RfzMX6ajELKCS
Zdjęcie przedstawia grupę uczniów, dwoje z nich siedzi przed laptopami, pozostali stoją za nimi i wpatrują się w ekrany komputerów. W poprzek na czarnym pasku napis - Liczby naturalne.

Liczby naturalne

Źródło: Max Fischer, domena publiczna. https://www.pexels.com/.

4. Liczby naturalne na osi liczbowej

RXeiXaGr0Vrgp
Zdjęcie przedstawia centymetr krawiecki czyli wąską taśmę z tkaniny, zatopioną w tworzywie, łatwą do zwinięcia, z podziałką co 1 cm .
Źródło: Jacek Halicki, licencja: CC BY-SA 4.0. pl.wikipedia.org.

Centymetr ma w języku polskim więcej niż jedno znaczenie. To nie tylko nazwy jednostki długości, ale także przyrządu krawieckiego. W tym materiale poznasz oś liczbową, taki matematyczny centymetr, oraz dowiesz się, w jaki sposób zaznaczać i odczytywać liczby naturalne na osi liczbowej.

Oś liczbowa - co to takiego

Kolejność następowania po sobie  wydarzeń historycznych można zinterpretować graficznie. Poniżej na osi czasu zaznaczono daty ważnych zdarzeń związanych z wynalezienim druku.

R1KWEdciFLjnc
Historia druku. 868 "Diamentowa sutra" najstarsza drukowana i ściśle datowana książka z Chin. 1001 - 1200 w Hiszpanii pojawiają się pierwsze papiernie. 1401 - 1500 powstają pierwsze papiernie na ziemiach polskich i angielskich. 1450 wynalazek druku przez J. Gutenberga. 1500 sztucznie wyznaczona granica czasowa; druki powstałe do tego roku nazywane są inkunabułami. 1502 - 1505 powstaje pierwsza drukarnia w Krakowie.
Oś czasu: druk
Źródło: Contentplus.pl sp zo.o., licencja: CC BY 3.0.

Oś  czasu to pewien rodzaj  osi liczbowej.  Zauważmy, że jest to prosta, na której zaznaczone są liczby w ustalony sposób.

Oś liczbowa
Definicja: Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której zaznaczamy:

  • zwrot (strzałkę wskazującą, w którą stronę liczby się zwiększają),

  • liczbę 0,

  • liczbę 1.

    RKbZm4EkLOeNK1
    Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi na niej punktami 0 i 1. Zwrot osi skierowany w prawo. Zaznaczona jednostka.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Punkty odpowiadające liczbom 0 i 1 są końcami odcinka, który nazywamy jednostką osi liczbowej. Długość odcinka jednostkowego wynosi 1.

R1LUYPSA4hhuH
Rysunek przedstawia oś liczbową od 0 do 11 z podziałką co jeden. Zaznaczono na niej odległość punktu 0 od punktu 1 i opisano jako odcinek jednostkowy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 1

Klaudia i Piotrek narysowali w zeszycie oś liczbową i zaznaczyli na niej punkt A, odpowiadający liczbie 3. Klaudia przyjęła za jednostkę szerokość dwóch kratek, a Piotrek szerokość jednej kratki. Oboje wykonali rysunek poprawnie.

RrVHzBh2GX0Gj1
Rysunki osi liczbowych Klaudii i Piotrka z zaznaczonymi punktami 0, 1, 3 oraz punktem A.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mówimy, że punkt A ma współrzędną 3. Zapisujemy to A=3.

1
1
Polecenie 1

Odczytaj współrzędną punktu A na osi liczbowej.

R96ZGZuBxnzpC1
Animacja pokazuje oś liczbową. Należy odczytać współrzędne punktu A przy zmieniającej się skali.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D17fVZ9XF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCI8oGsjJNuSN
Ćwiczenie 1
Ile jest liczb całkowitych, których odległość od liczby 3 na osi liczbowej jest mniejsza od 7? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 9, 2. 13, 3. 16
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ELdKolK7T7R
Ćwiczenie 2
Ile jest liczb całkowitych, których odległość od liczby 5 na osi liczbowej jest mniejsza od 6? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 7, 2. 9, 3. 11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1XY7lmJYSJfH
Ćwiczenie 3
Zaznacz wszystkie liczby, których odległość od liczby 6 na osi liczbowej jest równa 9? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. -3, 2. 15, 3. -2, 4. 16
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
1
Polecenie 2

Umieść punkt A w odpowiednim miejscu na osi liczbowej.

RBjNYuvY492bb1
Animacja pokazuje oś liczbową z zaznaczonymi punktami 0, 1, 10, 20. Odcinek jednostkowy równy 1. Należy umieścić punkt A w odpowiednim miejscu na osi liczbowej, tak aby miał podaną współrzędną.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D17fVZ9XF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6QGdzlm4XNjD
Ćwiczenie 1
Na osi liczbowej zaznaczono punkt A o współrzędnej 2. Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Na osi liczbowej można znaleźć 6 różnych punktów o współrzędnej całkowitej, których odległość od A jest mniejsza niż 3., 2. Punkt A jest jednakowo odległy od punktu B o współrzędnej 7 i od punktu C o współrzędnej -7, 3. Punkt A jest jednakowo odległy od punktu D o współrzędnej 1 i od punktu E o współrzędnej 3.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznaczanie liczb naturalnych na osi liczbowej

R1IjjQPacTRQF
Ćwiczenie 1
Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Jeśli liczba a jest większa od liczby b i liczba b jest większa od liczby c, to Możliwe odpowiedzi: 1. liczba a jest równa liczbie c ., 2. liczba a jest większa od liczby c ., 3. liczba a jest mniejsza od liczby c .

  • liczba a jest równa liczbie c
  • liczba a jest większa od liczby c
  • liczba a jest mniejsza od liczby c
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
1
Ćwiczenie 2

Do każdego podpunktu narysuj osobną oś liczbową, dobierz odpowiednią podziałkę i zaznacz punkty o podanych współrzędnych.

  1. A=8, Z=12, D=3

R1HilBj27yLXA
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. E=6, S=15, L=27

R1HilBj27yLXA
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. O=10, N=45

R1HilBj27yLXA
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. B=30, I=70, R=90

R1HilBj27yLXA
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  1. Ą=50, Ę=75, Ź=100

R1HilBj27yLXA
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LM6kxLiZ3KD1
Uzupełnij tabelę, przeciągając w luki litery odpowiadające danym liczbom lub kliknij w lukę i wybierz literę z listy rozwijalnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 2

W każdym podpunkcie dane są trzy punkty zaznaczone na jednej osi liczbowej. Uporządkuj współrzędne podanych punktów w takiej kolejności, w jakiej będą one odczytywane z osi liczbowej od lewej do prawej.

R1UuYyrqSDC6G
Elementy do uszeregowania: 1. A=8, 2. Z=12, 3. D=3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15OegpOllqqr
Elementy do uszeregowania: 1. S=15, 2. L=27, 3. E=6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Hnppxgcv9A6
Elementy do uszeregowania: 1. M=13, 2. N=45, 3. O=10
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12WCyZhXNfBn
Elementy do uszeregowania: 1. R=90, 2. I=70, 3. B=30
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVkmPbGfaGkrx
Elementy do uszeregowania: 1. Ę=75, 2. Ź=100, 3. Ą=50
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RYj5bSXtzYfmF
Uzupełnij tabelę, przeciągając w luki litery odpowiadające danym liczbom lub kliknij w lukę i wybierz literę z listy rozwijalnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3

Odczytaj współrzędne punktów A i B zaznaczonych na osi liczbowej. Porównaj otrzymane liczby.

1.

RtffygTBPAgJT1
Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi liczbami 483, 488 oraz punktami A i B. Odcinek jednostkowy równy 1.Szukane punkty: punkt A leży trzy jednostki na prawo od punktu 483, a punkt B leży 7 jednostek za punktem 488 w prawo
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbYBDYcZpP4D2
Wpisz w luki wartości odczytanych liczb A i B, a także znak > lub <. A= Tu uzupełnij
B= Tu uzupełnij

A Tu uzupełnij B
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2.

R1PUkzRpojBzi1
Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi liczbami 564, 604 oraz punktami C i D. Odcinek jednostkowy równy 10; Szukane punkty: punkt C leży trzy jednostki na lewo od puntu 564, a punkt D leży dwie jednostki na prawo od punktu 604
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11WUACpfIkkw
Wpisz w luki wartości odczytanych liczb C i D, a następnie znak > lub <. C= Tu uzupełnij
D= Tu uzupełnij

C Tu uzupełnij D
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

3.

RLdr1T41VOxEm1
Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi liczbami 1110, 1310 oraz punktami E i F. Między liczbami zaznaczono dziesięć równych części. Szukane punkty: punkt E leży jedną jednostkę na prawo od punktu 1110, punkt F leży trzy jednostki na lewo od punktu 1310
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKcT1joZRNQKe
Wpisz w luki wartości odczytanych liczb E i F, a następnie znak > lub <. E= Tu uzupełnij
F= Tu uzupełnij

E Tu uzupełnij F
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4.

RiwlhCjwlMaRd1
Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami G i H oraz liczbami 10520 i 10820. Odcinek jednostkowy równy 100. Szukane punkty: punkt G leży cztery jednostki na lewo od punktu 10520, a punkt H leży 5 jednostek na prawo do punktu 10820
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rs5ul5gQ1zxMq
Wpisz w luki wartości odczytanych liczb G i H, a następnie znak > lub <. G= Tu uzupełnij
H= Tu uzupełnij

G Tu uzupełnij H
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
RwWyaF0RcDjv9
Ćwiczenie 4
Na osi liczbowej zaznaczono liczbę 0 oraz 96. Między tymi liczbami znajdują się cztery odcinki jednostkowe. Jaką długość ma jeden odcinek jednostkowy? Możliwe odpowiedzi: 1. 24, 2. 36, 3. 27, 4. 14
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFyHep7FqE7m7
Ćwiczenie 5
Na osi liczbowej zaznaczono liczbę 0 oraz 48. Między tymi liczbami znajdują się trzy odcinki jednostkowe. Jaką długość ma jeden odcinek jednostkowy? Możliwe odpowiedzi: 1. 24, 2. 16, 3. 12, 4. 22
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
RnwH5iA9ZBQWh
Ćwiczenie 4
Na osi liczbowej zaznaczone są punkty A i B o danych współrzędnych. Jaką współrzędną ma punkt C, jeżeli jego odległości od punktów A i B są jednakowe? Wpisz rozwiązanie w puste pole. A=584, B=612, C=Tu uzupełnij A=990, B=1020, C=Tu uzupełnij A=844, B=1000, C=Tu uzupełnij A=1500, B=5000, C=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3. Porównywanie liczb naturalnych
5. Zaokrąglanie liczb naturalnych