3. Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń

R1TlsySrWzt59

Czy wiesz, że w ruletkę grali już starożytni Grecy? Nowoczesną ruletkę wymyślił w $1645$ r. nie kto inny jak matematyk – Blaise Pascal. Ruletka zwana jest też szatańską grą, bo suma wszystkich liczb w ruletce daje $666$ .

Badania nad możliwością wygranych w grach hazardowych, prowadzone miedzy innymi przez Pascala, przyczyniły się do powstania dziedziny matematyki, którą dzisiaj nazywamy rachunkiem prawdopodobieństwa.

R1PBEw7twIqqr

Zdjęcie przedstawia fragment koła ruletki. — Koło ruletki europejskiej
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY 2.0.

W $1842$ r. francuski polityk i historyk Louis Blac wraz z bratem Francisem dołożyli $0$ do ruletki, aby zwiększyć szanse wygrania kasyna. Założyli też pierwsze kasyno w Monako.

W ruletce, inaczej niż w innych grach hazardowych, dość łatwo obliczyć szansę trafienia konkretnego numeru.

Więc warto zgłębić tajniki rachunku prawdopodobieństwa, a w szczególności sposób określania liczby zdarzeń elementarnych oraz liczby zdarzeń sprzyjających dla danego doświadczenia losowego. Bo może i Ty kiedyś pojedziesz do Monako ...

Na początku przypomnijmy definicję doświadczenia losowego.

doświadczenie losowe

Definicja: doświadczenie losowe

Zjawisko losowe, które można powtarzać wiele razy w tych samych warunkach, ale jego kolejnych wyników nie potrafimy przewidzieć nazywamy doświadczeniem losowym.

Doświadczeniami losowymidoświadczenie losoweDoświadczeniami losowymi mogą być np. rzut kostką do gry, rzut monetą, losowanie kart z talii. Z pojęciem tym związane jest zdarzenie elementarne, którego nie definiuje się (jest to tzw. pojęcie pierwotne w teorii prawdopodobieństwa).
Po przeprowadzeniu doświadczenia losowego możemy wyznaczyć częstość występowania poszczególnych wyników. W taki sposób obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia.

prawdopodobieństwo zdarzenia

Definicja: prawdopodobieństwo zdarzenia

Prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy szansę na wystąpienie danego zdarzenia.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:
$n$ – liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu,
$N$ – liczba wszystkich zdarzeń elementarnych,
$p$ – prawdopodobieństwo zdarzenia.

Wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia obliczamy ze wzoru:

p = \frac{n}{N}

R1bi00i8I3FGz

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 1

Rzucamy dwukrotnie symetryczną czworościenną kostką do gry. Obliczymy, jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej $6$ .

Rozwiązanie:
Przedstawmy w tabeli zbiór wszystkich wyników omawianego doświadczenia losowego:

$\text{II}\downarrow\$ $∖$ $\ \ \text{I}\rightarrow$	$1$	$2$	$3$	$4$
$1$	$\left( 1, \ 1\right)$	$\left( 2, \ 1\right)$	$\left( 3, \ 1\right)$	$\left( 4, \ 1\right)$
$2$	$\left( 1, \ 2\right)$	$\left( 2, \ 2\right)$	$\left( 3, \ 2\right)$	$\left( 4, \ 2\right)$
$3$	$\left( 1, \ 3\right)$	$\left( 2, \ 3\right)$	$\left( 3, \ 3\right)$	$\left( 4, \ 3\right)$
$4$	$\left( 1, \ 4\right)$	$\left( 2, \ 4\right)$	$\left( 3, \ 4\right)$	$\left( 4, \ 4\right)$

Zauważmy, że liczba wszystkich wyników doświadczenia losowego jest równa $16$ .
Wypisujemy zdarzenia sprzyjające temu, że suma wyrzuconych oczek jest równa co najmniej $6$ : $(2, 4)$ , $(3, 3)$ , $(3, 4)$ , $(4, 2)$ , $(4, 3)$ , $(4, 4)$ .
Wobec tego:
$n = 6$
$N = 16$

Prawdopodobieństwo omawianego zdarzenia jest równe:
$p = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ .

Przykład 2

Rzucamy jeden raz symetryczną czworościenną kostką do gry, a następnie jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia:

suma oczek wyrzuconych na obu kostkach jest podzielna przez $4$ ,
iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez $5$ ,
iloraz liczby oczek na drugiej kostce przez liczbę oczek otrzymanych na pierwszej kostce jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie:
Przedstawmy w tabeli zbiór możliwych rozwiązań doświadczenia losowego:

Liczba	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$\left( 1, \ 1\right)$	$\left( 1, \ 2\right)$	$\left( 1, \ 3\right)$	$\left( 1, \ 4\right)$	$\left( 1, \ 5\right)$	$\left( 1, \ 6\right)$
$2$	$\left( 2, \ 1\right)$	$\left( 2, \ 2\right)$	$\left( 2, \ 3\right)$	$\left( 2, \ 4\right)$	$\left( 2, \ 5\right)$	$\left( 2, \ 6\right)$
$3$	$\left( 3, \ 1\right)$	$\left( 3, \ 2\right)$	$\left( 3, \ 3\right)$	$\left( 3, \ 4\right)$	$\left( 3, \ 5\right)$	$\left( 3, \ 6\right)$
$4$	$\left( 4, \ 1\right)$	$\left( 4, \ 2\right)$	$\left( 4, \ 3\right)$	$\left( 4, \ 4\right)$	$\left( 4, \ 5\right)$	$\left( 4, \ 6\right)$

Zauważmy, że liczba wszystkich możliwych zdarzeń w tym doświadczeniu losowym wynosi $4 \cdot 6 = 24$ .

Pary liczb, których suma jest podzielna przez $4$ : $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(2, 6)$ , $(3, 1)$ , $(3, 5)$ , $(4, 4)$ .
Wobec tego:
$N = 24$
$n = 6$
$p = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ ,
Pary liczb, których iloczyn jest podzielny przez $5$ : $(1, 5)$ , $(2, 5)$ , $(3, 5)$ , $(4, 5)$ .
Wobec tego:
$N = 24$
$n = 4$
$p = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ ,
Pary liczb, których iloraz drugiej liczby przez pierwszą jest liczbą naturalną: $(1, 1)$ , $(1, 2)$ , $(2, 2)$ , $(1, 3)$ , $(3, 3)$ , $(1, 4)$ , $(2, 4)$ , $(4, 4)$ , $(1, 5)$ , $(1, 6)$ , $(2, 6)$ , $(3, 6)$ .
Wobec tego:
$N = 24$
$n = 12$
$p = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ .

Przykład 3

W pojemniku znajdują się $3$ losy wygrywające i $5$ przegrywających. Losujemy dwa razy ze zwracaniem po jednym losie. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia:

wylosowano najpierw los przegrywający, a następnie los wygrywający,
wylosowano co najmniej jeden los wygrywający.

R1BtrBit3xoVC

Ilustracja — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Schemat. W poniższym schemacie przedstawiono drzewko stochastyczne ilustrujące możliwości wylosowania losu wygrywającego i wylosowania losu przegrywającego w dwóch kolejnych losowaniach ze zwracaniem. Literą W oznaczono sytuację, w której wylosowano los wygrywający, natomiast literą P oznaczono sytuację, w której wylosowano los wygrywający. Lista elementów:

Nazwa kategorii: START
Elementy należące do kategorii START
- Nazwa kategorii: W ( $I$ losowanie)
  Elementy należące do kategorii W ( $I$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: W ( $II$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: P ( $II$ losowanie)
- Nazwa kategorii: P ( $I$ losowanie)
  Elementy należące do kategorii P ( $I$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: W ( $II$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: P ( $II$ losowanie)

Zatem liczba wszystkich wyników tego doświadczenia losowego jest równa:
$N = 8 \cdot 8 = 64$ . Wówczas:

$n = 5 \cdot 3 = 15$
$p = \frac{15}{64}$ ,
$n = 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 39$
$p = \frac{39}{64}$ .

Przykład 4

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną monetą. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu liczby orłów mniejszej niż liczby reszek.

Rozwiązanie:
Narysujmy drzewo doświadczenia losowego.

R1JOy7pjZbcb2

Schemat. W poniższym schemacie przedstawiono drzewko stochastyczne ilustrujące możliwości wyrzucenia orła i reszki w trzech kolejnych rzutach. Literą O oznaczono sytuację, w której wyrzucono orła, natomiast literą R oznaczono sytuację, w której wyrzucono reszkę.. Lista elementów: Nazwa kategorii: STARTElementy należące do kategorii STARTNazwa kategorii: O (

I

rzut)Elementy należące do kategorii O (

I

rzut)Nazwa kategorii: O (II rzut)Elementy należące do kategorii O (II rzut)Nazwa kategorii: O (III rzut)Nazwa kategorii: R (III rzut)Koniec elementów należących do kategorii O (II rzut)Nazwa kategorii: R (II rzut)Elementy należące do kategorii R (II rzut)Nazwa kategorii: O (III rzut)Nazwa kategorii: R (III rzut)Koniec elementów należących do kategorii R (II rzut)Koniec elementów należących do kategorii O (

I

rzut)Nazwa kategorii: R (

I

rzut)Elementy należące do kategorii R (

I

I

rzut)Koniec elementów należących do kategorii START

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Schemat. W poniższym schemacie przedstawiono drzewo stochastyczne ilustrujące możliwości wyrzucenia orła i reszki w trzech kolejnych rzutach. Literą O oznaczono sytuację, w której wyrzucono orła, natomiast literą R oznaczono sytuację, w której wyrzucono reszkę.

Nazwa kategorii: START
Elementy należące do kategorii START
- Nazwa kategorii: O ( $I$ losowanie)
  Elementy należące do kategorii O ( $I$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: O ( $II$ losowanie) Elementy należące do kategorii O ( $II$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: O ( $III$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: R ( $III$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: R ( $II$ losowanie) Elementy należące do kategorii R ( $II$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: O ( $III$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: R ( $III$ losowanie)
- Nazwa kategorii: R ( $I$ losowanie)
  Elementy należące do kategorii R ( $I$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: O ( $II$ losowanie) Elementy należące do kategorii O ( $II$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: O ( $III$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: R ( $III$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: R ( $II$ losowanie) Elementy należące do kategorii R ( $II$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: O ( $III$ losowanie)
    - Nazwa kategorii: R ( $III$ losowanie)
  - Nazwa kategorii: R ( $III$ losowanie)

Wypisujemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu, w którym liczba orłów jest mniejsza niż liczba reszek: $(O, R, R)$ , $(R, O, R)$ , $(R, R, O)$ , $(R, R, R)$ .
Zatem $n = 4$ , $N = 8$ , wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu liczby orłów mniejszej niż liczby reszek jest równe:
$p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .

Przykład 5

Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia:

iloczyn wyrzuconych oczek jest większy niż $20$ ,
suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż $11$ .

Rozwiązanie:
Jeżeli dwukrotnie rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, to liczba wszystkich wyników tego doświadczenia jest równa $6 \cdot 6 = 36$ .

Zauważmy, że jest sześć możliwości, gdy iloczyn wyrzuconych oczek jest większy niż $20$ : $(4, 6)$ , $(6, 4)$ , $(5, 5)$ , $(5, 6)$ , $(6, 5)$ , $(6, 6)$ .
Wobec tego:
$N = 36$
$n = 6$
$p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ ,
Jeżeli suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż $11$ , to suma ta wynosi $11$ lub $12$ . Zatem mamy następujące możliwości: $(5, 6)$ , $(6, 5)$ , $(6, 6)$
Wobec tego:
$N = 36$
$n = 3$
$p = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ .

Prawdopodobieństwo zdarzenia możemy obliczyć również w przypadku doświadczenia losowego, w którym występuje losowanie bez zwracania lub stosujemy regułę mnożenia.

Przykład 6

Z urny zawierającej kule ponumerowane liczbami od $1$ do $6$ losujemy bez zwracania dwie kule. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że suma liczb na wylosowanych kulach będzie nie większa niż $5$ .

Rozwiązanie:
Przedstawmy za pomocą tabeli zbiór wszystkich par liczb, które otrzymujemy w wyniku doświadczenia.

Liczba	$1$	$2$	$3$	$4 .$	$5$	$6$
$1$	$-$	$\left( 2, \ 1\right)$	$\left( 3, \ 1\right)$	$\left( 4, \ 1\right)$	$\left( 5, \ 1\right)$	$\left( 6, \ 1\right)$
$2$	$\left( 1, \ 2\right)$	$-$	$\left( 3, \ 2\right)$	$\left( 4, \ 2\right)$	$\left( 5, \ 2\right)$	$\left( 6, \ 2\right)$
$3$	$\left( 1, \ 3\right)$	$\left( 2, \ 3\right)$	$-$	$\left( 4, \ 3\right)$	$\left( 5, \ 3\right)$	$\left( 6, \ 3\right)$
$4$	$\left( 1, \ 4\right)$	$\left( 2, \ 4\right)$	$\left( 3, \ 4\right)$	$-$	$\left( 5, \ 4\right)$	$\left( 6, \ 4\right)$
$5$	$\left( 1, \ 5\right)$	$\left( 2, \ 5\right)$	$\left( 3, \ 5\right)$	$\left( 4, \ 5\right)$	$-$	$\left( 6, \ 5\right)$
$6$	$\left( 1, \ 6\right)$	$\left( 2, \ 6\right)$	$\left( 3, \ 6\right)$	$\left( 4, \ 6\right)$	$\left( 5, \ 6\right)$	$-$

Zauważmy, że wszystkich par liczb jest $6 \cdot 5 = 30$ .
Wypisujemy pary liczb, których suma będzie nie większa niż $5$ : $(1, 2)$ , $(1, 3)$ , $(1, 4)$ , $(2, 1)$ , $(2, 3)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ .
Jest $8$ takich par liczb.

Wobec tego $n = 8$ , $N = 30$ oraz prawdopodobieństwo tego, że suma liczba na wylosowanych kulach będzie nie większa niż $5$ wynosi:
$p = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ .

Przykład 7

Pani Joanna zamierza zjeść w restauracji obiad złożony z zupy i dania głównego. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że wybierze:

RY1PWlFSownBl

Na ilustracji przedstawione jest menu pewnej restauracji. W sekcji zup znajdują się następujące pozycje: zupa fasolowa, zupa grochowa i zupa szczawiowa. W sekcji dań głównych znajdują się następujące pozycje: pierś z kurczaka, pierogi ruskie, naleśniki z serem, kotlet schabowy. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

zupę fasolową i danie mięsne,
dowolną zupę i drugie danie bezmięsne.

Rozwiązanie:
Obliczamy ilość wszystkich zestawów obiadowych, złożonych z zupy i dania głównego:
$N = 3 \cdot 4 = 12$ .

Obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: wybrano zupę fasolową i danie mięsne.
$n = 1 \cdot 2 = 2$
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ ,
Obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: wybrano dowolną zupę i danie bezmięsne.
$n = 3 \cdot 2 = 6$
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .

Ilustracja interaktywna

Zapoznaj się z ilustracją interaktywną, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

RADnCGLr8h0ZJ1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym liczba oczek w pierwszym rzucie jest o trzy większa niż liczba oczek w drugim rzucie.

Etap pierwszy:

Przedstawiamy za pomocą tabeli zbiór wszystkich par liczb, które otrzymujemy w wyniku doświadczenia, a następnie obliczamy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń.

Liczba	$1$	$2$	$3$	$4 .$	$5$	$6$
$1$	$\left( 1, \ 1\right)$	$\left( 2, \ 1\right)$	$\left( 3, \ 1\right)$	$\left( 4, \ 1\right)$	$\left( 5, \ 1\right)$	$\left( 6, \ 1\right)$
$2$	$\left( 1, \ 2\right)$	$\left( 2, \ 2\right)$	$\left( 3, \ 2\right)$	$\left( 4, \ 2\right)$	$\left( 5, \ 2\right)$	$\left( 6, \ 2\right)$
$3$	$\left( 1, \ 3\right)$	$\left( 2, \ 3\right)$	$\left( 3, \ 3\right)$	$\left( 4, \ 3\right)$	$\left( 5, \ 3\right)$	$\left( 6, \ 3\right)$
$4$	$\left( 1, \ 4\right)$	$\left( 2, \ 4\right)$	$\left( 3, \ 4\right)$	$\left( 4, \ 4\right)$	$\left( 5, \ 4\right)$	$\left( 6, \ 4\right)$
$5$	$\left( 1, \ 5\right)$	$\left( 2, \ 5\right)$	$\left( 3, \ 5\right)$	$\left( 4, \ 5\right)$	$\left( 5, \ 5\right)$	$\left( 6, \ 5\right)$
$6$	$\left( 1, \ 6\right)$	$\left( 2, \ 6\right)$	$\left( 3, \ 6\right)$	$\left( 4, \ 6\right)$	$\left( 5, \ 6\right)$	$\left( 6, \ 6\right)$

Liczba wszystkich możliwych zdarzeń w tym doświadczeniu losowym wynosi $6 \cdot 6 = 36$ .

Etap drugi:

Wyznaczamy liczbę zdarzeń, w których liczba oczek w pierwszym rzucie jest o trzy większa niż liczba oczek w drugim rzucie.

Pary liczb, w których pierwsza liczba jest o trzy większa od drugiej to: $(4, 1)$ , $(5, 2)$ $(6, 3)$ .

Oznacza to, że istnieją dokładnie trzy zdarzenia, w których liczba oczek w pierwszym rzucie jest o trzy większa niż liczba oczek w drugim rzucie.

Etap trzeci:

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia korzystając z odpowiedniego wzoru.

p = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

Prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym liczba oczek w pierwszym rzucie jest o trzy większa niż liczba oczek w drugim rzucie wynosi $\frac{1}{12}$ .

Polecenie 1

Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że na obu kostkach wypadła liczba pierwsza.

RAThTZng6BVmB

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wśród liczb $1, 2, 3, 4, 5, 6$ znajdują się dokładnie trzy liczby pierwsze: $2, 3, 5$ .

Jeżeli dwukrotnie rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, to liczba wszystkich wyników tego doświadczenia jest równa $6 \cdot 6 = 36$ .
Zauważmy, że jest dziewięć możliwości, gdy na obu kostkach wyrzucimy liczbę pierwszą: $(2, 2)$ , $(2, 3)$ , $(2, 5)$ , $(3, 2)$ , $(3, 3)$ , $(3, 5)$ , $(5, 2)$ , $(5, 3)$ , $(5, 5)$ .

Wobec tego:
$N = 36$
$n = 9$
$p = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ .

Polecenie 2

Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wyrzuconych oczek jest podzielna przez $5$ .

RAThTZng6BVmB

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przy dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry możemy uzyskać następujące sumy oczek: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ .

Jeżeli suma wyrzuconych oczek musi być podzielna przez $5$ , to suma ta musi wynosić $5$ lub $10$ .

Zauważmy, że jest siedem możliwości, gdy suma wyrzuconych oczek jest podzielna przez $5$ lub $10$ : $(2, 3)$ , $(3, 2)$ , $(1, 4)$ , $(4, 1)$ oraz $(4, 6)$ , $(6, 4)$ , $(5, 5)$ .

Wobec tego:
$N = 36$
$n = 7$
$p = \frac{7}{36}$ .

Polecenie 3

Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby naturalnej dodatniej.

RAThTZng6BVmB

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Kolejne kwadraty liczb naturalnych to: $1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .$

Zauważmy, że jest sześć możliwości, gdy iloczyn wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby naturalnej dodatniej: $(1, 1)$ , $(2, 2)$ , $(3, 3)$ , $(4, 4)$ , $(5, 5)$ , $(6, 6)$ .

Wobec tego:
$N = 36$
$n = 6$
$p = \frac{1}{6}$ .

Gra edukacyjna

Zagraj w grę, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

RebvGFjZLnxvb

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Gra edukacyjna - Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń.60Gratulacje! Twoja wiedza jest na bardzo dobrym poziomie.Niestety, nie udało Ci się zaliczyć testu. Spróbuj raz jeszcze.1

Test

Gra edukacyjna - Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń.

Gra składa się z trzech poziomów. Na każdym poziomie jest sześć pytań. W każdym pytaniu tylko jedna poprawna odpowiedź.

Liczba pytań:

Limit czasu:

min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Polecenie 4

Rzucamy czterokrotnie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wypadły co najmniej trzy orły.

RAThTZng6BVmB

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przy czterokrotnym rzucie symetryczną monetą liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi $16$ .

Jeżeli rzucamy czterokrotnie symetryczną monetą, to liczba wszystkich zdarzeń wynosi:
$N = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Wypisujemy zdarzenia sprzyjające temu, że wypadły co najmniej trzy orły: $(o, o, o, o)$ , $(r, o, o, o)$ , $(o, r, o, o)$ , $(o, o, r, o)$ , $(o, o, o, r)$ .
Zatem $n = 5$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{5}{16}$ .

Polecenie 5

Rozwiąż zadania:

Pani Zuzanna ma do dyspozycji: $2$ różne pary butów, $4$ różne sukienki i $5$ różnych torebek. Wybiera zestaw składający się z $1$ pary butów, sukienki i torebki. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania ustalonego zestawu spośród wszystkich możliwych wyborów?
Pan Grzegorz ma $4$ marynarki, $8$ różnych par spodni oraz $10$ różnych koszul. Wybiera zestaw składający się z marynarki, spodni i koszuli. Jakie jest prawdopodobieństwo wyboru ustalonego zestawu spośród wszystkich możliwych wyborów?

R1Q27z4A4eChW

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
$N = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$
Obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: $n = 1$ .
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{1}{40}$ ,
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
$N = 4 \cdot 8 \cdot 10 = 320$
Obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: $n = 1$ .
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{1}{320}$ .

Polecenie 6

Ustal prawdopodobieństwo następującego zdarzenia: dwukrotne wyrzucenie orła w trzykrotnym rzucie symetryczną monetą.

R1UBHdaXzQSbU

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
$N = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Wyznaczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu:
$n = 3$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{3}{8}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RQXj9sGkd4TVL

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1bbz1eBnGTnK

Ćwiczenie 2

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie ze zbioru

\{1, 2, 3, 4\}

. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane liczby różnią się o

1

jest równe 1.

\frac{5}{8}

, 2.

\frac{5}{16}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

\frac{3}{16}

, 6.

\frac{1}{4}

.
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowano liczby, których iloczyn jest parzysty jest równe 1.

\frac{5}{8}

, 2.

\frac{5}{16}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

\frac{3}{16}

, 6.

\frac{1}{4}

.
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że obie wylosowane liczby są równe wynosi 1.

\frac{5}{8}

, 2.

\frac{5}{16}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{3}{8}

, 5.

\frac{3}{16}

, 6.

\frac{1}{4}

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Rp2JTMloPBRDF

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RtuZwuJsRNKck

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R4KeiVSDvboVK

Ćwiczenie 5

Połącz w pary treść zadania z rozwiązaniem. Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy dwie liczby ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że suma wylosowanych liczb jest równa

30

? Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{10000}

, 2.

\frac{11}{8100}

, 3.

\frac{3}{100}

Ze zbioru liczb jednocyfrowych losujemy dwie liczby ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wylosowanych liczb jest większy od

70

? Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{10000}

, 2.

\frac{11}{8100}

, 3.

\frac{3}{100}

Ze zbioru liczb trzycyfrowych losujemy dwie liczby ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane liczby są podzielne przez

100

? Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{1}{10000}

, 2.

\frac{11}{8100}

, 3.

\frac{3}{100}

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R10ynUljLoopu

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 7

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

liczba oczek w drugim rzucie jest $2$ razy większa niż liczba oczek w pierwszym rzucie,
iloczyn liczby otrzymanych oczek przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$ .

RTVAtv30loIOX

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Liczba możliwych wyników przy jednokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry jest równa $6$ , zatem przy dwukrotnym rzucie taką kostką wynosi $6 \cdot 6 = 36$ .

Jeżeli rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, to liczba wszystkich możliwości w tym doświadczeniu losowym wynosi $N = 36$ .

Wypisujemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu, że liczba oczek w drugim rzucie jest $2$ razy większa niż liczba oczek w pierwszym rzucie: $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ .
Określamy liczbę zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu: $n = 3$ .
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ ,
Wypisujemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu, że iloczyn liczby otrzymanych oczek przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$ : $(1, 3)$ , $(2, 4)$ , $(3, 1)$ , $(3, 6)$ , $(4, 2)$ , $(6, 3)$ .
Określamy liczbę zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu: $n = 6$
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

Ćwiczenie 8

W urnie znajdują się $2$ kule czerwone i $4$ niebieskie. Losujemy dwie kule ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowaliśmy co najmniej jedną kulę czerwoną?

R18Xm9RIWhzdW

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wyznaczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
$N = 6 \cdot 6 = 36$
Wyznaczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu:

dokładnie jedna wylosowana kula jest czerwona: $2 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 16$ ,
dokładnie dwie kule są czerwone: $2 \cdot 2 = 4$ .

Zatem liczba wszystkich zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu jest równa $n = 20$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ .

Ćwiczenie 9

Pani Kasia chce zamówić w herbaciarni kawę i ciasto. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybierze:

R1Zc7xSPPyBm5

Na ilustracji przedstawione jest menu w pewnej kawiarni. W sekcji herbat znajdują się następujące pozycje: herbata cytrynowa, herbata grejpfrutowa, herbata truskawkowa i herbata czarna porzeczka. W sekcji ciast znajdują się następujące pozycje: makowiec, sernik, strucla, pychotka i piernik. — Źródło: Grafika na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY-SA 3.0.

herbatę cytrynową i makowiec lub sernik,
herbatę truskawkową i dowolne ciasto.

RLeWCwHsebwiB

Źródło: GroMar Sp.z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważ, że liczba możliwych wyników opisanego doświadczenia jest równa $20$ .

Obliczamy ilość wszystkich zestawów, złożonych z herbaty i ciasta:
$N = 4 \cdot 5 = 20$ .

Obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: wybrano herbatę cytrynową i makowiec lub sernik.
$n = 1 \cdot 2 = 2$
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ ,
Obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: wybrano herbatę truskawkową i dowolne ciasto:
$n = 1 \cdot 5 = 5$
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia:
$p = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ .

Słownik

doświadczenie losowe

doświadczenie, które można powtarzać wiele razy w tych samych warunkach, ale jego kolejnych wyników nie potrafimy przewidzieć

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Obliczanie prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach losowych

Rachunek prawdopodobieństwa