Walec o wysokości długości $9 \mathrm{cm}$ i promieniu podstawy długości $6 \mathrm{cm}$ wpisano w kulę. Oblicz pole powierzchni tej kuli.

Rozwiązanie:

Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.

R1SR0MzYoAfA1

Na ilustracji przedstawiono koło o środku w punkcie O, opisane na prostokącie $ABCD$. Długość krótszego boku prostokąta oznaczono wielką literą H, natomiast długość dłuższego boku oznaczono $2r$. Zaznaczono przekątną prostokąta, łączącą wierzchołki A i C. Przekątna $AC$ przechodzi przez punkt O, a jej długość oznaczono $2R$.

$H=\left|BC\right|$ długość wysokości walca

$2r=\left|AB\right|$ długość średnicy podstawy walca

$2R=\left|AC\right|$ długość średnicy kuli

Pole powierzchni kuli obliczymy ze wzoru $P_k=4\pi R^2$. Z trójkąta $ABC$ i twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość promienia kuli.

${\left(2r\right)}^2+H^2={\left(2R\right)}^2$, stąd

${12}^2+9^2=4R^2$, zatem

$R^2=\frac{225}{4}$.

Zauważmy, że wystarczy teraz podstawić $R^2=\frac{225}{4}$ do wzoru na pole powierzchni kuli.

Otrzymujemy odpowiednio $P_k=4\pi \cdot \frac{225}{4}=225\pi \left[{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\right]$.

Walec wpisano w kulę o promieniu długości $R$. Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z płaszczyzną podstawy walca kąt o mierze $\alpha$. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Rozwiązanie:

Wykreślamy rysunek obrazujący przekrój osiowy walca wpisanego w kulę.

Przyjmujemy oznaczenia, które pomogą nam w prowadzeniu toku rozumowania.

R47MYJRDnKlAj

Na ilustracji przedstawiono koło o środku w punkcie O, opisane na prostokącie $ABCD$. Długość krótszego boku prostokąta oznaczono wielką literą H, natomiast długość dłuższego boku oznaczono $2r$. Zaznaczono przekątną prostokąta, łączącą wierzchołki A i C. Przekątna $AC$ przechodzi przez punkt O, a jej długość oznaczono

$H=\left|BC\right|$ długość wysokości walca,

$2r=\left|AB\right|$ długość średnicy podstawy walca,

$2R=\left|AC\right|$ długość średnicy kuli,

$\alpha =\left|\sphericalangle CAB\right|$ miara kąta pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca i płaszczyzną podstawy walca.

Pole powierzchni całkowitej walca wyznaczymy ze wzoru $P_w=2\pi r\left(r+H\right)$. Zauważmy, że długość wysokości walca i długość promienia podstawy walca możemy wyznaczyć z trójkąta prostokątnego $ABC$, korzystając z odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$. Odpowiednio otrzymujemy

$\frac{2r}{2R}=\cos \alpha$, stąd $r=R\cos \alpha$ i $\frac{H}{2R}=\sin \alpha$, stąd $H=2R\sin \alpha$. Pole powierzchni całkowitej walca wynosi $P_w=2\pi R\cos \alpha \left(R\cos \alpha +2R\sin \alpha \right)$. Po uproszczeniu wzoru, otrzymujemy $P_w=2\pi R^2\cos \alpha \left(\cos \alpha +2\sin \alpha \right)$.

W kulę o promieniu długości $R$ wpisano walec. Oblicz objętość walca, wiedząc, że stosunek długości wysokości walca do długości średnicy walca wynosi $1$.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wykonania czytelnego rysunku i przyjęcia oznaczeń.

RE5YZpNa33QZg

Na ilustracji przedstawiono koło o środku w punkcie O, opisane na czworokącie $ABCD$. Długości boków oznaczono wielką literą H oraz $2r$. Zaznaczono przekątną, łączącą wierzchołki A i C. Przekątna $AC$ przechodzi przez punkt O, a jej długość oznaczono

$H=\left|BC\right|$ długość wysokości walca,

$2r=\left|AB\right|$ długość średnicy podstawy walca,

$2R=\left|AC\right|$ długość średnicy kuli.

Z warunków zadania wiemy, że $\frac{H}{2r}=1$, zatem $H=2r$. Wynika stąd, że przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca jest kwadratem, zatem $2R=2r\sqrt{2}$, stąd $r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$ i $H=\sqrt{2}R$. Objętość walca wyznaczymy ze wzoru $V_w=\pi r^{2}H$, zatem $V=\pi {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}R\right)}^2·\sqrt{2}R=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi R^3$.

Walec o polu powierzchni bocznej $240\pi {\mathrm{cm}}^2$ wpisano w kulę. Wysokość walca jest o $14 \mathrm{cm}$ dłuższa od średnicy podstawy walca. Oblicz pole powierzchni kuli.

Rozwiązanie:

Wykreślamy przekrój osiowy tych brył i przyjmujemy oznaczenia.

R8rTD6me6L4NT

Na ilustracji przedstawiono koło o środku w punkcie O, opisane na czworokącie $ABCD$. Długości boków oznaczono wielką literą H oraz $2r$. Zaznaczono przekątną, łączącą wierzchołki A i C. Przekątna $AC$ przechodzi przez punkt O, a jej długość oznaczono

$H=\left|BC\right|$ długość wysokości walca,

$2r=\left|AB\right|$ długość średnicy podstawy walca

$2R=\left|AC\right|$ długość średnicy kuli.

Z warunków zadania mamy $2\pi rH=240\pi$ i $H=2r+14$. Wynika stąd, że $rH=120$, zatem $r\left(2r+14\right)=120$. Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie stopnia drugiego z niewiadomą $r$: $r^2+7r-60=0$.

Zakładając, że $r$ jest długością odcinka, otrzymujemy rozwiązanie $r=5$.

Wynika, stąd, że $H=24$.

Z trójkąta ABC i twierdzenia Pitagorasa mamy dalej ${\left(2r\right)}^2+H^2={\left(2R\right)}^2$, zatem $4R^2=676$.

Zauważmy, że możemy tę wielkość podstawić do wzoru opisującego pole powierzchni kuli, stąd $P_k=4\pi R^2=676\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$.

Stosunek objętości kuli opisanej na walcu do objętości walca wynosi $\frac{16}{9}$. Oblicz stosunek długości wysokości walca do długości promienia kuli.

Rozwiązanie

Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.

R1QhjVMi8vFzX

Na ilustracji przedstawiono koło o środku w punkcie O, opisane na czworokącie $ABCD$. Długości boków oznaczono wielką literą H oraz $2r$. Zaznaczono przekątną, łączącą wierzchołki A i C. Przekątna $AC$ przechodzi przez punkt O, a jej długość oznaczono

$H=\left|BC\right|$ długość wysokości walca,

$2r=\left|AB\right|$ długość średnicy podstawy walca,

$2R=\left|AC\right|$ długość średnicy kuli.

Z warunków zadania mamy $\frac{V_k}{V_w}=\frac{16}{9}$, zatem $V_k=\frac{16}{9}{V}_w$. Wynika stąd zależność $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{16}{9}\pi r^{2}H$, zatem $R^3=\frac{4}{3}{r}^{2}H$. Dalej zauważmy, że z trójkąta $ABC$ i twierdzenia Pitagorasa otrzymamy zależność $H^2+4r^2=4R^2$. Wyznaczmy z tej zależności $r^2$. Otrzymujemy odpowiednio $r^2=R^2-\frac{1}{4}{H}^2$. Podstawmy tę wielkości do równania $R^3=\frac{4}{3}{r}^{2}H$.

Otrzymamy $R^3=\frac{4}{3}·\left(R^2-\frac{1}{4}{H}^2\right)H$, stąd $R^3=\frac{4}{3}{R}^{2}H-\frac{1}{3}{H}^3$. Mamy wyznaczyć stosunek długości wysokości walca do długości promienia kuli $\frac{H}{R}$, zatem podzielmy otrzymane równanie obustronnie przez $R^3$. Otrzymujemy równanie stopnia trzeciego o niewiadomej $\frac{H}{R}$: $1=\frac{4}{3}\left(\frac{H}{R}\right)-\frac{1}{3}{\left(\frac{H}{R}\right)}^3$.

Po uproszczeniu otrzymamy równanie ${\left(\frac{H}{R}\right)}^3-4\left(\frac{H}{R}\right)+3=0$.

Zauważmy, że jednym z pierwiastków tego równania jest $1$, zatem po rozłożeniu na czynniki otrzymamy $\left(\frac{H}{R}-1\right)\left({\left(\frac{H}{R}\right)}^2+\frac{H}{R}-3\right)=0$, stąd $\frac{H}{R}=1$ lub $\frac{H}{R}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$ lub $\frac{H}{R}=\frac{-\sqrt{13}-1}{2}<0$.

Ostatecznie zatem otrzymujemy $\frac{H}{R}=1$ lub $\frac{H}{R}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$.

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca. Przekrój osiowy walca jest prostokątem

przekrój kuli płaszczyzną zawierającą oś obrotu kuli. Przekrój osiowy kuli jest kołem

zbiór wszystkich punktów przestrzeni oddalonych o ustaloną odległość od wybranego punktu przestrzeni