7. Potęga o wykładniku całkowitym

R1AMq6eip8w54

R7ZtKVwVzZTma1

Portret siedemnastowicznego naukowca Antoniego van Leeuwenhoek. Mężczyzna w brązowej szacie i blond peruce siedzi przy stoliku.
Na stoliku stoi globus, kałamarz z gęsim piórem, prymitywny mikroskop. Leżą też manuskrypty. — Antoni van Leeuwenhoek był pierwszym mikrobiologiem, który przy pomocy własnoręcznie wykonanego mikroskopu zaobserwował bakterie
Źródło: Jan Verkolje, domena publiczna.

Bakterie to bardzo małe organizmy. Ich wielkość mieści się w granicach od 0,000001 m do 0,00001 m. Do zapisu tak małych liczb używa się zwykle potęg o wykładnikach całkowitych ujemnych.

W tym materiale poznasz definicję potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym oraz twierdzenia związane z tymi potęgami.

Zdobyte wiadomości wykorzystasz rozwiązując ćwiczenia.

Ważne!

Każda liczba wymierna ma liczbę przeciwną (suma takich liczb jest równa zeru). Jeśli liczba nie jest równa zero, to ma także liczbę odwrotną (iloczyn takich liczb jest równy jeden).

Przykład 1

Podamy liczby odwrotne i przeciwne do podanych liczb różnych od zera.

Liczba wymierna	Liczba przeciwna	Liczba odwrotna
$x$	$- x$	$\frac{1}{x}$
$2$	$- 2$	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$	$- \frac{1}{3}$	$3$
$- \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	$- \frac{3}{2}$
$- 2, 3$	$2, 3$	$- \frac{1}{2, 3} = - \frac{1}{\frac{23}{10}} = - \frac{10}{23}$

Analizując poniższe przykłady, przekonasz się, że potęga o wykładniku ujemnym ma bezpośredni związek z odwrotnością danej liczby (a nie z liczbą przeciwną!).

Przykład 2

Dzieląc liczbę $2^{4}$ przez liczbę $2^{7}$ możemy zapisać kolejno
$\frac{2^{4}}{2^{7}} = \frac{2^{4}}{2^{4 + 3}} = \frac{2^{4}}{2^{4} \cdot 2^{3}}$ ,
co po uproszczeniu licznika i mianownika przez $2^{4}$ pozwala zapisać wynik w postaci $\frac{1}{2^{3}}$ .

Z drugiej strony, stosując wzór na dzielenie potęg o tych samych podstawach moglibyśmy zapisać
$\frac{2^{4}}{2^{7}} = 2^{4 - 7} = 2^{- 3}$ .

W ten sposób otrzymaliśmy więc równość
$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$ .

Ten wstępny przykład jest ilustracją umowy, którą przyjmujemy określając potęgę niezerowej liczby o wykładniku ujemnym.

potęga o wykładniku ujemnym

Definicja: potęga o wykładniku ujemnym

Niech $n$ będzie liczbą naturalną dodatnią. Potęgą liczby $a \neq 0$ o wykładniku $(- n)$ nazywamy liczbę:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Ważne!

Zachodzi równość:

$\frac{1}{a^{n}} = \frac{1^{n}}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}$

więc liczbę $a^{- n}$ można również określić za pomocą równości:

$a^{- n} = {(\frac{1}{a})}^{n}$

Zatem dla dowolnych i różnych od zera liczb $a$ oraz $b$ prawdziwa jest równość:

${(\frac{a}{b})}^{- n} = \frac{1}{{(\frac{a}{b})}^{n}} = \frac{1}{\frac{a^{n}}{b^{n}}} = \frac{b^{n}}{a^{n}} = {(\frac{b}{a})}^{n}$

Zauważmy, że dla liczby $a \neq 0$ i dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość:

$a^{n} \cdot a^{- n} = \frac{a^{n}}{a^{n}} = 1$

Ważne!

Dla każdej liczby naturalnej $n$ i dla dowolnej liczby $a \neq 0$ przyjmujemy $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ .
$a^{- 1} = \frac{1}{a^{1}} = {(\frac{1}{a})}^{1}$

Przykład 3

Bezpośrednio z definicji potęgi o wykładniku ujemnym oraz na podstawie podanych wyżej własności wynikają następujące równości:

$10^{- 4} = \frac{1}{10^{4}} = 0, 0001$

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

${(- \frac{1}{3})}^{- 3} = {(- 3)}^{3} = - 3^{3} = - 27$
${(- \frac{2}{5})}^{- 2} = {(- \frac{5}{2})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$

${(- 0, 625)}^{- 100} \cdot {(- 2 \frac{14}{25})}^{- 50} = {(- \frac{5}{8})}^{- 100} \cdot {(- \frac{64}{25})}^{- 50} =$
$= {(- \frac{8}{5})}^{100} \cdot {(- \frac{25}{64})}^{50} = {({(\frac{8}{5})}^{2})}^{50} \cdot {(\frac{25}{64})}^{50} = {(\frac{64}{25} \cdot \frac{25}{64})}^{50} = 1^{50} = 1$ .

Przykład 4

Obliczymy:

$2^{- 1} = {(\frac{1}{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

${(\frac{1}{3})}^{- 4} = 3^{4} = 81$

${(\frac{2}{3})}^{- 3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8}$

${(- 0,1)}^{- 2} = {(- \frac{1}{0,1})}^{2} = \frac{1}{0,01}$

${(- 0,2)}^{- 3} = {(- \frac{1}{0,2})}^{3} = - \frac{1}{0,008}$

Dla potęg o wykładnikach całkowitych obowiązują analogiczne wzory, jak dla potęg o wykładnikach naturalnych.

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o takich samych podstawach

Dla dowolnej liczby $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

Iloraz potęg o takich samych podstawach

Dla dowolnej liczby $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$

Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}$

RW0o7fZI0xu9e1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Iloczyn potęg o takich samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

$a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$

R1HHZmqL2Rf211

Iloraz potęg o takich samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

$\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$

R1SCHjk7f29iw1

Przykład 5

Uprościmy wyrażenie ${(\frac{x^{- 2} \cdot y^{- 3}}{x^{- 3} \cdot y^{- 2}})}^{- 2}$ .

Skorzystamy ze wzoru na dzielnie potęg o takich samych podstawach:

$(\frac{x^{- 2} \cdot y^{- 3}}{x^{- 3} \cdot y^{- 2}})^{- 2} =$

Odejmujemy wykładniki:

$= {(x^{- 2 - (- 3)} \cdot y^{- 3 - (- 2)})}^{- 2} =$

Z własności działań na liczbach całkowitych mamy:

$= {(x^{- 2 + 3} \cdot y^{- 3 + 2})}^{- 2} =$

$= {(x^{1} \cdot y^{- 1})}^{- 2} =$

Ze wzoru na potęgę iloczynu mamy:

$= {(x^{1})}^{- 2} \cdot {(y^{- 1})}^{- 2} =$

Ze wzoru na potęgę potęgi mamy:

$= x^{- 2} \cdot y^{2} =$

Z definicji potęgi o wykładniku ujemnym mamy:

$= \frac{1}{x^{2}} \cdot y^{2} =$

Z własności działań na ułamkach mamy:

$= \frac{y^{2}}{x^{2}}$

RF5QDL8tO6pp6

Ćwiczenie 1

Oblicz w pamięci. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

3^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

4^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

1^{- 4} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

10^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

123^{- 1} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 4)}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 2)}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 1)}^{- 12} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- 3)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(\frac{1}{2})}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

\frac{2}{3^{- 2}} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- \frac{1}{3})}^{- 1} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

\frac{- 1}{{(- 4)}^{- 2}} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(0, 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 0, 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- 0, 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- 0, 5)}^{- 1} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

0, 1^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

Oblicz w pamięci. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

3^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

4^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

1^{- 4} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

10^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

123^{- 1} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 4)}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 2)}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 1)}^{- 12} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- 3)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(\frac{1}{2})}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

\frac{2}{3^{- 2}} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- \frac{1}{3})}^{- 1} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

\frac{- 1}{{(- 4)}^{- 2}} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(0, 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

{(- 0, 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- 0, 2)}^{- 2} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

- {(- 0, 5)}^{- 1} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

0, 1^{- 3} =

\frac{1}{9}

, 2.

\frac{1}{1000}

, 3.

- \frac{1}{9}

, 4.

- 25

, 5.

\frac{1}{64}

, 6.

- \frac{1}{64}

, 7.

1000

, 8.

2

, 9.

1

, 10.

\frac{1}{4}

, 11.

25

, 12.

- \frac{1}{8}

, 13.

25

, 14.

18

, 15.

8

, 16.

8

, 17.

- 16

, 18.

- 3

, 19.

\frac{1}{123}

, 20.

1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ctsa9Tmy6AP

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjlAj5iNmhfK2

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FQKnbnqqHKr

Ćwiczenie 4

Oblicz, stosując definicję potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym. Wynik podaj w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Połącz w pary wyrażenie z wynikiem.

{(\frac{2}{5})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

5^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

4^{- 1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

1^{- 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

2^{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

2^{- 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

{(\frac{1}{2})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

{(\frac{2}{3})}^{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

{(\frac{4}{7})}^{- 1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

{(\frac{5}{7})}^{- 1}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1, 4

, 2.

4

, 3.

6, 25

, 4.

1, 75

, 5.

1

, 6.

0, 125

, 7.

0, 008

, 8.

0, 25

, 9.

2, 25

, 10.

0, 0625

Oblicz, stosując definicję potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym. Wynik podaj w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Połącz w pary wyrażenie z wynikiem.

${(\frac{2}{5})}^{- 2}$
$5^{- 3}$
$4^{- 1}$
$1^{- 4}$
$2^{- 3}$
$2^{- 4}$
${(\frac{1}{2})}^{- 2}$
${(\frac{2}{3})}^{- 2}$
${(\frac{4}{7})}^{- 1}$
${(\frac{5}{7})}^{- 1}$

RA23iUhX42oqt1

Ćwiczenie 5

Połącz w pary potęgę z jej wartością.

8

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 2.

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3}

, 3.

{(- 0, 2)}^{- 2}

, 4.

{(- 2)}^{- 2}

, 5.

- 2^{- 2}

, 6.

- 0, 2^{- 2}

- 25

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 2.

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3}

, 3.

{(- 0, 2)}^{- 2}

, 4.

{(- 2)}^{- 2}

, 5.

- 2^{- 2}

, 6.

- 0, 2^{- 2}

\frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 2.

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3}

, 3.

{(- 0, 2)}^{- 2}

, 4.

{(- 2)}^{- 2}

, 5.

- 2^{- 2}

, 6.

- 0, 2^{- 2}

- \frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 2.

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3}

, 3.

{(- 0, 2)}^{- 2}

, 4.

{(- 2)}^{- 2}

, 5.

- 2^{- 2}

, 6.

- 0, 2^{- 2}

4

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 2.

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3}

, 3.

{(- 0, 2)}^{- 2}

, 4.

{(- 2)}^{- 2}

, 5.

- 2^{- 2}

, 6.

- 0, 2^{- 2}

25

Możliwe odpowiedzi: 1.

{(- \frac{1}{2})}^{- 2}

, 2.

- {(- \frac{1}{2})}^{- 3}

, 3.

{(- 0, 2)}^{- 2}

, 4.

{(- 2)}^{- 2}

, 5.

- 2^{- 2}

, 6.

- 0, 2^{- 2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSWZqFFStNlDv1

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdFjV0u9YWngn

Ćwiczenie 7

Dostępne opcje do wyboru:

=

=

>

>

>

<

<

<

<

>

=

>

=

<

<

=

=

>

. Polecenie: Uzupełnij poniższe zapisy, przeciągając w luki odpowiednie znaki lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

5^{- 3}

luka do uzupełnienia

- 5^{- 3}

1^{- 2}

luka do uzupełnienia

{(- 1)}^{- 2}

- 3^{- 3}

luka do uzupełnienia

3^{- 3}

4^{- 3}

luka do uzupełnienia

{(- 4)}^{- 3}

- 3^{- 5}

luka do uzupełnienia

{(- 3)}^{- 5}

5^{- 2}

luka do uzupełnienia

- {(- 5)}^{- 2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SFr7I6HGDRL

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11ZSGJa4n8Iy1

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJAyrzjZ4vuN71

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rr3QEZ6i0hida

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rpum4lOXDDJUJ

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rmfos4IIwAUmB1

Ćwiczenie 13

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2^{- 4} - {(- 2)}^{- 4} =

8

, 2.

4 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

0

, 5.

1

, 6.

5

, 7.

- 2

, 8.

5 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

7 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

\frac{1}{5} \cdot 5^{2} - {(- 5)}^{- 1} =

8

, 2.

4 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

0

, 5.

1

, 6.

5

, 7.

- 2

, 8.

5 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

7 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

{(\frac{1}{2})}^{- 3} \cdot {(- 2)}^{- 2} =

8

, 2.

4 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

0

, 5.

1

, 6.

5

, 7.

- 2

, 8.

5 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

7 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

4 \cdot {(2)}^{- 2} + 4 \cdot {(\frac{1}{4})}^{0} =

8

, 2.

4 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

0

, 5.

1

, 6.

5

, 7.

- 2

, 8.

5 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

7 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

10^{- 3} \cdot 0, 1^{- 4} =

8

, 2.

4 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

0

, 5.

1

, 6.

5

, 7.

- 2

, 8.

5 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

7 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

2 - 3^{- 2} \cdot \frac{1}{3^{- 3}} =

8

, 2.

4 \frac{1}{2}

, 3.

10

, 4.

0

, 5.

1

, 6.

5

, 7.

- 2

, 8.

5 \frac{1}{5}

, 9.

2

, 10.

7 \frac{3}{4}

, 11.

- 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQnKsn0CHTCtO

Ćwiczenie 14

Przeciągnij do tabeli wyrażenia tak, aby były one równe wyrażeniom umieszczonym w tabeli. Zakładamy, że $a \neq 0$ .

$a^{2} \cdot a^{3}$ , $a^{2} \cdot a^{- 3}$ , $a^{- 2} \cdot a^{3}$ , $a^{- 2} \cdot a^{- 3}$ , $\frac{a^{2}}{a^{3}}$ , $\frac{a^{2}}{a^{- 3}}$ , $\frac{a^{- 2}}{a^{3}}$ , $\frac{a^{- 2}}{a^{- 3}}$

Wyrażenie	Wyrażenie równe
$a^{2} \cdot a^{3}$
$a^{2} \cdot a^{- 3}$
$a^{- 2} \cdot a^{3}$
$a^{- 2} \cdot a^{- 3}$
$\frac{a^{2}}{a^{3}}$
$\frac{a^{2}}{a^{- 3}}$
$\frac{a^{- 2}}{a^{3}}$
$\frac{a^{- 2}}{a^{- 3}}$

R11GUYcsCAFv7

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Zapisz w postaci potęgi.

a) $[b^{- 4} \cdot (b^{7} : b^{- 5})] : [b^{2} \cdot (b^{- 5} : b^{3})]$

b) $\{[b^{5} \cdot (b^{- 3} : b^{- 2})] : [b^{6} : (b^{- 5} \cdot b^{- 3})]\} : b^{- 2}$

$[b^{- 4} \cdot (b^{7} : b^{- 5})] : [b^{2} \cdot (b^{- 5} : b^{3})] =$

$= [b^{- 4} \cdot b^{7 - (- 5)}] : [b^{2} \cdot b^{- 5 - 3}] =$

$= [b^{- 4} \cdot b^{12}] : [b^{2} \cdot b^{- 8}] =$

$= b^{- 4 + 12} : b^{2 + (- 8)} =$

$= b^{8} : b^{- 6} =$

$= b^{8 - (- 6)} =$

$= b^{14}$

$\{[b^{5} \cdot (b^{- 3} : b^{- 2})] : [b^{6} : (b^{- 5} \cdot b^{- 3})]\} : b^{- 2} =$

$= \{[b^{5} \cdot b^{- 3 - (- 2)}] : [b^{6} : b^{- 5 + (- 3)}]\} : b^{- 2} =$

$= \{[b^{5} \cdot b^{- 1}] : [b^{6} : b^{- 8}]\} : b^{- 2} =$

$= \{b^{5 + (- 1)} : b^{6 - (- 8)}\} : b^{- 2} =$

$= \{b^{4} : b^{14}\} : b^{- 2} =$

$= \{b^{4 - 14}\} : b^{- 2} =$

$= b^{- 10} : b^{- 2} =$

$= b^{- 10 - (- 2)} =$

$= b^{- 8}$

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

6. Działania na potęgach o wykładnikach naturalnych

8. Notacja wykładnicza

7. Potęga o wykładniku całkowitym

Notatnik