Rozważmy sześcian o $ABCDEFGH$ i rozważmy przekrój przechodzący przez wierzchołki $BDE$. Obliczymy sinus kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy i zauważmy, że ten przekrój będzie trójkątem równobocznym.

R1VpS3n2GLJ2r

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H tak, że wierzchołek A jest pod wierzchołkiem E, wierzchołek B pod wierzchołkiem F itd. Poprowadzono przekątną dolnej podstawy B D oraz przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych, czyli E B oraz D E. Powstała w ten sposób płaszczyzna przekroju w kształcie trójkąta o wierzchołkach B D E.

Kąt nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy będzie kątem pomiędzy wysokością trójkąta $BDE$ opuszczoną na podstawę $BD$, a połową przekątnej $CA$. Oznaczmy ten kąt przez $\alpha$.

R6WD1aQAYtrVc

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H tak, że wierzchołek A jest pod wierzchołkiem E, wierzchołek B pod wierzchołkiem F itd. Poprowadzono przekątną dolnej podstawy B D oraz przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych, czyli E B oraz D E. Powstała w ten sposób płaszczyzna przekroju w kształcie trójkąta o wierzchołkach B D E. Poprowadzono wysokość w tym trójkącie z wierzchołka E na bok B D i spodek wysokości oznaczono literą S. Wówczas powstał trójkąt prostokątny A  S E, gdzie A S stanowi połowę przekątnej A C dolnej podstawy sześcianu. Kąt przy wierzchołu A jest kątem prostym, a kąt A S E ma miarę alfa.

Oznaczmy krawędź sześcianu przez $a$. Wtedy $\left|AE\right|=a$, $\left|AS\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ oraz 
$\left|BD\right|=\left|DE\right|=\left|EB\right|=a\sqrt{2}$. Odcinek $ES$ jest wysokością tego trójkąta, więc $\left|ES\right|=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Korzystając z trójkąta prostokątnego $ASE$ mamy $\sin \alpha =\frac{a}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Wyznaczymy cosinus kąta nachylenia przekroju przechodzącego przez krawędź sześcianu jak na rysunku poniżej, wiedząc, że $\left|BC\right|=4$ oraz $\left|FJ\right|=1$.

Rozwiązanie

RT98Ychuq144d

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H tak, że wierzchołek A jest pod wierzchołkiem E, wierzchołek B pod wierzchołkiem F itd. Krawędź sześcianu wynosi 4. Na krawędzi F G oraz E H zaznaczono odpowiednio punkty J i N które są oddalone o jeden od wierzchołków F i E. Połączono wierzchołek C z punktem J oraz wierzchołek D z punktem N oraz punkt J z punktem N. Powstał w ten sposób przekrój, którego płaszczyzną jest prostokąt o dłuższym boku równym długości odcinka C J oraz krótszym boku równym krawędzi sześcianu.

Zauważmy, że w tym przypadku kąt nachylenia przekroju do podstawy ma miarę taką, jak $\sphericalangle \mathrm{JCB}$. Oznaczmy go na rysunku przez $\alpha$.

Rp6b7TgIgGUL2

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H tak, że wierzchołek A jest pod wierzchołkiem E, wierzchołek B pod wierzchołkiem F itd. Krawędź sześcianu wynosi 4. Na krawędzi F G oraz E H zaznaczono odpowiednio punkty J i N które są oddalone o jeden od wierzchołków F i E. Połączono wierzchołek C z punktem J oraz wierzchołek D z punktem N oraz punkt J z punktem N. Powstał w ten sposób przekrój, którego płaszczyzną jest prostokąt o dłuższym boku równym długości odcinka C J oraz krótszym boku równym krawędzi sześcianu. Na odcinku B C zaznaczono punkt O i połączono go z punktem J tak, że odcinek J O jest prostopadły do odcinka B C. W ten sposób powstał trójkąt prostokątny J O C taki, że kąt O C J ma miarę alfa.

Trójkąt $JOC$ jest trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątne mają długość $\left|JO\right|=4$ oraz $\left|OC\right|=3$, a zatem przeciwprostokątna ma długość $\left|CJ\right|=5$ (trójka Pitagorejska $3$, $4$, $5$).

Korzystając z trójkąta $JOC$ otrzymujemy $\cos \alpha =\frac{3}{5}$.

Obliczymy miarę kąta nachylenia przekroju sześcianu  w kształcie sześciokąta foremnego do podstawy.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1RFiMvetwymq

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H tak, że wierzchołek A jest pod wierzchołkiem E, wierzchołek B pod wierzchołkiem F itd. W połowie docinka B F zaznaczono punkt Q, w połowie odcinka F E zaznaczono punkt P  w połowie odcinka E H zaznaczono punkt O , w połowie odcinku H D zaznaczono punkt K, w połowie odcinka C D zaznaczono punkt M a w połowie odcinka B C zaznaczono punkt L. Punkty Q P O K M L połączono ze sobą tworząc przekrój , które płaszczyzna jest sześciokąt. Na odcinku P O zaznaczono w połowie punkt Z a w połowie odcinka L M punkt R. Połączono te punkty ze sobą wyznaczając w ten sposób odcinek Z R. Na płaszczyźnie dolnej podstawy zaznaczono punkt W, który jest rzutem prostokątnym punktu Z. Wówczas powstał trójkąt prostokątny W R Z, w którym kat W R Z ma miarę alfa.

Punkt $W$ jest rzutem prostokątnym punktu $Z$ na płaszczyznę podstawy. Odcinek $ZR$ przechodzi przez środki odcinków $PO$ i $LM$ i ma długość taką jak krótsza przekątna sześciokąta. Bok sześciokąta jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych, których długość jest równa połowie krawędzi sześcianu. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Wtedy $\left|LM\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, a stąd $\left|ZR\right|=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Mamy również $\left|ZW\right|=a$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta $ZWR$ mamy $\sin \alpha =\frac{\mathrm{a}}{\frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx \mathrm{0,8165}$. A zatem $\alpha \approx 55°$.

W sześcianie $ABCDEFGH$ na rysunku mamy: $\left|AB\right|=4$, $\left|OB\right|=1$, $\left|BJ\right|=2$, $\left|CK\right|=2$, $\left|DQ\right|=1$ i $\left|EP\right|=1$. Obliczymy kąt nachylenia przekroju $KJOPQ$ do podstawy.

R1cRJ02iKROEA

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H tak, że wierzchołek A jest pod wierzchołkiem E, wierzchołek B pod wierzchołkiem F itd. Krawędź sześcianu wynosi 4. Na odcinku A E zaznaczono punkt P taki, że długość odcinka E P równa się jeden, na odcinku B F zaznaczono punkt O taki, że długość odcinka O B wynosi jeden, na środku odcinka B C zaznaczono punkt J, na środku odcinka C D zaznaczono punkt K, na odcinku D H zaznaczono punkt Q taki, że odcinek D Q równa się jeden. Punkty P O J K Q połączono ze sobą tworząc pięciokąt.

Rozwiązanie

Wyznaczmy środek $S$ odcinka $JK$. Kąt pomiędzy przekrojem a podstawąkąt pomiędzy przekrojem, a ścianą sześcianuKąt pomiędzy przekrojem a podstawą będzie kątem pomiędzy odcinkiem $PS$ i $SA$ (ponieważ odcinek $SA$ jest rzutem odcinka $PS$ na podstawę.

RPiRu768PlFDo

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H tak, że wierzchołek A jest pod wierzchołkiem E, wierzchołek B pod wierzchołkiem F itd. Krawędź sześcianu wynosi 4. Na odcinku A E zaznaczono punkt P taki, że długość odcinka E P równa się jeden, na odcinku B F zaznaczono punkt O taki, że długość odcinka O B wynosi jeden, na środku odcinka B C zaznaczono punkt J, na środku odcinka C D zaznaczono punkt K, na odcinku D H zaznaczono punkt Q taki, że odcinek D Q równa się jeden. Punkty P O J K Q połączono ze sobą tworząc pięciokąt. Na środku odcinka J K zaznaczono punkt S i połączono go z punktem P. Wówczas powstał trójkąt prostokątny A S P, z kątem prostym przy wierzchołku A oraz katem A S P miary alfa.

Zauważmy, że $\left|AS\right|=3\sqrt{2}$ i $\left|AC\right|=4\sqrt{2}$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie $PAS$ mamy $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|PA\right|}{\left|AS\right|}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071$. A stąd $\alpha \approx 35°$.

Zobaczymy teraz jak można wyznaczyć pola powierzchni przekroju sześcianów wykorzystując miary kątów między płaszczyznami w sześcianie.

figura, która jest częścią wspólną sześcianu i przecinającej go płaszczyzny

kąt pomiędzy płaszczyznami zawierającymi przekrój i ścianę sześcianu