R1b481ewyt5wT
Zdjęcie w sali lekcyjnej. Czwórka dzieci siedzi na krzesłach, a jedna stojąca dziewczynka pokazuje wiszącą na ścianie ilustrację z napisanymi cyframi. W poprzek napis na czarnym tle: Działania pamięciowe na liczbach naturalnych.

Działania pamięciowe na liczbach naturalnych

Źródło: Yan Krukau, domena publiczna. https://www.pexels.com.

5. Pamięciowe mnożenie liczb naturalnych

RMj9teilr1MDE1
Portret Williama Oughtreda autorstwa Wenceslausa Hollara
Źródło: dostępny w internecie Wikimedia Commons, domena publiczna.

Symbol „x” dla mnożenia wprowadził siedemnastowieczny angielski matematyk  William Oughtred (czyt. Łiljam Otred). Obecnie najczęściej mnożenie oznacza się za pomocą kropki.

Materiał zawiera przykłady i ćwiczenia dotyczące mnożenia liczb jednocyfrowych oraz liczb jednocyfrowych przez dwucyfrowe.

Mnożenie jest działaniem zastępującym dodawanie jednakowych składników. Oznacza to, że aby policzyć pewne identyczne elementy, możemy skorzystać z mnożenia.

Rozważmy dla przykładu grupę pięciu osób, z których każda ma dwa zwierzęta domowe. Chcąc policzyć, ile zwierząt łącznie mają wszystkie te osoby, możemy skorzystać z dwóch równoważnych metod.

  • Metoda I : korzystamy z dodawania.
    Każda z pięciu osób ma (1 + 1) = 2 zwierzęta. 
    ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

  • Metoda II : korzystamy z mnożenia. Jest pięć osób i każda ma dwa zwierzęta.
    5·2=10

Jak łatwo zauważyć, mnożenie jest uproszczeniem żmudnego dodawania tych samych elementów. Zapoznaj się z poniższymi przykładami, aby lepiej zrozumieć mnożenie.

Przykład 1

Ile jest ciastek?

RohH6VAbHaUOC1
Rysunek tacki z ciastkami z kremem i wiśnią ułożonymi w 3 rzędach po 6 sztuk.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

RavmkLptrqyyK1
Animacja przedstawia jak w szybki sposób możemy obliczyć ilość ciastek na stole korzystając z mnożenia.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RavmkLptrqyyK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak w szybki sposób możemy obliczyć ilość ciastek na stole korzystając z mnożenia.

Odpowiedź: Jest 18 ciastek.

Przykład 2

Ile euro zapłacimy za 5 kilogramów winogron?

RcwhGRe2vZOlu1
Rysunek przedstawia pięć tacek z winogronem. Na każdej leży 1 kilogram winogron.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

R1N9fqOzKFO8I1
Animacja przedstawia jak przy pomocy mnożenia obliczyć cenę kilku kilogramów produktu, jeżeli znamy cenę jednego kilograma.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1N9fqOzKFO8I

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia jak przy pomocy mnożenia obliczyć cenę kilku kilogramów produktu, jeżeli znamy cenę jednego kilograma.

Odpowiedź: Za 5 kilogramów winogron zapłacimy 10 euro.

Ważne!

Dodawanie jednakowych składników możemy zastąpić mnożeniem.

4+4+4=3·4=12

Czynniki, iloczyn
Definicja: Czynniki, iloczyn

Liczby w mnożeniu mają swoje nazwy.

Ru4M7C57ntYb51
Działanie: 5·6=30. Liczby w mnożeniu to czynniki. Wynik mnożenia to iloczyn.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 1
R1MItAVcaUT0j
Uzupełnij brakujące liczby będące czynnikiem lub iloczynem. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 8·1. 34, 2. 5, 3. 2, 4. 45, 5. 6, 6. 3, 7. 56=241. 34, 2. 5, 3. 2, 4. 45, 5. 6, 6. 3, 7. 56·7=355·9=1. 34, 2. 5, 3. 2, 4. 45, 5. 6, 6. 3, 7. 56
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgGHkZ0UNNg6Y
Wykonaj mnożenie liczb. Wypełnij komórki tabeli, wpisując odpowiednie liczby.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1O5CIjiqpMLn
Ćwiczenie 2
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 38·0= 1. 67, 2. 2, 3. 1, 4. 55, 5. 33, 6. 0, 7. 23, 8. 67, 9. 23, 10. 43, 11. 54, 12. 33, 13. 33, 14. 1, 15. 55, 16. 67, 17. 23, 18. 33, 19. 23, 20. 12, 21. 1, 22. 12, 23. 0, 24. 2, 25. 32, 26. 55, 27. 23, 28. 54, 29. 133, 30. 43, 31. 2, 32. 133, 33. 54, 34. 12, 35. 2, 36. 43, 37. 0, 38. 67, 39. 43, 40. 67, 41. 33, 42. 2, 43. 55, 44. 55, 45. 1, 46. 0, 47. 0, 48. 1, 49. 12, 50. 1245· 1. 67, 2. 2, 3. 1, 4. 55, 5. 33, 6. 0, 7. 23, 8. 67, 9. 23, 10. 43, 11. 54, 12. 33, 13. 33, 14. 1, 15. 55, 16. 67, 17. 23, 18. 33, 19. 23, 20. 12, 21. 1, 22. 12, 23. 0, 24. 2, 25. 32, 26. 55, 27. 23, 28. 54, 29. 133, 30. 43, 31. 2, 32. 133, 33. 54, 34. 12, 35. 2, 36. 43, 37. 0, 38. 67, 39. 43, 40. 67, 41. 33, 42. 2, 43. 55, 44. 55, 45. 1, 46. 0, 47. 0, 48. 1, 49. 12, 50. 12 =054·1= 1. 67, 2. 2, 3. 1, 4. 55, 5. 33, 6. 0, 7. 23, 8. 67, 9. 23, 10. 43, 11. 54, 12. 33, 13. 33, 14. 1, 15. 55, 16. 67, 17. 23, 18. 33, 19. 23, 20. 12, 21. 1, 22. 12, 23. 0, 24. 2, 25. 32, 26. 55, 27. 23, 28. 54, 29. 133, 30. 43, 31. 2, 32. 133, 33. 54, 34. 12, 35. 2, 36. 43, 37. 0, 38. 67, 39. 43, 40. 67, 41. 33, 42. 2, 43. 55, 44. 55, 45. 1, 46. 0, 47. 0, 48. 1, 49. 12, 50. 1217· 1. 67, 2. 2, 3. 1, 4. 55, 5. 33, 6. 0, 7. 23, 8. 67, 9. 23, 10. 43, 11. 54, 12. 33, 13. 33, 14. 1, 15. 55, 16. 67, 17. 23, 18. 33, 19. 23, 20. 12, 21. 1, 22. 12, 23. 0, 24. 2, 25. 32, 26. 55, 27. 23, 28. 54, 29. 133, 30. 43, 31. 2, 32. 133, 33. 54, 34. 12, 35. 2, 36. 43, 37. 0, 38. 67, 39. 43, 40. 67, 41. 33, 42. 2, 43. 55, 44. 55, 45. 1, 46. 0, 47. 0, 48. 1, 49. 12, 50. 12 =171. 67, 2. 2, 3. 1, 4. 55, 5. 33, 6. 0, 7. 23, 8. 67, 9. 23, 10. 43, 11. 54, 12. 33, 13. 33, 14. 1, 15. 55, 16. 67, 17. 23, 18. 33, 19. 23, 20. 12, 21. 1, 22. 12, 23. 0, 24. 2, 25. 32, 26. 55, 27. 23, 28. 54, 29. 133, 30. 43, 31. 2, 32. 133, 33. 54, 34. 12, 35. 2, 36. 43, 37. 0, 38. 67, 39. 43, 40. 67, 41. 33, 42. 2, 43. 55, 44. 55, 45. 1, 46. 0, 47. 0, 48. 1, 49. 12, 50. 12 ·1=32
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

  • Jeżeli jeden z czynników jest równy zero, to iloczyn jest równy zero.

15·0=0

  • Jeżeli jeden z czynników jest równy jeden, to iloczyn jest równy drugiemu czynnikowi.

30·1=30

R11PYDb9e2eWd
Ćwiczenie 3
Oblicz iloczyny liczb i wpisz odpowiednie wartości w puste pola. Iloczynem liczb 2 i 13 jest Tu uzupełnij. Iloczynem liczb 4, 6 i 2 jest Tu uzupełnij. Iloczynem liczb 5, 3 i 2 jest Tu uzupełnij. Iloczynem liczb 3, 3, 8, 4 i 0 jest Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RA5JZCtyyMq7i
Ćwiczenie 4
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 11·1=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 1112·3=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 114·16=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 113·18=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 114·21=1. 74, 2. 54, 3. 84, 4. 12, 5. 22, 6. 36, 7. 64, 8. 11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykonując mnożenie, warto dobrze znać tabliczkę mnożenia. Sprawdź, jak sobie z nią radzisz.

Zobacz, jak można mnożyć na palcach niektóre liczby.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją , pokazującą mnożenie na palcach  przez 9.

RkuipJg5KNpil1
Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RkuipJg5KNpil

Pamieciowe mnozenie liczb naturalnych_atrapa_anim_mnozenie_na_palcach_przez9
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.

Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższą animacją pokazującą sposób  mnożenia na palcach  liczb większych od 5.

R7c8lvOJkE3tn1
Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R7c8lvOJkE3tn

Pamieciowe mnozenie liczb naturalnych_atrapa_anim_mnoz_na_palcahc_liczb_wiekszych5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja o mnożeniu pamięciowym liczb naturalnych.

R1QIY1fxdoDPd
Ćwiczenie 5
Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości. 5· 1. 2, 2. 7, 3. 13, 4. 3, 5. 5, 6. 12·8=801. 2, 2. 7, 3. 13, 4. 3, 5. 5, 6. 12·2·3=782·9·1. 2, 2. 7, 3. 13, 4. 3, 5. 5, 6. 12=90
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBagoOD5PkdzF
Ćwiczenie 6
Uzupełnij puste pola odpowiednimi liczbami całkowitymi, aby uzyskać prawidłowe wyniki. 6·Tu uzupełnij=36 6·8=Tu uzupełnij 8·8=Tu uzupełnij 3·Tu uzupełnij=21 7·9=Tu uzupełnij 7·7=Tu uzupełnij 2·Tu uzupełnij=16 4·Tu uzupełnij=40 9·9=Tu uzupełnij 5·5=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W sprawnym mnożeniu liczb w pamięci pomagają nam własności tego działania.

RScmAgworXB901
Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem przemiennym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RScmAgworXB90

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem przemiennym.

Przemienność mnożenia
Własność: Przemienność mnożenia

W mnożeniu możemy zamienić kolejność czynników, a wynik nie ulegnie zmianie.

Mówimy, że mnożenie jest przemienne.

6·3=3·6

R1O1pO9hebrfV1
Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem łącznym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1O1pO9hebrfV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawiająca, że mnożenie jest działaniem łącznym.

Łączność mnożenia
Własność: Łączność mnożenia

Wykonując mnożenie kilku liczb, można dowolnie łączyć dwa sąsiadujące czynniki, a iloczyn nie ulegnie zmianie. Mówimy, że mnożenie jest łączne.

3·2·5=3·2·5

RsdV89lfBhA8h
Ćwiczenie 7
Oblicz, korzystając z łączności i przemienności mnożenia. Wpisz rozwiązania w puste pola. 5·3·2=Tu uzupełnij 8·2·5=Tu uzupełnij3·4·5=Tu uzupełnij 5·7·2=Tu uzupełnij 4·10·2=Tu uzupełnij 6·3·5=Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z poniższymi filmami, aby poznać dwie metody mnożenia liczby dwucyfrowej  przez liczbę jednocyfrową, a następnie samodzielnie wykonaj umieszczone poniżej ćwiczenia.

Polecenie 3

Przyjrzyj się różnym sposobom mnożenia dowolnej liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.

Metoda I

Obliczmy 16·4.

R10mOVceHnyes1
Animacja przedstawia jedną z metod mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 2.5.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R10mOVceHnyes

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 2.5.

Animacja przedstawia jedną z metod mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.

  • Metoda II

Obliczmy 19·4.

RWvsMM6sF1z4V1
Animacja przedstawia drugą metodę mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RWvsMM6sF1z4V

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia drugą metodę mnożenia liczby dwucyfrowej przez jednocyfrową.

RSRUT5L3NhPj3
Ćwiczenie 8
Oblicz działania dwiema metodami według wzoru i uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. Metoda I : 28·3=20·3+8·3=60+24=84  Metoda II : 28·3=30·3-2·3=90-6=84 4·13 = Tu uzupełnij 6·17 = Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R121E3Gk4kTTk
Ćwiczenie 9
Oblicz działania wybraną metodą i uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. 13·7= Tu uzupełnij 6·15= Tu uzupełnij 18·4= Tu uzupełnij 3·29= Tu uzupełnij 49·2= Tu uzupełnij 32·3= Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1PxR1zaUgtPL
Ćwiczenie 10
Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Iloczyn dowolnej liczby i liczby 1 jest równy 1 , 2. Wynik mnożenia to iloczyn, 3. Sumę jednakowych składników można zastąpić mnożeniem, 4. Iloczyn dowolnej liczby i liczby 0 jest równy 0 , 5. Jeżeli zmienimy kolejność czynników, to wynik ulegnie zmianie, 6. W mnożeniu można łączyć czynniki w dowolny sposób, a wynik się nie zmieni

  • Iloczyn dowolnej liczby i liczby 1 jest równy 1 .
  • Wynik mnożenia to iloczyn.
  • Sumę jednakowych składników można zastąpić mnożeniem.
  • Iloczyn dowolnej liczby i liczby 0 jest równy 0 .
  • Jeżeli zmienimy kolejność czynników, to wynik ulegnie zmianie.
  • W mnożeniu można łączyć czynniki w dowolny sposób, a wynik się nie zmieni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
4. Porównywanie różnicowe
6. Kwadraty i sześciany liczb naturalnych