podzielna przez $7$ .

$2^{14} (2^{2} + 2 + 1) = 2^{14} \cdot 7$

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

5. Porównywanie potęg

7. Potęga o wykładniku całkowitym

6. Działania na potęgach o wykładnikach naturalnych

Notatnik