5. Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomian - Stosowanie wyrażeń algebraicznych

R1CvjCqdPtfJL

5. Mnożenie i dzielnie sum algebraicznych przez jednomian

Z mnożeniem i dzieleniem mamy wielokrotnie styczność, np. podczas liczenia odsetek lub przy domowych wypiekach, gdy chcemy przygotować ciasto o innej masie niż to w przepisie.

Potrafimy więc bez trudu obliczać ilorazy i iloczyny gdy mamy określone dane. Problem rodzi się w chwili, gdy zamiast konkretnej liczby pojawiają się wyrażenia algebraiczne. Umiejętność posługiwania się abstrakcyjnymi zmiennymi jest użyteczna nie tylko w matematyce. Warto więc dobrze opanować jej podstawy.

Jednomian jest szczególnym przypadkiem wielomianu. W tym materialne zajmiemy się obliczaniem iloczynów i ilorazów sum algebraicznych i jednomianów.

RgO4nPYIClkWL1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Pomnóżmy sumę algebraiczną $3 x - 2 y + 5$ przez liczbę $(- 2)$

- 2 \cdot (3 x - 2 y + 5) = (- 2) \cdot 3 x - (- 2) \cdot 2 y + (- 2) \cdot 5 = - 6 x + 4 y - 10

Pomnóżmy teraz tę samą sumę przez jednomian $7 x$ .

7 x \cdot (3 x - 2 y + 5) = 7 x \cdot 3 x - 7 x \cdot 2 y + 7 x \cdot 5 = 21 x^{2} - 14 x y + 35 x

Przykład 2

R16OhlbPi8j0y1

Przykład 3

Wykorzystując wiadomości dotyczące dodawania, odejmowania i mnożenia przez jednomian sum algebraicznych, możemy wykonywać działania na sumach algebraicznych. W przypadku wyrażeń algebraicznych obowiązuje taka sama kolejność wykonywania działań, jak dla wyrażeń arytmetycznych.

Zapisujemy w najprostszej postaci:

4 x (5 y - 2) - 7 y (3 x - 4) + 5 (x y - 2 x + 8 y + 3)

W pierwszej kolejności wykonujemy mnożenie

4 x (5 y - 2) - 7 y (3 x - 4) + 5 (x y - 2 x + 8 y + 3) =

= 4 x \cdot 5 y - 4 x \cdot 2 - 7 y \cdot 3 x + 7 y \cdot 4 + 5 \cdot x y - 5 \cdot 2 x + 5 \cdot 8 y + 5 \cdot 3 =

= 20 x y - 8 x - 21 x y + 28 y + 5 x y - 10 x + 40 y + 15

W ostatnim etapie wykonana została redukcja wyrazów podobnych.

4 x y - 18 x + 68 y + 15

Ważne!

Aby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną, mnożymy każdy składnik sumy przez ten jednomian.
Aby podzielić sumę algebraiczną przez jednomian, dzielimy każdy składnik sumy przez ten jednomian.

Przykład 4

Pomnóżmy sumę algebraiczną $2 x^{2} - 2 x y + 5 y$ przez jednomian $5 x^{2} y$ . Wykorzystamy twierdzenie dotyczące mnożenia potęg o tej samej podstawie.

5 x^{2} y \cdot (2 x^{2} - 2 x y + 5 y) = 5 x^{2} y \cdot 2 x^{2} - 5 x^{2} y \cdot 2 x y + 5 x^{2} y \cdot 5 y =

= 10 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} + 25 x^{2} y^{2}

Przykład 5

Podzielmy sumę algebraiczną $12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b$ przez jednomian $2 a b$ zakładając, że $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

Skorzystamy z twierdzenia dotyczącego dzielenia potęg o tej samej podstawie.

\frac{12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b}{2 a b} = \frac{12 a^{2} b^{3}}{2 a b} + \frac{6 a b^{4}}{2 a b} - \frac{4 a^{3} b}{2 a b} = 6 a b^{2} + 3 b^{3} - 2 a^{2}

Podzielmy teraz tę samą sumę przez jednomian $4 a^{2} b^{2}$ . Niech w dalszym ciągu $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

\frac{12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b}{4 a^{2} b^{2}} = \frac{12 a^{2} b^{3}}{4 a^{2} b^{2}} + \frac{6 a b^{4}}{4 a^{2} b^{2}} - \frac{4 a^{3} b}{4 a^{2} b^{2}} = 3 b + \frac{1, 5 b^{2}}{a} - \frac{a}{b}

RNIzWHePqXkkk

Ćwiczenie 1

Pomnóż jednomian przez sumę algebraiczną, a następnie połącz w pary wyrażenia z wynikami.

5 (- 3 x + 12 y - 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

- 20 x^{2} (5 x + 2 y - 7 z)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

- 2 a (- \frac{1}{2} + 3 a)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

6 x y (- 2 x + 4 y - 7)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

m (- 4 m + 3 n - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

\frac{2}{3} (6 a - 12 b + 9)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

(- 5 x + 7 y - 2 z) \cdot (- 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

a b (- 10 a + 20 b - 35)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 15 x + 60 y - 20

, 2.

- 12 x^{2} y + 24 x y^{2} - 42 x y

, 3.

- 100 x^{3} - 40 x^{2} y + 140 x^{2} z

, 4.

4 a - 8 b + 6

, 5.

- 4 m^{2} + 3 m n - 2 m

, 6.

a - 6 a^{2}

, 7.

- 10 a^{2} b + 20 a b^{2} - 35 a b

, 8.

10 x - 14 y + 4 z

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAmRVEBRKDqk4

Ćwiczenie 2

Podziel sumę algebraiczną przez liczbę, a następnie połącz w pary wyrażenia z wynikami.

\frac{10 a + 15 b - 35}{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x y - 3 z

, 2.

6 a b - 3 a + 9 b

, 3.

- 37,5 a + 22,5 b - 15 c

, 4.

4 x^{2} + 10 x - 8 x y + 6 y

, 5.

- 18 m^{2} + 27 m n - 45

, 6.

2 a + 3 b - 7

(- 8 x y + 12 z) : (- 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x y - 3 z

, 2.

6 a b - 3 a + 9 b

, 3.

- 37,5 a + 22,5 b - 15 c

, 4.

4 x^{2} + 10 x - 8 x y + 6 y

, 5.

- 18 m^{2} + 27 m n - 45

, 6.

2 a + 3 b - 7

(- 6 m^{2} + 9 m n - 15) : \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x y - 3 z

, 2.

6 a b - 3 a + 9 b

, 3.

- 37,5 a + 22,5 b - 15 c

, 4.

4 x^{2} + 10 x - 8 x y + 6 y

, 5.

- 18 m^{2} + 27 m n - 45

, 6.

2 a + 3 b - 7

\frac{- 18 a b + 9 a - 27 b}{- 3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x y - 3 z

, 2.

6 a b - 3 a + 9 b

, 3.

- 37,5 a + 22,5 b - 15 c

, 4.

4 x^{2} + 10 x - 8 x y + 6 y

, 5.

- 18 m^{2} + 27 m n - 45

, 6.

2 a + 3 b - 7

(- 2 x^{2} - 5 x + 4 x y - 3 y) : (- \frac{1}{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x y - 3 z

, 2.

6 a b - 3 a + 9 b

, 3.

- 37,5 a + 22,5 b - 15 c

, 4.

4 x^{2} + 10 x - 8 x y + 6 y

, 5.

- 18 m^{2} + 27 m n - 45

, 6.

2 a + 3 b - 7

\frac{25 a - 15 b + 10 c}{- \frac{2}{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x y - 3 z

, 2.

6 a b - 3 a + 9 b

, 3.

- 37,5 a + 22,5 b - 15 c

, 4.

4 x^{2} + 10 x - 8 x y + 6 y

, 5.

- 18 m^{2} + 27 m n - 45

, 6.

2 a + 3 b - 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RdhUbLGtf1X1

Ćwiczenie 3

Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby tak, aby równości były prawdziwe.

3 a b (- 4 a + 5 b - 9) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

a^{2} b +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

a b^{2} -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

a b

1, 5 x (- 5 x y + 20 x^{2} - 7, 5 y) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x^{2} y +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x^{3} -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x y

- 1 \frac{1}{2} (- 3 x + 5 y - 4) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

y +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 0, 4 (5 x - 3, 5 y^{2} + 4) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

y^{2} -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 8 x (5 x - 4 x y + 15) = - 40

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

+ 32

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 120

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

2, 5 a b (- 3 a + 10 b - 12 a b) = - 7, 5

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

+ 25

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 30

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 0, 6 k^{2} (- 5 k + k l - 10) = 3

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 0, 6

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

+ 6

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby tak, aby równości były prawdziwe.

3 a b (- 4 a + 5 b - 9) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

a^{2} b +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

a b^{2} -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

a b

1, 5 x (- 5 x y + 20 x^{2} - 7, 5 y) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x^{2} y +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x^{3} -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x y

- 1 \frac{1}{2} (- 3 x + 5 y - 4) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

y +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 0, 4 (5 x - 3, 5 y^{2} + 4) =

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

x +

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

y^{2} -

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 8 x (5 x - 4 x y + 15) = - 40

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

+ 32

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 120

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

2, 5 a b (- 3 a + 10 b - 12 a b) = - 7, 5

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

+ 25

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 30

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 0, 6 k^{2} (- 5 k + k l - 10) = 3

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

- 0, 6

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

+ 6

x

, 2.

x^{2}

, 3.

- 2

, 4.

k^{3} l

, 5.

x^{2} y

, 6.

a b^{2}

, 7.

11, 25

, 8.

a^{2} b^{2}

, 9.

15

, 10.

1,4

, 11.

4 \frac{1}{2}

, 12.

6

, 13.

a^{2} b

, 14.

- 7, 5

, 15.

27

, 16.

k^{2}

, 17.

7, 5

, 18.

1, 6

, 19.

k^{3}

, 20.

30

, 21.

- 12

Przeciągnij i upuść.

$11,25$ , $15$ , $a^{2} b^{2}$ , $- 7,5$ , $x$ , $k^{2}$ , $- 12$ , $k^{3}$ , $a^{2} b$ , $4 \frac{1}{2}$ , $27$ , $1,4$ , $- 2$ , $6$ , $30$ , $a b^{2}$ , $x^{2}$ , $k^{3} l$ , $1,6$ , $7,5$ , $x^{2} y$

a) $3 a b (- 4 a + 5 b - 9) =$ .......................... $a^{2} b +$ .......................... $a b^{2} -$ .......................... $a b$
b) $1, 5 x (- 5 x y + 20 x^{2} - 7, 5 y) =$ .......................... $x^{2} y +$ .......................... $x^{3} -$ .......................... $x y$
c) $- 1 \frac{1}{2} (- 3 x + 5 y - 4) =$ .......................... $x -$ .......................... $y +$ ..........................
d) $- 0, 4 (5 x - 3, 5 y^{2} + 4) =$ .......................... $x +$ .......................... $y^{2} -$ ..........................
e) $- 8 x (5 x - 4 x y + 15) = - 40$ .......................... $+ 32$ .......................... $- 120$ ..........................
f) $2, 5 a b (- 3 a + 10 b - 12 a b) = - 7, 5$ .......................... $+ 25$ .......................... $- 30$ ..........................
g) $- 0, 6 k^{2} (- 5 k + k l - 10) = 3$ .......................... $- 0, 6$ .......................... $+ 6$ ..........................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGJVdNIhH5ImF1

Ćwiczenie 4

Przeciągnij i upuść odpowiednie liczby tak, aby równości były prawdziwe.

5 x (2 y +

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

) =

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

+ 15 x^{2} y

- 8 x y (

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

- 2 y) = 40 x y +

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

4 x y^{2} (- 9 x +

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

) =

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

+ 16 x y^{3}

- 10 y (- 2 x -

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

) =

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

+ 25 x y^{2}

{2 x}^{2} (

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

- 8 y^{2}) = - 8 x^{2} y -

20 x y

, 2.

- 5

, 3.

3 x y

, 4.

- 4 y

, 5.

16 x^{2} y^{2}

, 6.

- 36 x^{2} y^{2}

, 7.

2,5 x y

, 8.

16 x y^{2}

, 9.

4 y

, 10.

10 x y

Przeciągnij i upuść.

$- 5$ , $2,5 x y$ , $4 y$ , $10 x y$ , $16 x^{2} y^{2}$ , $3 x y$ , $16 x y^{2}$ , $- 4 y$ , $- 36 x^{2} y^{2}$ , $20 x y$

a) $5 x (2 y +$ .............................................................. $) =$ .............................................................. $+ 15 x^{2} y$
b) $- 8 x y ($ .............................................................. $- 2 y) = 40 x y +$ ..............................................................
c) $4 x y^{2} (- 9 x +$ .............................................................. $) =$ .............................................................. $+ 16 x y^{3}$
d) $- 10 y (- 2 x -$ .............................................................. $) =$ .............................................................. $+ 25 x y^{2}$
e) ${2 x}^{2} ($ .............................................................. $- 8 y^{2}) = - 8 x^{2} y -$ ..............................................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R194A3s5LDM1i1

Ćwiczenie 5

Połącz w pary wyrażenia o tych samych wartościach.

- 3 (2 x - 7 y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

4 x (x + 5)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

4 (x + 5)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

2 y (7 x - 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

4 x y (x - 5)

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

\frac{6 x - 15 y}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

(8 x y - 4) : 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

(- 12 x + 4 y) : 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x - 5 y

, 2.

- 6 x + 21 y

, 3.

4 x^{2} + 20 x

, 4.

14 x y - 8 y

, 5.

4 x y - 2

, 6.

4 x^{2} y - 20 x y

, 7.

y - 3 x

, 8.

4 x + 20

Połącz w pary.

$- 3 (2 x - 7 y)$
$4 x (x + 5)$
$4 (x + 5)$
$2 y (7 x - 4)$
$4 x y (x - 5)$
$\frac{6 x - 15 y}{3}$
$(8 x y - 4) : 2$
$(- 12 x + 4 y) : 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RT5U1h4KyjqrN1

Ćwiczenie 6

Wykonaj działania, a następnie połącz dane wyrażenie z uzyskanym wynikiem.

3 x (- x y + 4) + 2 y (x^{2} - 7 x + 4) + (- 5 x^{2} y + 7 x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 10 x^{2} y + 23 x y^{2} - 24 x y - 4 y

, 2.

- 7 k^{2} l^{2} + 28 k^{2} l + 9

, 3.

- 8 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} - 28 x^{2} y + 24 x y + 35 x^{2}

, 4.

- 32 k^{2} l + 44 k l^{2} + 24 k l - 8 l

, 5.

- 6 x^{2} y + 19 x + 8 y - 14 x y

k (- k l^{2} + 8 k l) - 4 k^{2} (l^{2} - 5 l) - (2 k^{2} l^{2} - 9)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 10 x^{2} y + 23 x y^{2} - 24 x y - 4 y

, 2.

- 7 k^{2} l^{2} + 28 k^{2} l + 9

, 3.

- 8 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} - 28 x^{2} y + 24 x y + 35 x^{2}

, 4.

- 32 k^{2} l + 44 k l^{2} + 24 k l - 8 l

, 5.

- 6 x^{2} y + 19 x + 8 y - 14 x y

- 3 x y (2 x - 5 y + 8) - 4 y (x^{2} - 2 x y + 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 10 x^{2} y + 23 x y^{2} - 24 x y - 4 y

, 2.

- 7 k^{2} l^{2} + 28 k^{2} l + 9

, 3.

- 8 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} - 28 x^{2} y + 24 x y + 35 x^{2}

, 4.

- 32 k^{2} l + 44 k l^{2} + 24 k l - 8 l

, 5.

- 6 x^{2} y + 19 x + 8 y - 14 x y

8 k l (- 2 k + 4 l + 3) - 2 l (8 k^{2} - 6 k l + 4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 10 x^{2} y + 23 x y^{2} - 24 x y - 4 y

, 2.

- 7 k^{2} l^{2} + 28 k^{2} l + 9

, 3.

- 8 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} - 28 x^{2} y + 24 x y + 35 x^{2}

, 4.

- 32 k^{2} l + 44 k l^{2} + 24 k l - 8 l

, 5.

- 6 x^{2} y + 19 x + 8 y - 14 x y

2 x y^{2} (- 4 x + 2) - 3 x y (6 x - 8) + 5 x^{2} (- 2 y + 7)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 10 x^{2} y + 23 x y^{2} - 24 x y - 4 y

, 2.

- 7 k^{2} l^{2} + 28 k^{2} l + 9

, 3.

- 8 x^{2} y^{2} + 4 x y^{2} - 28 x^{2} y + 24 x y + 35 x^{2}

, 4.

- 32 k^{2} l + 44 k l^{2} + 24 k l - 8 l

, 5.

- 6 x^{2} y + 19 x + 8 y - 14 x y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14p24zVG76gf

Ćwiczenie 7

Zapisz bez użycia nawiasów wyrażenia algebraiczne redukując wyrazy podobne, a następnie oblicz jego wartość liczbową i uzupełnij puste pola. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź.

4 (a + 3 b) + 2 (a - 4 b)

, dla

a = 0,5

b = - 3

, skrócony zapis to 1.

- 25 x y + 26 z - 14 = 115

, 2.

12 x - 3 y - 11 z = - 46,5

, 3.

- 15 x y + 26 z - 12 = 130

, 4.

8 x^{4} - 12 y = 72

, 5.

8 a + 4 b = - 12

, 6.

6 a + 4 b = - 9

, 7.

17 x - 6 y - 11 z = - 48,5

, 8.

4 x^{2} - 14 y = 72

- 2 (x^{2} + y) - 3 (4 y - 2 x^{2})

, dla

x = - 2

y = - 4

, skrócony zapis to 1.

- 25 x y + 26 z - 14 = 115

, 2.

12 x - 3 y - 11 z = - 46,5

, 3.

- 15 x y + 26 z - 12 = 130

, 4.

8 x^{4} - 12 y = 72

, 5.

8 a + 4 b = - 12

, 6.

6 a + 4 b = - 9

, 7.

17 x - 6 y - 11 z = - 48,5

, 8.

4 x^{2} - 14 y = 72

5 (x + 2 y - 3 z) - 4 (- 3 x + 4 y - z)

, dla

x = - 1

y = - 3

z = 4,5

, skrócony zapis to 1.

- 25 x y + 26 z - 14 = 115

, 2.

12 x - 3 y - 11 z = - 46,5

, 3.

- 15 x y + 26 z - 12 = 130

, 4.

8 x^{4} - 12 y = 72

, 5.

8 a + 4 b = - 12

, 6.

6 a + 4 b = - 9

, 7.

17 x - 6 y - 11 z = - 48,5

, 8.

4 x^{2} - 14 y = 72

- 3 (x y - 2 z) + 4 (- 3 x y + 5 z - 3)

dla

x = - 2

y = 3

z = 2

, skrócony zapis to 1.

- 25 x y + 26 z - 14 = 115

, 2.

12 x - 3 y - 11 z = - 46,5

, 3.

- 15 x y + 26 z - 12 = 130

, 4.

8 x^{4} - 12 y = 72

, 5.

8 a + 4 b = - 12

, 6.

6 a + 4 b = - 9

, 7.

17 x - 6 y - 11 z = - 48,5

, 8.

4 x^{2} - 14 y = 72

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1biq3y1MkBBF1

Ćwiczenie 8

Kwadrat nazywamy magicznym, jeżeli sumy wyrazów w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na przekatnych są takie same. Przeciągnij i upuść odpowiednie wyrażenia tak, aby poniższy kwadrat stał się kwadratem magicznym. 1.

4 x (1 - \frac{1}{2} x)

, 2.

2 x (x + 1)

, 3.

- 4 x (x - 1)

, 4.

2 x (2 x + 1)

, 5.

8 x^{2}

, 6.

4 x^{2}

4 x (1 - \frac{1}{2} x)

, 2.

2 x (x + 1)

, 3.

- 4 x (x - 1)

, 4.

2 x (2 x + 1)

, 5.

8 x^{2}

, 6.

4 x^{2}

6 x^{2}

4 x (1 - \frac{1}{2} x)

, 2.

2 x (x + 1)

, 3.

- 4 x (x - 1)

, 4.

2 x (2 x + 1)

, 5.

8 x^{2}

, 6.

4 x^{2}

4 x (1 - \frac{1}{2} x)

, 2.

2 x (x + 1)

, 3.

- 4 x (x - 1)

, 4.

2 x (2 x + 1)

, 5.

8 x^{2}

, 6.

4 x^{2}

4 x

4 x (1 - \frac{1}{2} x)

, 2.

2 x (x + 1)

, 3.

- 4 x (x - 1)

, 4.

2 x (2 x + 1)

, 5.

8 x^{2}

, 6.

4 x^{2}

4 x (1 - \frac{1}{2} x)

, 2.

2 x (x + 1)

, 3.

- 4 x (x - 1)

, 4.

2 x (2 x + 1)

, 5.

8 x^{2}

, 6.

4 x^{2}

2 x

Kwadrat nazywamy magicznym, jeżeli sumy wyrazów w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na przekatnych są takie same. Przeciągnij i upuść tak, aby poniższy kwadrat stał się kwadratem magicznym.

$4 x^{2}$ , $2 x (x + 1)$ , $2 x (2 x + 1)$ , $8 x^{2}$ , $- 4 x (x - 1)$ , $4 x (1 - \frac{1}{2} x)$

.................................................. .................................................. $6 x^{2}$
.................................................. .................................................. $4 x$
.................................................. .................................................. $2 x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

W szkole, w której uczy się Dorota, oceny semestralne wystawia się w oparciu o średnią ważoną. Średnią ważoną oblicza się, dzieląc sumę wszystkich iloczynów ocen i ich wag przez sumę wszystkich wag.

Zapisz i przedstaw w najprostszej postaci wyrażenie przedstawiające średnią ważoną ocen Doroty z matematyki, jeżeli dziewczynka uzyskała $x$ piątek z wagą $3$ i $y$ piątek z wagą $2$ , $x$ czwórek z wagą $3$ , $y$ czwórek z wagą $2$ , jedną trójkę z wagą $3$ i jedną trójkę z wagą $2 .$ Suma wag wszystkich ocen Doroty wynosi $20$ .

RvcpposknNnRL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

(3 \cdot 5 \cdot x + 2 \cdot 5 \cdot y + 3 \cdot 4 \cdot x + 2 \cdot 4 \cdot y + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2) : 20 =

(15 x + 10 y + 12 x + 8 y + 9 + 6) : 20 =

(27 x + 18 y + 15) : 20 = 1,35 x + 0,9 y + 0,75

R18PgSCVMs952

Ćwiczenie 10

Dany jest trapez równoramienny, którego dłuższa podstawa ma długość

x cm

, krótsza podstawa ma długość

(y + 3) cm

, a wysokość

z cm

. Zapisz w najprostszej postaci wyrażenia opisujące sytuacje w zdaniach i uzupełnij nimi puste pola. Pole tego trapezu wynosi 1.

\frac{x z + y z + 3 z}{2}

, 2.

\frac{8 x z + 4 y z + 37 z}{5} = 5 x z + 2 y z + 16,5 z

, 3.

\frac{x z + y z + 6 z}{4}

, 4.

\frac{5 x z + 5 y z + 40 z}{2}

, 5.

\frac{15 x z + 10 y z + 45 z}{6}

, 6.

\frac{4 x z + 4 y z + 37 z}{2} = 2 x z + 2 y z + 18,5 z

. Pole trapezu otrzymanego w wyniku wydłużenia dłuższej podstawy o

7 cm

, skrócenia krótszej podstawy o

2 cm

i zwiększenia wysokości

5

razy wynosi 1.

\frac{x z + y z + 3 z}{2}

, 2.

\frac{8 x z + 4 y z + 37 z}{5} = 5 x z + 2 y z + 16,5 z

, 3.

\frac{x z + y z + 6 z}{4}

, 4.

\frac{5 x z + 5 y z + 40 z}{2}

, 5.

\frac{15 x z + 10 y z + 45 z}{6}

, 6.

\frac{4 x z + 4 y z + 37 z}{2} = 2 x z + 2 y z + 18,5 z

. Różnica pól trapezów opisanych w podpunktach

b)

a)

wynosi 1.

\frac{x z + y z + 3 z}{2}

, 2.

\frac{8 x z + 4 y z + 37 z}{5} = 5 x z + 2 y z + 16,5 z

, 3.

\frac{x z + y z + 6 z}{4}

, 4.

\frac{5 x z + 5 y z + 40 z}{2}

, 5.

\frac{15 x z + 10 y z + 45 z}{6}

, 6.

\frac{4 x z + 4 y z + 37 z}{2} = 2 x z + 2 y z + 18,5 z

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9GpRLeILryVK

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RiWeK6H6RvRxZ1

Ćwiczenie 12

Przeciągnij i upuść odpowiednie wyrażenia tak, aby równości były prawdziwe.

x (x - 2 y) + 3 y (x - 2) +

x^{2} y + 3 x

, 2.

x^{2} + 6 y

, 3.

- x^{2} y - 3 x

, 4.

x^{2} - 6 y

, 5.

4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 6.

- x^{2} - 6 y

, 7.

x^{2} y - 3 x

, 8.

- 8 k^{2} l + 2 l

, 9.

8 k^{2} l + 2 l

, 10.

- 8 k^{2} l - 2 l

, 11.

- 4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 12.

8 k^{2} l - 2 l

, 13.

- x^{2} y + 3 x

, 14.

- x^{2} + 6 y

, 15.

- 4 a^{2} b - 10 a b^{2}

, 16.

4 a^{2} b - 10 a b^{2}

= x y

- 4 a b (2 a - 3 b + 4) - (2 a^{2} b +

x^{2} y + 3 x

, 2.

x^{2} + 6 y

, 3.

- x^{2} y - 3 x

, 4.

x^{2} - 6 y

, 5.

4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 6.

- x^{2} - 6 y

, 7.

x^{2} y - 3 x

, 8.

- 8 k^{2} l + 2 l

, 9.

8 k^{2} l + 2 l

, 10.

- 8 k^{2} l - 2 l

, 11.

- 4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 12.

8 k^{2} l - 2 l

, 13.

- x^{2} y + 3 x

, 14.

- x^{2} + 6 y

, 15.

- 4 a^{2} b - 10 a b^{2}

, 16.

4 a^{2} b - 10 a b^{2}

- 12 a b) = - 6 a^{2} b + 2 a b^{2} - 4 a b

k^{2} (- 2 l + k - 7) - 2 l (3 k^{2} - 1) = k^{3} - 7 k^{2} +

x^{2} y + 3 x

, 2.

x^{2} + 6 y

, 3.

- x^{2} y - 3 x

, 4.

x^{2} - 6 y

, 5.

4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 6.

- x^{2} - 6 y

, 7.

x^{2} y - 3 x

, 8.

- 8 k^{2} l + 2 l

, 9.

8 k^{2} l + 2 l

, 10.

- 8 k^{2} l - 2 l

, 11.

- 4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 12.

8 k^{2} l - 2 l

, 13.

- x^{2} y + 3 x

, 14.

- x^{2} + 6 y

, 15.

- 4 a^{2} b - 10 a b^{2}

, 16.

4 a^{2} b - 10 a b^{2}

x y (2 x - 3 y) + x (- 3 x y + 5 y^{2} + 3) =

x^{2} y + 3 x

, 2.

x^{2} + 6 y

, 3.

- x^{2} y - 3 x

, 4.

x^{2} - 6 y

, 5.

4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 6.

- x^{2} - 6 y

, 7.

x^{2} y - 3 x

, 8.

- 8 k^{2} l + 2 l

, 9.

8 k^{2} l + 2 l

, 10.

- 8 k^{2} l - 2 l

, 11.

- 4 a^{2} b + 10 a b^{2}

, 12.

8 k^{2} l - 2 l

, 13.

- x^{2} y + 3 x

, 14.

- x^{2} + 6 y

, 15.

- 4 a^{2} b - 10 a b^{2}

, 16.

4 a^{2} b - 10 a b^{2}

+ 2 x y^{2}

Przeciągnij i upuść.

$- x^{2} y - 3 x$ , $- x^{2} - 6 y$ , $- 8 k^{2} l + 2 l$ , $- 4 a^{2} b + 10 a b^{2}$ , $4 a^{2} b + 10 a b^{2}$ , $x^{2} - 6 y$ , $- x^{2} y + 3 x$ , $8 k^{2} l + 2 l$ , $- 8 k^{2} l - 2 l$ , $x^{2} y + 3 x$ , $- x^{2} + 6 y$ , $x^{2} y - 3 x$ , $4 a^{2} b - 10 a b^{2}$ , $8 k^{2} l - 2 l$ , $- 4 a^{2} b - 10 a b^{2}$ , $x^{2} + 6 y$

a) $x (x - 2 y) + 3 y (x - 2) +$ ................................................................................ $= x y$
b) $- 4 a b (2 a - 3 b + 4) - (2 a^{2} b +$ ................................................................................ $- 12 a b) = - 6 a^{2} b + 2 a b^{2} - 4 a b$
c) $k^{2} (- 2 l + k - 7) - 2 l (3 k^{2} - 1) = k^{3} - 7 k^{2} +$ ................................................................................
d) $x y (2 x - 3 y) + x (- 3 xy + 5 y^{2} + 3) =$ ................................................................................ $+ 2 x y^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bf8gIwAdLR5

Ćwiczenie 13

Przeciągnij i upuść odpowiednie wyrażenia algebraiczne do zdań tak, aby były prawdziwe. Kasia i Asia zbierały muszelki. Kasia zbierała muszelki

2

dni, a Ania

3

dni. Kasia każdego dnia zbierała

x

muszelek i wyrzucała

5

muszelek uszkodzonych. Asia każdego dnia zbierała

y

muszelek i wyrzucała

7

uszkodzonych. Oznacza to, że obie dziewczynki mają razem 1.

4 x + 3 y - 31

, 2.

2 x + 2 y + 100

, 3.

4 x + 3 y + 100

, 4.

2 x + 3 y - 31

, 5.

2 x + 4 y + 110

, 6.

2 x + 6 y - 30

muszelek. Jacek dostaje

x zł

kieszonkowego miesięcznie, a Michał

y zł

. W listopadzie i grudniu Jacek dostał dodatkowo po

20 zł

od cioci, natomiast Michał dostał dodatkowo po

30 zł

od swojego brata. Oznacza to, że w listopadzie i grudniu obaj chłopcy otrzymali razem 1.

4 x + 3 y - 31

, 2.

2 x + 2 y + 100

, 3.

4 x + 3 y + 100

, 4.

2 x + 3 y - 31

, 5.

2 x + 4 y + 110

, 6.

2 x + 6 y - 30

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Wiadomo, że:

$W = 3 x - 7 x y + y - 3$ ; $Q = - 4 x$

$R = - 5 x^{2} + 3, 5 x^{2} y - 7 x y + 9$ .

Zapisz w najprostszej postaci.

$Q \cdot W + R$
$Q \cdot R - W$

RzgOreNaU0NZc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$- 17 x^{2} + 31, 5 x^{2} y - 11 x y + 12 x + 9$
$20 x^{3} - 14 x^{3} y + 28 x^{2} y - 39 x + 7 x y - y + 3$

R13JkBvFdeG3j

Ćwiczenie 15

Alina i Balladyna zbierały maliny. Alina zebrała

(2 x + 3) kg

malin, a Balladyna o

4 kg

malin mniej. Uzupełnij poniższe zdania wyrażeniami algebraicznymi tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę aby wyświetlić listę rozwijalną i wybierz właściwą odpowiedź. Alina i Balladyna zebrały razem 1.

4 x + 1

, 2.

4 x + 2

, 3.

3 x + 2

, 4.

2 x + 1

, 5.

2 x + 3

, 6.

4 x + 4

kg

malin. Każda z nich zebrała średnio 1.

4 x + 1

, 2.

4 x + 2

, 3.

3 x + 2

, 4.

2 x + 1

, 5.

2 x + 3

, 6.

4 x + 4

kg

malin.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RmxqulDRljlhz

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWviA9KhSDWEQ1

Ćwiczenie 17

Pomnóż jednomiany przez sumy algebraiczne. Połącz w pary wyrażenia, które są sobie równe.

3 x^{2} y (- 2, 5 x^{3} y^{2} + 4 x y^{2} - 5 y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

- \frac{1}{3} a b (\frac{3}{4} a b^{3} - \frac{6}{11} a + 9 a^{4} b^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

- 1, 2 k^{2} l^{3} (- 2, 5 k l^{2} + 4, 8 l^{3} - 5, 2 k^{4} + 2 k l)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

2, 5 m^{2} n^{4} (- \frac{1}{2} m n^{2} - 0, 4 m^{2} n + 3 \frac{1}{4} m^{3} n^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

- 2 x y^{6} (- 3, 5 x^{6} y + 4 x y^{2} - 0, 3 x^{3} y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

\frac{a b}{2} (- 4 a b^{3} + 12 a^{3} b - 0, 5 a b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

2 \sqrt{2} x^{2} y (- \sqrt{2} x y + 3 \sqrt{2} x y^{2} + \sqrt{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y

, 2.

- 1, 25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9, 375 m^{5} n^{6}

, 3.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}

, 4.

- \frac{1}{4} a^{2} b^{4} + \frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}

, 5.

3 k^{3} l^{5} - 5, 76 k^{2} l^{6} + 6, 24 k^{6} l^{3} - 2, 4 k^{3} l^{4}

, 6.

- 7, 5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}

, 7.

- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0, 25 a^{2} b^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZQr3DfZxyDMs1

Ćwiczenie 18

Podziel sumy algebraiczne przez jednomian. Połącz w pary wyrażenia, które są sobie równe.

\frac{5 x^{2} y^{2} + 3 x^{3} y - 2 x y^{4}}{x^{2} y^{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

(- 18 x^{3} y^{5} + 3 x^{5} y^{3} - 9 x y^{4}) : (- 3 x y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

(24 a^{5} b^{4} - 18 a^{3} b^{4} + 12 a^{2} b) : (3 a^{2} b^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

\frac{- 1, 2 x^{2} y^{4} - 3, 6 x^{3} y + 2, 4 x y^{5}}{2 x^{3} y^{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

(3 \sqrt{3} a^{4} b^{3} - 2 \sqrt{3} a b + \sqrt{3} a b^{4}) : (\sqrt{3} a b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{0,6 y}{x} - \frac{1, 8}{y^{2}} + \frac{1, 2 y^{2}}{x^{2}}

, 2.

3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}

, 3.

8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}

, 4.

5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}

, 5.

6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFji31OmDYgqJ

Ćwiczenie 19

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe. a)

4 a b^{2} (- 2 a + 3 b -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

) = - 8 a^{2} b^{2} + 12 a b^{3} - 20 a^{2} b^{3}

- 0, 75 a b (- 4 a^{2} + 12 a b^{3} -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

) =

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

- 9 a^{2} b^{4} + 7, 5 a b

- \frac{2}{3} a (

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

+ 9 a^{2} b + 12 a b^{2}) = 4 a^{2} b - 6 a^{3} b - 8 a^{2} b^{2}

\sqrt{3} a b^{2} (2 \sqrt{3} b -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

+ \sqrt{27} a^{2} b) = 6 a b^{3} - 6 a^{3} b^{2} +

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

1, 2 b^{2} (- 2, 5 a b + 0, 1 a -

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

) =

9 a^{3} b^{3}

, 2.

3 a^{3} b

, 3.

- 3 a b^{3}

, 4.

\sqrt{12} a^{2}

, 5.

5 a^{2} b

, 6.

- 6 a b

, 7.

10

, 8.

5 a b

+ 0, 12 a b^{2} - 6 a^{2} b^{3}

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$9 a^{3} b^{3}$ , $5 a b$ , $\sqrt{12} a^{2}$ , $3 a^{3} b$ , $5 a^{2} b$ , $- 3 a b^{3}$ , $10$ , $- 6 a b$

a) $4 a b^{2} (- 2 a + 3 b -$ ............ $) = - 8 a^{2} b^{2} + 12 a b^{3} - 20 a^{2} b^{3}$
b) $- 0, 75 a b (- 4 a^{2} + 12 a b^{3} -$ ............ $) =$ ............ $- 9 a^{2} b^{4} + 7, 5 a b$
c) $- \frac{2}{3} a ($ ............ $+ 9 a^{2} b + 12 a b^{2}) = 4 a^{2} b - 6 a^{3} b - 8 a^{2} b^{2}$
d) $\sqrt{3} a b^{2} (2 \sqrt{3} b -$ ............ $+ \sqrt{27} a^{2} b) = 6 a b^{3} - 6 a^{3} b^{2} +$ ............
e) $1, 2 b^{2} (- 2, 5 a b + 0, 1 a -$ ............ $) =$ ............ $+ 0, 12 a b^{2} - 6 a^{2} b^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RaWranlViBMVl

Ćwiczenie 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKGRAqmZxwAdo

Ćwiczenie 21

Połącz w pary wyrażenia, które są sobie równe.

- 4 x y (- 1, 5 x^{2} y + 2, 5 x y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

\sqrt{5} x^{2} (2 \sqrt{5} x y^{2} - \sqrt{20} y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

- \frac{3}{4} x y^{2} (8 x + 4 x y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

1, 2 x^{2} y^{2} (5 x - 10 y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

2 \sqrt[3]{2} x^{2} y (\sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{32} y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}

, 2.

10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{2}

, 3.

6 x^{3} y^{2} - 12 x^{2} y^{3}

, 4.

- 6 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{3}

, 5.

4 x^{3} y - 8 x^{2} y^{3}

Połącz w pary.

$- 4 x y (- 1, 5 x^{2} y + 2, 5 x y^{2})$
$\sqrt{5} x^{2} (2 \sqrt{5} x y^{2} - \sqrt{20} y^{2})$
$- \frac{3}{4} x y^{2} (8 x + 4 x y)$
$1, 2 x^{2} y^{2} (5 x - 10 y)$
$2 \sqrt[3]{2} x^{2} y (\sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{32} y^{2})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Dane są wyrażenia algebraiczne:

$A = - 5 x^{2} y^{2} + 3, 5 x^{2} y - 7 x y^{2} + 9 x y$ ,

$B = 5 x y$ , gdzie $x \neq 0$ i $y \neq 0$ .

Wykonaj działania i przedstaw wyniki w najprostszej postaci.

$A \cdot B$
$\frac{A}{B}$

ReEtLpVFVkfuy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstaw za $A$ i $B$ podane wyrażenia algebraiczne, a następnie wykonaj mnożenie oraz dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian.

Dla $A \cdot B$ mamy:

$A \cdot B =$
$= (- 5 x^{2} y^{2} + 3, 5 x^{2} y - 7 x y^{2} + 9 x y) \cdot 5 x y =$

Mnożymy dwa czynniki.

$= - 5 x^{2} y^{2} \cdot 5 x y + 3, 5 x^{2} y \cdot 5 x y - 7 x y^{2} \cdot 5 x y + 9 x y \cdot 5 x y =$

Mnożymy czynniki będące składnikami sumy.

$= - 25 x^{3} y^{3} + 17, 5 x^{3} y^{2} - 35 x^{2} y^{3} + 45 x^{2} y^{2}$

Dla $\frac{A}{B}$ mamy:

$\frac{A}{B} =$

$= \frac{- 5 x^{2} y^{2} + 3, 5 x^{2} y - 7 x y^{2} + 9 x y}{5 x y} =$

Rozbijamy ułamek na cztery ułamki o prostszej postaci. Od razu zapisujemy znaki poprzedzające każde pojedyncze wyrażenie z licznika przed ułamkiem.

$= - \frac{5 x^{2} y^{2}}{5 x y} + \frac{3, 5 x^{2} y}{5 x y} - \frac{7 x y^{2}}{5 x y} + \frac{9 x y}{5 x y} =$

Skracamy ułamki.

$= - x y + 0, 7 x - 1, 4 y + 1, 8$

Ćwiczenie 23

R1cV2varStFsm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

RnVyAmIVtYmV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 25

R9JU1TrLhvS56

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 26

R1bsXIDkluuBa

Przez pierwsze trzy miesiące roku pan Kowalski zarabiał miesięcznie po

x zł

. W kwietniu, maju i czerwcu jego miesięczna pensja była niższa o

150 zł

od pensji marcowej. W pozostałych sześciu miesiącach pensja miesięczna wynosiła

115 %

pensji miesięcznej z pierwszego kwartału. Jakie było średnie miesięczne wynagrodzenie pana Kowalskiego w ciągu tego roku? Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w lukę odpowiednie z podanych wyrażenie. Odpowiedź: Średnie miesięczne wynagrodzenie pana Kowalskiego wynosi 1.

1, 757 x - 38, 5

, 2.

1, 175 x - 36, 5

, 3.

1, 075 x - 37, 5

, 4.

1, 575 x - 35, 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

6. Mnożenie sum algebraicznych

5. Mnożenie i dzielnie sum algebraicznych przez jednomian

Notatnik