W poniższym aplecie zmieniaj długości boków i miary kątów wybranych czworokątów. Przy ustalonym obwodzie obserwuj, w jakich przypadkach na powstałym czworokącie można opisać okrąg oraz jak zmienia się pole czworokąta. Wyciągnij wnioski.
R11R1zpgrbxoB
Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD o boku a, kącie przy wierzchołku A równym alfa oraz kącie przy wierzchołku D równym gamma. Przyciskami można zmieniać czworokąty na romb, równoległobok, deltoid oraz inne czworokąty. Suwakami zmieniamy długości boków oraz kąty. Spośród wszystkich czworokątów o zadanych długościach kolejnych boków największe pole ma ten, który można wpisać w okrąg. Przykład pierwszy. Romb. A równe 2 alfa równa 50 stopni. Obwód czworokąta równe 8, pole czworokąta równe 3 przecinek 0 sześć. alfa, plus, GAMMA, równa się, sto stopni. P, równa się, alfa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, sinus nawias, pięćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy przecinek zero sześć. Przykład drugi. Równoległobok. A równe 2, b równe 3, alfa równa 80 stopni. Obwód czworokąta równe 10, pole czworokąta równe 5 przecinek 91 jednostek. alfa, plus, GAMMA, równa się, sto sześćdziesiąt stopni.P, równa się, a, razy, b, razy, sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, razy, trzy, razy, sinus nawias, osiemdziesiąt, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć przecinek dziewięć jeden. Przykład trzeci. Deltoid. A równe półtorej, b równe 4, alfa równa 110 stopni. Obwód czworokąta 11, pole czworokąta 5 przecinek 64 jednostek. alfa, plus, GAMMA, równa się, dwieście dwadzieścia stopni. P, równa się, a, razy, b, razy, sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden przecinek pięć, razy, cztery, razy, sinus nawias, sto dziesięć, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć przecinek sześć cztery. Przykład czwarty. Alfa równa 70 stopni. Obwód równy 10 jednostek. Pole równe 4 przecinek 91 jednostek. alfa, plus, GAMMA, równa się, dwieście czternaście przecinek sześć osiem stopni. P, równa się, P indeks dolny, DELTA A B C, koniec indeksu dolnego, plus, P indeks dolny, DELTA A C D, koniec indeksu dolnego
Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD o boku a, kącie przy wierzchołku A równym alfa oraz kącie przy wierzchołku D równym gamma. Przyciskami można zmieniać czworokąty na romb, równoległobok, deltoid oraz inne czworokąty. Suwakami zmieniamy długości boków oraz kąty. Spośród wszystkich czworokątów o zadanych długościach kolejnych boków największe pole ma ten, który można wpisać w okrąg. Przykład pierwszy. Romb. A równe 2 alfa równa 50 stopni. Obwód czworokąta równe 8, pole czworokąta równe 3 przecinek 0 sześć. alfa, plus, GAMMA, równa się, sto stopni. P, równa się, alfa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, sinus nawias, pięćdziesiąt stopni, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy przecinek zero sześć. Przykład drugi. Równoległobok. A równe 2, b równe 3, alfa równa 80 stopni. Obwód czworokąta równe 10, pole czworokąta równe 5 przecinek 91 jednostek. alfa, plus, GAMMA, równa się, sto sześćdziesiąt stopni.P, równa się, a, razy, b, razy, sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, razy, trzy, razy, sinus nawias, osiemdziesiąt, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć przecinek dziewięć jeden. Przykład trzeci. Deltoid. A równe półtorej, b równe 4, alfa równa 110 stopni. Obwód czworokąta 11, pole czworokąta 5 przecinek 64 jednostek. alfa, plus, GAMMA, równa się, dwieście dwadzieścia stopni. P, równa się, a, razy, b, razy, sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden przecinek pięć, razy, cztery, razy, sinus nawias, sto dziesięć, zamknięcie nawiasu, równa się, pięć przecinek sześć cztery. Przykład czwarty. Alfa równa 70 stopni. Obwód równy 10 jednostek. Pole równe 4 przecinek 91 jednostek. alfa, plus, GAMMA, równa się, dwieście czternaście przecinek sześć osiem stopni. P, równa się, P indeks dolny, DELTA A B C, koniec indeksu dolnego, plus, P indeks dolny, DELTA A C D, koniec indeksu dolnego
Korzystając z poznanego twierdzenia, dzięki powyższej symulacji, oblicz największe możliwe pole czworokąta, który ma dwa boki długości i dwa boki długości .
Rozważmy dwa przypadki:
Przypadek – sąsiednie boki mają różne długości. Powstała w ten sposób figura to równoległobok o bokach długości i . Spośród wszystkich takich równoległoboków największe pole ma ten, na którym można opisać okrąg. Jedyny równoległobok, na którym można opisać okrąg to prostokąt (patrz aplet). Pole prostokąta o bokach i to .
Przypadek – dwie pary sąsiednich boków mają taką samą długość Powstała w ten sposób figura to deltoid o bokach i . Spośród wszystkich takich deltoidów największe pole ma ten, na którym można opisać okrąg. Jedyny deltoid, na którym można opisać okrąg to taki, który ma dwa kąty proste.
R1LdO7qO9apZu
Ilustracja przedstawia deltoid składający się z dwóch trójkątów o ramionach 1 i 2. Kąt między bokami jest prosty.
Pole deltoidu możemy policzyć jako sumę pól dwóch trójkątów prostokątnych:
Stąd największe możliwe pole czworokąta który ma dwa boki długości i dwa boki długości wynosi .
