6. Mnożenie sum algebraicznych

R1CvjCqdPtfJL

Strażnikiem wrót prowadzących do pewnej piramidy jest sfinks. Jeśli chcesz wejść do piramidy, musisz rozwiązać zagadkę, którą zada ci sfinks. W przeciwnym razie może zamienić cię w kamień.

Zagadka sfinksa.

Suma dwóch liczb jest równa siedem, a ich różnica jest równa trzynaście. Ile jest równa różnica kwadratów tych liczb?

Czy potrafisz rozwiązać zagadkę sfinksa?

Jeśli nie – zapoznaj się z poniższym materiałem, a znajdziesz tam odpowiedź. Jeśli zagadka została przez Ciebie rozwiązana – również zajrzyj do poniższego materiału, aby rozszerzyć swoje umiejętności.

Bowiem w tym materiale zajmiemy się mnożeniem dwumianów, czy wyrażeń algebraicznych, będących sumą dwóch jednomianów.

Do zrozumienia tematu będzie ci potrzebna wiedza dotycząca jednomianów. Jeśli potrzebujesz dodatkowych informacji na temat działań na jednomianach zajrzyj do materiału Mnożenie i dzielenie sumy algebraicznej przez jednomian.

Prostokąt przedstawiony na rysunku podzielono na mniejsze prostokąty.

RVBiwLmgeGw1Q

Na grafice ukazany jest niebieski prostokąt. Przez prostokąt poprowadzona jest linia pozioma, który dzieli jego wysokość na dwie części. Część dłuższa ma wartość 5, natomiast część krótsza oznaczona jest literą y. Przez prostokąt poprowadzona jest także linia pionowa, która dzieli długość jego boku na dwie części. Część dłuższa oznaczona jest literą x, a część krótsza ma wartość 2. Poprowadzone linie podzieliły prostokąt na cztery mniejsze. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Pole tego prostokąta opisują wyrażenia $(x + 2) (5 + y)$ oraz $5 x + x y + 10 + 2 y$ .

RCVBTXBoEkUc7

Możemy więc zapisać:
$(x + 2) (5 + y) = 5 x + x y + 10 + 2 y$
Zatem wyrażenie zapisane po prawej stronie równości otrzymujmy, mnożąc sumy algebraicznemnożenie sum algebraicznychmnożąc sumy algebraiczne $x + 2$ i $5 + y$ .
Chcąc w inny sposób wykonać to mnożenie, stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.

(x + 2) (5 + y) = x \cdot (5 + y) + 2 \cdot (5 + y) = 5 x + x y + 10 + 2 y

Wykonać mnożenie możemy też w prostszej wersji – mnożąc od razu każdy wyraz pierwszego dwumianu, przez każdy wyraz drugiego dwumianu.

(x + 2) (5 + y) = x \cdot 5 + x \cdot y + 2 \cdot 5 + 2 \cdot y = 5 x + x y + 10 + 2 y

Korzystając z powyższego przykładu, podamy sposób mnożenia sum algebraicznychmnożenie sum algebraicznychmnożenia sum algebraicznych.

Aby pomnożyć dwie sumy algebraiczne, należy każdy wyraz pierwszej sumy pomnożyć przez każdy wyraz drugiej sumy i otrzymane jednomiany dodać.

Przykład 1

Zapiszemy iloczyn $(2 x - 1) (- 5 x + 2)$ w postaci sumy.

Mnożenie	Obliczenia pomocnicze
$(2 x - 1) (- 5 x + 2) =$	$-$
$2 x \cdot (- 5 x) + 2 x \cdot 2 - 1 \cdot (- 5 x) - 1 \cdot 2 =$	$2 x \cdot (- 5 x) = - 10 x^{2}$ $2 x \cdot 2 = 4 x$ $- 1 \cdot (- 5 x) = 5 x$ $- 1 \cdot 2 = - 2$
$- 10 x^{2} + 4 x + 5 x - 2 =$	$4 x + 5 x = 9 x$
$- 10 x^{2} + 9 x - 2$	$-$

Mnożenie sum algebraicznych wykorzystamy do zapisania kwadratu dwumianu w postaci sumy.

Przykład 2

Zapiszemy wyrażenie ${(4 + x)}^{2}$ w postaci sumy.

Aby wykonać potęgowanie, zapisujemy kwadrat danego wyrażenia w postaci iloczynu, a następnie mnożymy.

{(4 + x)}^{2} = (4 + x) (4 + x)

(4 + x) (4 + x) = 4 \cdot 4 + 4 \cdot x + 4 \cdot x + x \cdot x = 16 + 4 x + 4 x + x^{2}

Redukujemy wyrazy podobne.

{(4 + x)}^{2} = 16 + 8 x + x^{2}

Mnożenie dwumianów czasem wykonujemy sposobem pisemnym, podobnie jak mnożymy liczby naturalne.

Przykład 3

Pomnożymy pisemnie $(3 x - 2)$ i $(x + 1)$ .
Krok $1$
Zapisujemy jeden dwumian pod drugim.

R1UUxBOgtZAep

Na grafice ukazana biała kartka z notatnika. Zapisane jest na niej mnożenie pisemne dwumianu 3x‑2 oraz x+1. Dwumiany zapisane są jeden pod drugim. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Krok $2$
Mnożymy pierwszy dwumian przez $1$ .

R1TrrjfGV11SO

Na grafice ukazana biała kartka z notatnika. Zapisane jest na niej mnożenie pisemne dwumianu 3x‑2 oraz x+1. Dwumiany zapisane są jeden pod drugim, a pod nimi jest kreska. Pod kreską zapisano wynik mnożenia dwumianu 3x‑2 przez 1. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Krok $3$
Mnożymy pierwszy dwumian przez $x$ .

RhKcgHNIj2KAJ

Krok $4$
Dodajemy otrzymane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.

RCNVntQuqrpjI

$(3 x - 2) \cdot (x + 1) = 3 x^{2} + x - 2$

Przykład 4

Pomnożymy przez siebie sumy algebraiczne:

(2 x - 3 y) (- x + 5 y) = - 2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 y + 3 y \cdot x - 3 y \cdot 5 y =

= - 2 x^{2} + 10 x y + 3 x y - 15 y^{2} = - 2 x^{2} + 13 x y - 15 y^{2}

Przykład 5

Pomnożymy przez siebie sumy algebraiczne, wykorzystując prawa działań na potęgach o wykładniku naturalnym.

(3 a^{2} b - 5 b) (- 4 a b + 3 b) =

= - 3 a^{2} b \cdot 4 a b + 3 a^{2} b \cdot 3 b + 5 b \cdot 4 a b - 5 b \cdot 3 b =

= - 12 a^{3} b^{2} + 9 a^{2} b^{2} + 20 a b^{2} - 15 b^{2}

Poznane sposoby mnożenia można zastosować do mnożenia wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 6

Zapiszemy w prostszej postaci wyrażenie $W = (\sqrt{2} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{5} + \sqrt{2})$ .

W = \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}

Zauważmy, że: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$ i $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 5}$ .

W = 2 \sqrt{10} + \sqrt{4} + 2 \sqrt{25} - \sqrt{10}

W = 2 \sqrt{10} + 2 + 2 \cdot 5 - \sqrt{10}

Redukujemy wyrazy podobne.

W = 12 + \sqrt{10}

Przykład 7

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości $2 x - 3$ i $1 + 3 x$ , gdzie $x > 1, 5$ . Wysokość tego prostopadłościanu jest równa $4$ . Zapiszemy wzór, który pozwoli na obliczenie objętości tego prostopadłościanu.

Rxp6uswSliD9y1

Prostopadłościan, którego podstawą jest prostokąt o bokach 1+3x oraz 2x‑3. Wysokość prostopadłościanu to 4. Bryła wypełniona jest kolorem niebieskim. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć objętość prostopadłościanu, mnożymy wysokość prostopadłościanu przez pole podstawy tego prostopadłościanu.
$V = 4 (2 x - 3) (1 + 3 x)$

W tym przypadku mnożymy najpierw pierwszą sumę przez $4$ , a następnie tak otrzymane wyrażenie mnożymy przez $1 + 3 x$ .
$V = (8 x - 12) (1 + 3 x)$
$V = 8 x + 8 x \cdot 3 x - 12 - 12 \cdot 3 x$
$V = 8 x + 24 x^{2} - 12 - 36 x$
$V = 24 x^{2} - 28 x - 12$

Zapamiętaj!

Aby pomnożyć przez siebie dwie sumy algebraiczne, mnożymy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy.

Przykład 8

Pomnożymy przez siebie trzy sumy algebraiczne

(2 x + 3 y) (x - 2 y) (- 3 x + y)

W pierwszej kolejności mnożymy przez siebie dwie sumy algebraiczne, a następnie wynik tego działania mnożymy przez trzecią sumę.

(2 x + 3 y) (x - 2 y) (- 3 x + y) =

= (2 x^{2} - 4 x y + 3 x y - 6 y^{2}) (- 3 x + y) =

= (2 x^{2} - x y - 6 y^{2}) (- 3 x + y) =

= - 6 x^{3} + 2 x^{2} y + 3 x^{2} y - x y^{2} + 18 x y^{2} - 6 y^{3} =

= - 6 x^{3} + 5 x^{2} y + 17 x y^{2} - 6 y^{3}

Ilustracja interaktywna

Polecenie 1

Obejrzyj materiał ilustrujący różne sposoby zamiany iloczynu dwumianów na sumę.

RBjmVbz0cgFkz1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z materiałem opisującym sposoby zamiany iloczynu dwumianów na sumę. Różne sposoby mnożenia dwumianów $7 x - 5 y$ i $2 x + 3 y$ .

Sposób pierwszy:

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 7 x (2 x + 3 y) - 5 y (2 x + 3 y)$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 7 x \cdot 2 x + 7 x \cdot 3 y - 5 y \cdot 2 x - 5 y \cdot 3 y$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Drugi sposób:

Korzystamy z interpretacji graficznej.

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$7 x$	$- 5 y$
$2 x$	$7 x \cdot 2 x$	$- 5 y \cdot 2 x$
$3 y$	$7 x \cdot 3 y$	$- 5 y \cdot 3 y$

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$7 x$	$- 5 y$
$2 x$	$14 x^{2}$	$- 10 x y$
$3 y$	$21 x y$	$- 15 y^{2}$

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Trzeci sposób:

Pomnożymy dwumiany pisemnie.

Mnożenie sposobem pisemnym: $7 x - 5 y$ oraz $2 x + 3 y$ .

Pod kreską zapisano: $21 x y - 15 y^{2}$ .

Pod spodem z jednym przesunięciem w lewą stronę zapisano: $14 x^{2} - 10 x y$ .

Pod kreską zapisano wynik: $14 x^{2} - 10 x y + 21 x y - 15 y^{2}$

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Polecenie 2

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $A \cdot B$ , gdy $A = 8 - w a$ i $B = - 2 a w - 3$ .
Skorzystaj z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

R1FlYoA8ib2kb

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

A \cdot B = (8 - w a) (- 2 w a - 3)

A \cdot B = - 16 w a - 24 + 2 w^{2} \cdot a^{2} + 3 w a

A \cdot B = 2 a^{2} w^{2} - 13 a w - 24

Polecenie 3

Wykonaj mnożenie: $(5 - 6 a) (7 a - 1)$ .

Skorzystaj z interpretacji graficznej mnożenia.

R7PDbG1lw3vqV

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R107PtbyO7c6e

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$5$	$- 6 a$
$7 a$	$35 a$	$- 42 a^{2}$
$- 1$	$- 5$	$6 a$

$(5 - 6 a) (7 a - 1) = 35 a - 42 a^{2} - 5 + 6 a = - 42 a^{2} + 41 a - 5$ .

Polecenie 4

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $W = 3 (x + 1) (x - 1) - 3 (x^{2} - 1)$

RJzUBtCmM8Nzx

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$W = 3 (x + 1) (x - 1) - 3 (x^{2} - 1)$ , $W = 3 (x^{2} - x + x - 1) - 3 (x^{2} - 1)$ ,

$W = 3 (x^{2} - 1) - 3 (x^{2} - 1)$ , $W = 0$ .

Ćwiczenie 1

Zaznacz prawidłowe dokończenie zdania. Wyrażenie algebraiczne opisujące pole prostokąta przedstawionego na rysunku to:

R15dDbMz8zs7G

Prostokąt o bokach równych x+2 oraz 2x‑3. Jest w kolorze zielonym. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RuvVr3LYuczuR

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1UoDIvDVOI11

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RHEpAil7MoA4g

Ćwiczenie 3

Połącz w pary - iloczyn i odpowiadającą mu sumę algebraiczną.

(x - 2) (3 - x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(x + 2) (x + 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(- 2 - x) (3 + x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(x - 3) (x - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(2 - x) (3 + x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R9CaGrl8mUi1n

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Rnlto0i86QdWv

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1bJGTLMnNYYd

Trójkąt prostokątny o bokach różnej długości. Przeciwprostokątna ma wartość a, przyprostokątna pozioma ma wartość a‑1, natomiast przyprostokątna pionowa a‑2. Trójkąt jest w kolorze zielonym. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1QdjTaAlElry

Łączenie par. . Aby obliczyć długości boków tego trójkąta, trzeba rozwiązać równanie

2 a^{2} - 6 a + 5 = a^{2}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli każdą przyprostokątną tego trójkąta zwiększymy o

2

, to różnica między polem trójkąta o zwiększonych bokach i polem trójkąta przedstawionego na rysunku jest równa

2 a - 1

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli każdą przyprostokątną tego trójkąta zwiększymy o

2

, to różnica między polem trójkąta o zwiększonych bokach i polem trójkąta przedstawionego na rysunku jest równa

2 a - 1

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, że liczba $K = (2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) + \sqrt{6}$ jest liczbą całkowitą.

R1NyjUS1Eh8FP

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne.
Pamiętaj, że $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ .

K = (2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) + \sqrt{6}

K = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{3} - 2 - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6}

K = 2 \sqrt{6} + 18 - 2 - 2 \sqrt{6} = 16

$16$ – liczba całkowita.

Ćwiczenie 8

Zapisz podane wyrażenie w postaci sumy i zredukuj wyrazy podobne.

(2 a - 3 b) (a + b) - 2 (a^{2} - 2 b^{2})

RkJH52gmtiBo4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

W = (2 a - 3 b) (a + b) - 2 (a^{2} - 2 b^{2})

W = 2 a^{2} + 2 a b - 3 a b - 3 b^{2} - 2 a^{2} + 4 b^{2}

W = b^{2} - a b

Ćwiczenie 9

Pomnóż sumy algebraiczne.

$(- 2 a + 3 b) (8 a - 5 b)$
$(4 x^{2} - 2 y) (- 3 x + 6 y^{2})$
$(5 x y - 3 x + 2 y) (- 3 x + 7 x y)$
$(- 2 a^{3} + 4 b - 3) (2 b^{2} - 5 a + 1)$
$(- 3 x y + 2 x - 3 y) (x - 5 y + 3)$
$(4 a b^{2} - 3 a^{2} + 1) (- 3 a^{2} b + 2 b - 3)$
$(2, 5 x^{2} y - 0, 4 x + 1, 2 y) (- 2 x y^{2} + 3 y - 0, 8 x)$
$(1 \frac{1}{2} a - 2 \frac{2}{3} b) (- 2 a b + \frac{3}{8})$
$(- 1 \frac{3}{4} x y + 4 y) (2 \frac{1}{2} x - 4 x y)$

R1R4vPvlmMQUB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj o kolejności wykonywania działań oraz działaniach na potęgach o wykładniku naturalnym. W razie wątpliwości skorzystaj z przykładu $1$ .

$- 16 a^{2} + 34 a b - 15 b^{2}$
$- 12 x^{3} + 24 x^{2} y^{2} + 6 x y - 12 y^{3}$
$- 36 x^{2} y + 35 x^{2} y^{2} + 9 x^{2} - 6 x y + 14 x y^{2}$
$- 4 a^{3} b^{2} + 10 a^{4} - 2 a^{3} + 8 b^{3} - 20 a b + 4 b - 6 b^{2} + 15 a - 3$
$- 3 x^{2} y + 15 x y^{2} - 22 x y + 2 x^{2} + 6 x + 15 y^{2} - 9 y$
$- 12 a^{3} b^{3} + 8 a b^{3} - 12 a b^{2} + 9 a^{4} b - 9 a^{2} b + 9 a^{2} + 2 b - 3$
$- 5 x^{3} y^{3} + 8, 3 x^{2} y^{2} - 2 x^{3} y - 2, 16 x y + 0, 32 x^{2} - 2, 4 x y^{3} + 3, 6 y^{2}$
$- 3 a^{2} b + \frac{9}{16} a + 5 \frac{1}{3} a b^{2} - b$
$- 4 \frac{3}{8} x^{2} y + 7 x^{2} y^{2} + 10 x y - 16 x y^{2}$

Ćwiczenie 10

R1GwUqfzEBwNv

Zapisz iloczyn w postaci sumy. Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

(\sqrt{7} - \sqrt{2}) (- 2 \sqrt{7} + 3 \sqrt{2}) =

\sqrt{6} - 5 \sqrt{2}

, 2.

- \sqrt{3} + 10 \sqrt{5}

, 3.

2 \sqrt{4} - 16 - 2 \sqrt{4} + 12 \sqrt{8}

, 4.

3 \sqrt{2} - 18 - 2 \sqrt{6} + 12 \sqrt{3}

, 5.

50 \sqrt{4} - 31 \sqrt{5}

, 6.

3 + 5 \sqrt{5}

, 7.

- 25 \sqrt{2} + 47 \sqrt{3}

, 8.

6 + 5 \sqrt{2}

, 9.

3 \sqrt{5} + 12 - 2 \sqrt{5} - 7 \sqrt{3}

, 10.

- 20 + 5 \sqrt{14}

, 11.

- 10 - 5 \sqrt{8}

, 12.

- 50 \sqrt{2} + 41 \sqrt{3}

, 13.

- \sqrt{3} - 5 \sqrt{10}

, 14.

3 - 2 \sqrt{5}

, 15.

25 + 5 \sqrt{12}

(\sqrt{5} + 2 \sqrt{6}) (- \sqrt{15} + \sqrt{2}) =

\sqrt{6} - 5 \sqrt{2}

, 2.

- \sqrt{3} + 10 \sqrt{5}

, 3.

2 \sqrt{4} - 16 - 2 \sqrt{4} + 12 \sqrt{8}

, 4.

3 \sqrt{2} - 18 - 2 \sqrt{6} + 12 \sqrt{3}

, 5.

50 \sqrt{4} - 31 \sqrt{5}

, 6.

3 + 5 \sqrt{5}

, 7.

- 25 \sqrt{2} + 47 \sqrt{3}

, 8.

6 + 5 \sqrt{2}

, 9.

3 \sqrt{5} + 12 - 2 \sqrt{5} - 7 \sqrt{3}

, 10.

- 20 + 5 \sqrt{14}

, 11.

- 10 - 5 \sqrt{8}

, 12.

- 50 \sqrt{2} + 41 \sqrt{3}

, 13.

- \sqrt{3} - 5 \sqrt{10}

, 14.

3 - 2 \sqrt{5}

, 15.

25 + 5 \sqrt{12}

(\sqrt{5} + 3) (3 \sqrt{5} - 4) =

\sqrt{6} - 5 \sqrt{2}

, 2.

- \sqrt{3} + 10 \sqrt{5}

, 3.

2 \sqrt{4} - 16 - 2 \sqrt{4} + 12 \sqrt{8}

, 4.

3 \sqrt{2} - 18 - 2 \sqrt{6} + 12 \sqrt{3}

, 5.

50 \sqrt{4} - 31 \sqrt{5}

, 6.

3 + 5 \sqrt{5}

, 7.

- 25 \sqrt{2} + 47 \sqrt{3}

, 8.

6 + 5 \sqrt{2}

, 9.

3 \sqrt{5} + 12 - 2 \sqrt{5} - 7 \sqrt{3}

, 10.

- 20 + 5 \sqrt{14}

, 11.

- 10 - 5 \sqrt{8}

, 12.

- 50 \sqrt{2} + 41 \sqrt{3}

, 13.

- \sqrt{3} - 5 \sqrt{10}

, 14.

3 - 2 \sqrt{5}

, 15.

25 + 5 \sqrt{12}

(\sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{6}) =

\sqrt{6} - 5 \sqrt{2}

, 2.

- \sqrt{3} + 10 \sqrt{5}

, 3.

2 \sqrt{4} - 16 - 2 \sqrt{4} + 12 \sqrt{8}

, 4.

3 \sqrt{2} - 18 - 2 \sqrt{6} + 12 \sqrt{3}

, 5.

50 \sqrt{4} - 31 \sqrt{5}

, 6.

3 + 5 \sqrt{5}

, 7.

- 25 \sqrt{2} + 47 \sqrt{3}

, 8.

6 + 5 \sqrt{2}

, 9.

3 \sqrt{5} + 12 - 2 \sqrt{5} - 7 \sqrt{3}

, 10.

- 20 + 5 \sqrt{14}

, 11.

- 10 - 5 \sqrt{8}

, 12.

- 50 \sqrt{2} + 41 \sqrt{3}

, 13.

- \sqrt{3} - 5 \sqrt{10}

, 14.

3 - 2 \sqrt{5}

, 15.

25 + 5 \sqrt{12}

(- 5 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}) (2 \sqrt{6} - 5) =

\sqrt{6} - 5 \sqrt{2}

, 2.

- \sqrt{3} + 10 \sqrt{5}

, 3.

2 \sqrt{4} - 16 - 2 \sqrt{4} + 12 \sqrt{8}

, 4.

3 \sqrt{2} - 18 - 2 \sqrt{6} + 12 \sqrt{3}

, 5.

50 \sqrt{4} - 31 \sqrt{5}

, 6.

3 + 5 \sqrt{5}

, 7.

- 25 \sqrt{2} + 47 \sqrt{3}

, 8.

6 + 5 \sqrt{2}

, 9.

3 \sqrt{5} + 12 - 2 \sqrt{5} - 7 \sqrt{3}

, 10.

- 20 + 5 \sqrt{14}

, 11.

- 10 - 5 \sqrt{8}

, 12.

- 50 \sqrt{2} + 41 \sqrt{3}

, 13.

- \sqrt{3} - 5 \sqrt{10}

, 14.

3 - 2 \sqrt{5}

, 15.

25 + 5 \sqrt{12}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGXn8hJlemUKb

Ćwiczenie 11

Połącz w pary.

(- 3 x y^{2} + 4 x) (4 x y - 2 y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 6 x^{2} + 22 x y - 12 y^{2}

, 2.

- 6 x^{2} y + 12 x^{2} + 15 x y^{2} - 30 x y

, 3.

- 5 x^{2} y^{2} + 20 x^{3} y^{2} + 8 x y^{3} - 32 x^{2} y^{3}

, 4.

- 11 x^{2} y^{2} + 12 x^{3} y + 2, 5 x y^{3}

, 5.

- 12 x^{2} y^{3} + 6 x y^{3} + 16 x^{2} y - 8 x y

(\sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y) (- \sqrt{18} x + \sqrt{8} y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 6 x^{2} + 22 x y - 12 y^{2}

, 2.

- 6 x^{2} y + 12 x^{2} + 15 x y^{2} - 30 x y

, 3.

- 5 x^{2} y^{2} + 20 x^{3} y^{2} + 8 x y^{3} - 32 x^{2} y^{3}

, 4.

- 11 x^{2} y^{2} + 12 x^{3} y + 2, 5 x y^{3}

, 5.

- 12 x^{2} y^{3} + 6 x y^{3} + 16 x^{2} y - 8 x y

(1, 2 x y - 0, 5 y^{2}) (- 5 x y + 10 x^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 6 x^{2} + 22 x y - 12 y^{2}

, 2.

- 6 x^{2} y + 12 x^{2} + 15 x y^{2} - 30 x y

, 3.

- 5 x^{2} y^{2} + 20 x^{3} y^{2} + 8 x y^{3} - 32 x^{2} y^{3}

, 4.

- 11 x^{2} y^{2} + 12 x^{3} y + 2, 5 x y^{3}

, 5.

- 12 x^{2} y^{3} + 6 x y^{3} + 16 x^{2} y - 8 x y

(1 \frac{1}{2} x - 3 \frac{3}{4} y) (- 4 x y + 8 x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 6 x^{2} + 22 x y - 12 y^{2}

, 2.

- 6 x^{2} y + 12 x^{2} + 15 x y^{2} - 30 x y

, 3.

- 5 x^{2} y^{2} + 20 x^{3} y^{2} + 8 x y^{3} - 32 x^{2} y^{3}

, 4.

- 11 x^{2} y^{2} + 12 x^{3} y + 2, 5 x y^{3}

, 5.

- 12 x^{2} y^{3} + 6 x y^{3} + 16 x^{2} y - 8 x y

(2, 5 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3}) (- 2 + 8 x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 6 x^{2} + 22 x y - 12 y^{2}

, 2.

- 6 x^{2} y + 12 x^{2} + 15 x y^{2} - 30 x y

, 3.

- 5 x^{2} y^{2} + 20 x^{3} y^{2} + 8 x y^{3} - 32 x^{2} y^{3}

, 4.

- 11 x^{2} y^{2} + 12 x^{3} y + 2, 5 x y^{3}

, 5.

- 12 x^{2} y^{3} + 6 x y^{3} + 16 x^{2} y - 8 x y

Połącz w pary.

$(- 3 x y^{2} + 4 x) (4 x y - 2 y)$
$(\sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y) (- \sqrt{18} x + \sqrt{8} y)$
$(1, 2 x y - 0, 5 y^{2}) (- 5 x y + 10 x^{2})$
$(1 \frac{1}{2} x - 3 \frac{3}{4} y) (- 4 x y + 8 x)$
$(2, 5 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3}) (- 2 + 8 x)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBGamU44ZxEng

Ćwiczenie 12

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi jednomianami. Kliknij w lukę aby wyświetlić listę rozwijalną i wybierz właściwą odpowiedź.

(2 a b - 3 b^{2}) (- 2, 5 a + 5 b^{2}) =

5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}

, 2.

- 16, 5 x y^{2}

, 3.

- 3 x y^{2}

, 4.

a^{2} b

, 5.

- 2 x

, 6.

3 b

, 7.

- 5 a^{2} b

, 8.

2 x

, 9.

4 x^{2} y^{3}

, 10.

7 x y^{2}

, 11.

3 b^{2}

+ 10 a b^{3} + 7, 5 a b^{2} - 15 b^{4}

(- 4 x y + 5 x) (2 x^{2} y - x y^{2}) = - 8 x^{3} y^{2} +

5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}

, 2.

- 16, 5 x y^{2}

, 3.

- 3 x y^{2}

, 4.

a^{2} b

, 5.

- 2 x

, 6.

3 b

, 7.

- 5 a^{2} b

, 8.

2 x

, 9.

4 x^{2} y^{3}

, 10.

7 x y^{2}

, 11.

3 b^{2}

+ 10 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2}

(1, 5 a^{3} b - 2, 2 a b^{2}) (- 4 a + 3, 5 a b) = - 6 a^{4} b +

5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}

, 2.

- 16, 5 x y^{2}

, 3.

- 3 x y^{2}

, 4.

a^{2} b

, 5.

- 2 x

, 6.

3 b

, 7.

- 5 a^{2} b

, 8.

2 x

, 9.

4 x^{2} y^{3}

, 10.

7 x y^{2}

, 11.

3 b^{2}

+ 8, 8 a^{2} b^{2} - 7, 7 a^{2} b^{3}

(1 \frac{1}{2} x - 4, 5 y^{2}) (- 2 y^{2} + 3 x) =

5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}

, 2.

- 16, 5 x y^{2}

, 3.

- 3 x y^{2}

, 4.

a^{2} b

, 5.

- 2 x

, 6.

3 b

, 7.

- 5 a^{2} b

, 8.

2 x

, 9.

4 x^{2} y^{3}

, 10.

7 x y^{2}

, 11.

3 b^{2}

+ 4, 5 x^{2} + 9 y^{4} - 13, 5 x y^{2} =

=

5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}

, 2.

- 16, 5 x y^{2}

, 3.

- 3 x y^{2}

, 4.

a^{2} b

, 5.

- 2 x

, 6.

3 b

, 7.

- 5 a^{2} b

, 8.

2 x

, 9.

4 x^{2} y^{3}

, 10.

7 x y^{2}

, 11.

3 b^{2}

+ 4, 5 x^{2} + 9 y^{4}

(5, 5 x y - 1, 2 y) (

5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}

, 2.

- 16, 5 x y^{2}

, 3.

- 3 x y^{2}

, 4.

a^{2} b

, 5.

- 2 x

, 6.

3 b

, 7.

- 5 a^{2} b

, 8.

2 x

, 9.

4 x^{2} y^{3}

, 10.

7 x y^{2}

, 11.

3 b^{2}

+ 10 y) = - 11 x^{2} y + 55 x y^{2} + 2, 4 x y - 12 y^{2}

(4 a^{2} b^{2} +

5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}

, 2.

- 16, 5 x y^{2}

, 3.

- 3 x y^{2}

, 4.

a^{2} b

, 5.

- 2 x

, 6.

3 b

, 7.

- 5 a^{2} b

, 8.

2 x

, 9.

4 x^{2} y^{3}

, 10.

7 x y^{2}

, 11.

3 b^{2}

) (- 2 a b + 5 a) = - 8 a^{3} b^{3} + 20 a^{3} b^{2} - 6 a b^{3} + 15 a b^{2}

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}$ , $- 2 x$ , $- 3 x y^{2}$ , $4 x^{2} y^{3}$ , $3 b^{2}$ , $3 b$ , $- 5 a^{2} b$ , $- 16, 5 x y^{2}$

a) $(2 a b - 3 b^{2}) (- 2, 5 a + 5 b^{2}) =$ ................ $+ 10 a b^{3} + 7, 5 a b^{2} - 15 b^{4}$
b) $(- 4 x y + 5 x) (2 x^{2} y - x y^{2}) = - 8 x^{3} y^{2} +$ ................ $+ 10 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2}$
c) $(1, 5 a^{3} b - 2, 2 a b^{2}) (- 4 a + 3, 5 a b) = - 6 a^{4} b +$ ................ $+ 8, 8 a^{2} b^{2} - 7, 7 a^{2} b^{3}$
d) $(1 \frac{1}{2} x - 4, 5 y^{2}) (- 2 y^{2} + 3 x) =$ ................ $+ 4, 5 x^{2} + 9 y^{4} - 13, 5 x y^{2} =$ ................ $+ 4, 5 x^{2} + 9 y^{4}$
e) $(5, 5 x y - 1, 2 y) ($ ................ $+ 10 y) = - 11 x^{2} y + 55 x y^{2} + 2, 4 x y - 12 y^{2}$
f) $(4 a^{2} b^{2} +$ ................ $) (- 2 a b + 5 a) = - 8 a^{3} b^{3} + 20 a^{3} b^{2} - 6 a b^{3} + 15 a b^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

REAeXSV63LyAY

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi wyrażeniami. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź.

(2 a - 3) (a + 1) (- 3 a + 4)

=

- 10 x^{3} + 33 x^{2} - 5 x - 12

, 2.

12 a b^{2} - 9 b^{3} + 4 a^{3} + 6 a^{3} b

, 3.

- 46 x^{2} y - 40 x y^{2} + 20 x^{3} - 6 y^{3}

, 4.

9 a b^{2} - 9 b^{3} - 4 a^{3} + 4 a^{2} b

, 5.

- 6 a^{2} - 11 a^{2} + 5 a + 10

, 6.

15 x^{3} + 33 x^{3} + 25 x - 12

, 7.

6 a^{3} + 11 a^{3} - 5 a - 14

, 8.

- 5 x^{2} - 33 x^{3} - 10 x + 12

, 9.

- 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a - 12

, 10.

18 a b^{3} + 9 b^{2} - 4 a^{2} - 2 a^{3} b

, 11.

- 44 x^{2} y + 40 x y^{3} + 20 x^{3} + 6 y^{2}

, 12.

48 x^{3} y - 40 x y^{3} - 20 x^{2} - 6 y^{2}

(4 x + 2 y) (- 5 x - y) (3 y - x)

=

- 10 x^{3} + 33 x^{2} - 5 x - 12

, 2.

12 a b^{2} - 9 b^{3} + 4 a^{3} + 6 a^{3} b

, 3.

- 46 x^{2} y - 40 x y^{2} + 20 x^{3} - 6 y^{3}

, 4.

9 a b^{2} - 9 b^{3} - 4 a^{3} + 4 a^{2} b

, 5.

- 6 a^{2} - 11 a^{2} + 5 a + 10

, 6.

15 x^{3} + 33 x^{3} + 25 x - 12

, 7.

6 a^{3} + 11 a^{3} - 5 a - 14

, 8.

- 5 x^{2} - 33 x^{3} - 10 x + 12

, 9.

- 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a - 12

, 10.

18 a b^{3} + 9 b^{2} - 4 a^{2} - 2 a^{3} b

, 11.

- 44 x^{2} y + 40 x y^{3} + 20 x^{3} + 6 y^{2}

, 12.

48 x^{3} y - 40 x y^{3} - 20 x^{2} - 6 y^{2}

(2 a + 3 b) (3 b - 2 a) (a - b)

=

- 10 x^{3} + 33 x^{2} - 5 x - 12

, 2.

12 a b^{2} - 9 b^{3} + 4 a^{3} + 6 a^{3} b

, 3.

- 46 x^{2} y - 40 x y^{2} + 20 x^{3} - 6 y^{3}

, 4.

9 a b^{2} - 9 b^{3} - 4 a^{3} + 4 a^{2} b

, 5.

- 6 a^{2} - 11 a^{2} + 5 a + 10

, 6.

15 x^{3} + 33 x^{3} + 25 x - 12

, 7.

6 a^{3} + 11 a^{3} - 5 a - 14

, 8.

- 5 x^{2} - 33 x^{3} - 10 x + 12

, 9.

- 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a - 12

, 10.

18 a b^{3} + 9 b^{2} - 4 a^{2} - 2 a^{3} b

, 11.

- 44 x^{2} y + 40 x y^{3} + 20 x^{3} + 6 y^{2}

, 12.

48 x^{3} y - 40 x y^{3} - 20 x^{2} - 6 y^{2}

(5 x - 4) (- x + 3) (2 x + 1)

=

- 10 x^{3} + 33 x^{2} - 5 x - 12

, 2.

12 a b^{2} - 9 b^{3} + 4 a^{3} + 6 a^{3} b

, 3.

- 46 x^{2} y - 40 x y^{2} + 20 x^{3} - 6 y^{3}

, 4.

9 a b^{2} - 9 b^{3} - 4 a^{3} + 4 a^{2} b

, 5.

- 6 a^{2} - 11 a^{2} + 5 a + 10

, 6.

15 x^{3} + 33 x^{3} + 25 x - 12

, 7.

6 a^{3} + 11 a^{3} - 5 a - 14

, 8.

- 5 x^{2} - 33 x^{3} - 10 x + 12

, 9.

- 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a - 12

, 10.

18 a b^{3} + 9 b^{2} - 4 a^{2} - 2 a^{3} b

, 11.

- 44 x^{2} y + 40 x y^{3} + 20 x^{3} + 6 y^{2}

, 12.

48 x^{3} y - 40 x y^{3} - 20 x^{2} - 6 y^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1012djMrjzxQ

Ćwiczenie 14

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi jednomianami. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź.

(- 5 y + 1) (2 y - 3) (y + 2) = - 10 y^{3} -

7

, 2.

20 a^{2} b

, 3.

5 x y

, 4.

23 x y

, 5.

33 x y

, 6.

28 a^{2} b

, 7.

3

, 8.

28 x y

y^{2} + 31 y - 6

(3 x + 2 y) (- x - 3 y) (x - 3) = - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 11 x^{2} y +

7

, 2.

20 a^{2} b

, 3.

5 x y

, 4.

23 x y

, 5.

33 x y

, 6.

28 a^{2} b

, 7.

3

, 8.

28 x y

- 6 x y^{2} + 18 y^{2}

(- 2 a + 4 b) (a - b) (4 a - 2 b) = - 8 a^{3} +

7

, 2.

20 a^{2} b

, 3.

5 x y

, 4.

23 x y

, 5.

33 x y

, 6.

28 a^{2} b

, 7.

3

, 8.

28 x y

- 28 a b^{2} + 8 b^{3}

(7 x - 3) (3 y + 2) (x - y) = 21 x^{2} y - 21 x y^{2} + 14 x^{2} -

7

, 2.

20 a^{2} b

, 3.

5 x y

, 4.

23 x y

, 5.

33 x y

, 6.

28 a^{2} b

, 7.

3

, 8.

28 x y

+ 9 y^{2} - 6 x + 6 y

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$28 a^{2} b$ , $20 a^{2} b$ , $3$ , $5 x y$ , $33 x y$ , $7$ , $23 x y$

a) $(- 5 y + 1) (2 y - 3) (y + 2) = - 10 y^{3} -$ ............ $y^{2} + 31 y - 6$
b) $(3 x + 2 y) (- x - 3 y) (x - 3) = - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 11 x^{2} y +$ ............ $- 6 x y^{2} + 18 y^{2}$
c) $(- 2 a + 4 b) (a - b) (4 a - 2 b) = - 8 a^{3} +$ ............ $- 28 a b^{2} + 8 b^{3}$
d) $(7 x - 3) (3 y + 2) (x - y) = 21 x^{2} y - 21 x y^{2} + 14 x^{2} -$ ............ $+ 9 y^{2} - 6 x + 6 y$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvIBwabeGMGSW

Ćwiczenie 15

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$
$x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 1$
$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjTpqod8EDi8D

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

R7kbK4VeMsdGJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego pole poniższego trapezu.

R1SiftV3oAar41

Rysunek przedstawia trapez, którego podstawa górna ma długość a-3b, podstawa dolna 2a+1, a wysokość wynosi a-1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FRH6nIcGLEQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Jakie wyrażenie algebraiczne opisuje pole wielokąta przedstawionego na rysunku poniżej?

R3s9CRpDZpkdW1

Rysunek przedstawia wielokąt będący prostokątem, który ma wycięty mały prostokąt przy dolnym prawym wierzchołku. Lewy pionowy bok figury ma długość siedem razy igrek. Górny poziomy bok figury ma długość y+1. Następnie prawy pionowy bok figury ma długość y-2, następnie mamy poziome wcięcie i dalej pionowy bok. Oba nie mają opisanej długości. Następnym bokiem jest poziomy dolny bok o długości igrek. Lewy pionowy bok ma długość równą sumie dwóch krótszych pionowych prawych boków. Górny bok ma długość równą długości dwóch krótszych dolnych boków. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwxD12d2BInPx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

RsDCgwMhZKoxL

W poniedziałek w księgarni sprzedano

x

książek, z których każda kosztowała

y

złotych. Następnego dnia cenę książki obniżono o

5 zł

i wtedy sprzedano o

20

książek więcej niż pierwszego dnia. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego, ile pieniędzy uzyskała księgarnia ze sprzedaży książek w ciągu dwóch dni. Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w lukę odpowiednie z podanych wyrażenie algebraiczne. Odpowiedź: Księgarnia uzyskała 1.

2 x y + 30 y + 5 x - 100

, 2.

2 x y + 20 y - 5 x - 100

, 3.

8 x y - 25 y - 15 x - 110

, 4.

4 x y + 10 y - 10 x + 90

pieniędzy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

RRhKCuBRXot9i

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Prostokątny obraz umieszczono w ramie. Obraz wraz z ramą ma długość $3 x + 20 cm$ i szerokość $2 x + 15 cm$ . Jakie jest pole powierzchni obrazu, jeżeli szerokość ramy wynosi $18 cm$ ?

Uzupełnij poniższe zdanie odpowiednim wyrażeniem algebraicznym. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

RoiJrBvBvvpfr1

Rysunek obrazu w ramie. Obraz zawieszony jest na ścianie, widnieją na nim ośnieżone szczyty gór. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdRttkGvy10hl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

RkfQiAI381xap

Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka wynoszą

2 x

3 y

z

. Jaką objętość będzie miał prostopadłościan, którego każda z krawędzi ma długość o

1

większą? Uzupełnij poniższe zdanie odpowiednim wyrażeniem algebraicznym. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź. Odpowiedź: Objętość prostopadłościanu wynosi 1.

3 x y z + 6 x y - 8 x z - 8 x + 9 y z + 3 y + z + 1

, 2.

6 x y z + 6 x y + 2 x z + 2 x + 3 y z + 3 y + z + 1

, 3.

9 x y z + 6 x y + 4 x z + 2 x + 3 y z + 6 y - z - 1

, 4.

12 x y z + 6 x y - 2 x z + 4 x + 6 y z + 3 y + z - 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

RCpDERGK6Ccjr

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego. Uzupełnij poniższe zdania, przeciągając w luki odpowiednie z podanych wyrażeń. Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których największa jest równa

n

to 1.

6 n^{3} + 10 n^{2} + 4

, 2.

8 n^{3} + 24 n^{2} + 16 n

, 3.

4 n^{2} + 8 n^{2} + 3

, 4.

n^{3} - 9 n^{2} + 4 n

, 5.

8 n^{4} + 6 n^{2} + 5

, 6.

6 n^{4} - 26 n^{2} + 14 n

, 7.

n^{3} - 3 n^{2} + 2 n

, 8.

n^{4} - 6 n^{3} + 3 n

, 9.

12 n^{6} + 21 n^{2} - 12 n

.
Iloczyn dwóch kolejnych liczb nieparzystych, z których mniejsza jest równa

2 n + 1

to 1.

6 n^{3} + 10 n^{2} + 4

, 2.

8 n^{3} + 24 n^{2} + 16 n

, 3.

4 n^{2} + 8 n^{2} + 3

, 4.

n^{3} - 9 n^{2} + 4 n

, 5.

8 n^{4} + 6 n^{2} + 5

, 6.

6 n^{4} - 26 n^{2} + 14 n

, 7.

n^{3} - 3 n^{2} + 2 n

, 8.

n^{4} - 6 n^{3} + 3 n

, 9.

12 n^{6} + 21 n^{2} - 12 n

.
Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych, z których najmniejsza jest równa

2 n

to 1.

6 n^{3} + 10 n^{2} + 4

, 2.

8 n^{3} + 24 n^{2} + 16 n

, 3.

4 n^{2} + 8 n^{2} + 3

, 4.

n^{3} - 9 n^{2} + 4 n

, 5.

8 n^{4} + 6 n^{2} + 5

, 6.

6 n^{4} - 26 n^{2} + 14 n

, 7.

n^{3} - 3 n^{2} + 2 n

, 8.

n^{4} - 6 n^{3} + 3 n

, 9.

12 n^{6} + 21 n^{2} - 12 n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 25

Piaskownica jest prostokątem o długości $2 a$ metrów $b$ centymetrów i szerokości $3 b$ metrów $a$ centymetrów. Ile metrów kwadratowych ma pole powierzchni piaskownicy? Uzupełnij poniższe zdanie odpowiednim wyrażeniem algebraicznym. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź.

R1NitU1zCsJ1K1

Ilustracja piaskownicy z rozrzuconymi w środku zabawkami. Piaskownica zrobiona jest z drewnianych desek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10J6dn92m1j0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Słownik

mnożenie sum algebraicznych

Aby pomnożyć dwie sumy algebraiczne, należy każdy wyraz pierwszej sumy pomnożyć przez każdy wyraz drugiej sumy i otrzymane jednomiany dodać.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

5. Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomian

7. Dowody algebraiczne