Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Przypomnijmy, że miejsce zerowe funkcji to taki jej argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ .

Przykład 1

RR24er2B1YUK41

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D13yvTeOq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 2

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji

$f (x) = (x - 3) (x + 2)$
$f (x) = (2 x + 1) (3 x - 12)$
$f (x) = - 11 (x + 6) (8 - x)$
$f (x) = 2 (5 - x) (4 x + 7)$

Rozwiązanie
Iloczyn $a$ i $b$ jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy $0$ .
$a ∙ b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$ .

$(x - 3) (x + 2) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x - 3 = 0$ lub $x + 2 = 0$ . Stąd $x = 3$ lub $x = - 2$ .
Funkcja $f (x) = (x - 3) (x + 2)$ ma $2$ miejsca zerowe $3$ i $- 2$ .
$(2 x + 1) (3 x - 12) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(2 x + 1) = 0$ lub $(3 x - 12) = 0$ . Stąd $x = - \frac{1}{2}$ lub $x = 4$ . Funkcja $f (x) = (2 x + 1) (3 x - 12)$ ma $2$ miejsca zerowe $- \frac{1}{2}$ i $4$ .
$- 11 (x + 6) (8 - x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x + 6 = 0$ lub $8 - x = 0$ . Stąd $x = - 6$ lub $x = 8$ .
Funkcja $f (x) = - 11 (x + 6) (8 - x)$ ma $2$ miejsca zerowe $- 6$ i $8$ .
$2 (5 - x) (4 x + 7) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $5 - x = 0$ lub $4 x + 7 = 0$ . Stąd $x = 5$ lub $x = - \frac{7}{4}$ .
Funkcja $f (x) = 2 (5 - x) (4 x + 7)$ ma $2$ miejsca zerowe $5$ i $- \frac{7}{4}$ .

Przykład 3

Szkicując wykres funkcji $f$ w układzie współrzędnych, znajdujemy takie punkty $(x, y)$ , w których $x$ jest argumentem i $y = f (x)$ . Wobec tego do opisu funkcji $f$ stosujemy często zapis $y = f (x)$ , gdzie $f (x)$ jest wzorem określającym funkcję $f$ . Na przykład możemy pisać $f (x) = 2 x^{2} + 1$ , a także $y = 2 x^{2} + 1$ .

igOAxoUD0e_d5e154

Przykład 4

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej

$y = x^{2} - 7 x$
$y = x^{2} - 25$
$y = x^{2} + 2 x + 1$
$y = x^{2} + 2 x + 4$

Rozwiązanie

Wzór funkcji $y = x^{2} - 7 x$ przekształcamy do postaci $y = x (x - 7)$ . Wynika z tego, że $y = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x (x - 7) = 0$ . Zatem $x = 0$ lub $x - 7 = 0$ , stąd $x = 0$ lub $x = 7$ .
Funkcja $y = x^{2} - 7 x$ ma więc dwa miejsca zerowe $0$ oraz $7$ .
Wzór funkcji $y = x^{2} - 25$ przekształcamy do postaci $y = (x + 5) (x - 5)$ . Zatem $y = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(x - 5) (x + 5) = 0$ . Wobec tego $x - 5 = 0$ lub $x + 5 = 0$ , stąd $x = 5$ lub $x = - 5$ .
Funkcja $y = x^{2} - 25$ ma więc dwa miejsca zerowe $5$ oraz $- 5$ .
Wzór funkcji $y = x^{2} + 2 x + 1$ przekształcamy do postaci $y = {(x + 1)}^{2}$ . Wobec tego $y = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${(x + 1)}^{2} = 0$ . Zatem $x + 1 = 0$ , stąd $x = - 1$ .
Funkcja $y = x^{2} + 2 x + 1$ ma więc jedno miejsce zerowe $- 1$ .
Wzór funkcji $y = x^{2} + 2 x + 4$ przekształcamy do postaci $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ . Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ jest $⟨3, + \infty)$ , więc nie ma takiej liczby rzeczywistej $x$ , dla której ta funkcja przyjmuje wartość $0$ . Oznacza to, że funkcja $y = x^{2} + 2 x + 4$ nie ma miejsc zerowych.

Zauważmy, że wzór każdej z funkcji

y = x^{2} - 7 x, y = x^{2} - 25, y = x^{2} + 2 x + 1

można było zapisać jako iloczyn dwóch czynników liniowych

y = x^{2} - 7 x = x (x - 7), y = x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5), y = x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2},

co pozwoliło na wyznaczenie wszystkich miejsc zerowych każdej z nich.
Gdyby wzór funkcji $y = x^{2} + 2 x + 4$ można było również zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych, to funkcja ta miałaby miejsca zerowe. Jednak ta funkcja nie ma miejsc zerowych, co stwierdziliśmy, zapisując ją w postaci kanonicznej $y = {(x + 1)}^{2} + 3$ i odczytując jej zbiór wartości. Zatem jej wzoru nie da się zapisać w postaci iloczynu czynników liniowych.

Przykład 5

Znajdziemy miejsca zerowe funkcji kwadratowej $y = x^{2} + 8 x - 9$ .
Rozwiązanie

sposób $I$

Zauważmy, że dla $x = 1$ otrzymujemy $y = 1^{2} + 8 \cdot 1 - 9 = 0$ , więc liczba $1$ jest miejscem zerowym danej funkcji.
Jeśli ta funkcja ma jeszcze inne miejsce zerowe, to jest ono również rozwiązaniem równania $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ .
Korzystając z tego, że $1^{2} + 8 \cdot 1 - 9 = 0$ , zapiszemy to równanie w postaci

x^{2} + 8 x - 9 = 1^{2} + 8 \cdot 1 - 9

i przekształcimy równoważnie

x^{2} - 1^{2} + 8 x - 8 \cdot 1 - 9 + 9 = 0

(x - 1) (x + 1) + 8 (x - 1) = 0

(x - 1) ((x + 1) + 8) = 0

(x - 1) (x + 9) = 0 .

Wobec tego $x - 1 = 0$ lub $x + 9 = 0$ , stąd $x = 1$ lub $x = - 9$ .
Zatem funkcja $y = x^{2} + 8 x - 9$ ma dwa miejsca zerowe $1$ oraz $- 9$ .

Sposób $II$

Wzór funkcji $y = x^{2} + 8 x - 9$ zapisujemy w postaci kanonicznej

y = {(x + 4)}^{2} - 25

i przekształcamy równoważnie

y = {(x + 4)}^{2} - 5^{2}

y = ((x + 4) - 5) ((x + 4) + 5)

y = (x - 1) (x + 9) .

Funkcję $y = x^{2} + 8 x - 9$ można zatem zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych $y = (x - 1) (x + 9)$ , więc ma ona dwa miejsca zerowe $1$ oraz $- 9$ .

Przykład 6

Pokażemy, że $- 1$ jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ i znajdziemy drugie miejsce zerowe tej funkcji.
Sprawdzamy, że dla $x = - 1$ jest $y = 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 14 \cdot (- 1) + 11 = 3 - 14 + 11 = 0$ , więc $- 1$ jest miejscem zerowym funkcji $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ .
Podamy teraz dwa sposoby poszukiwania drugiego miejsca zerowego.

sposób $I$

Przekształcamy wzór funkcji

y = 3 x^{2} + 14 x + 11 = 3 x^{2} + 3 x + 11 x + 11

skąd

y = 3 x (x + 1) + 11 (x + 1)

czyli

y = (x + 1) (3 x + 11)

Zatem drugim miejscem zerowym jest $- \frac{11}{3}$ .

sposób $II$

Wykorzystamy spostrzeżenie, że gdyby wzór funkcji $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ można było zapisać w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych, to jednym z nich musiałby być czynnik liniowy, którego miejscem zerowym jest $- 1$ .
Załóżmy, że jest nim czynnik $x + 1$ .
Powinniśmy więc znaleźć takie wartości współczynników $a$ i $b$ , aby dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodziła ta równość

y = 3 x^{2} + 14 x + 11 = (x + 1) (ax + b) .

Ale

(x + 1) (ax + b) = a x^{2} + ax + bx + b = a x^{2} + (a + b) x + b

Równość

y = 3 x^{2} + 14 x + 11 = a x^{2} + (a + b) x + b

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 3$ i $b = 11$ .
Wobec tego wzór funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} + 14 x + 11$ można zapisać równoważnie w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych $y = (x + 1) (3 x + 11)$ . Stąd wynika, że dana funkcja ma dwa miejsca zerowe $- 1$ oraz $- \frac{11}{3}$ .
Zauważmy jeszcze, że po wyłączeniu liczby $3$ przed nawias można wzór danej funkcji zapisać jako

y = 3 (x + 1) (x + \frac{11}{3}) .

Przykład 7

Wykażemy, że funkcja $y = 5 x^{2} - 10 x + 11$ nie ma miejsc zerowych.
Przekształcając wzór funkcji do postaci kanonicznej, otrzymujemy

y = 5 x^{2} - 10 x + 11 = 5 {(x - 1)}^{2} + 6 .

Ponieważ dana funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od $6$ , więc nie ma miejsc zerowych.

Przykład 8

Znajdziemy, o ile istnieją, miejsca zerowe funkcji $y = x^{2} - 8 x + 5$ .
Wzór tej funkcji również zapiszemy w postaci kanonicznej.
Mamy wtedy

y = x^{2} - 8 x + 5 = {(x - 4)}^{2} - 11 .

Wobec tego funkcja $y = x^{2} - 8 x + 5$ każdą z wartości większych od –11 przyjmuje dla dwóch różnych argumentów, ma więc dwa różne miejsca zerowe.
Wyznaczymy te miejsca zerowe, zapisując wzór funkcji w postaci iloczynu dwóch czynników liniowych. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

y = {(x - 4)}^{2} - 11

y = {(x - 4)}^{2} - {\sqrt{11}}^{2}

y = (x - 4 + \sqrt{11}) (x - 4 - \sqrt{11})

Wynika z tego, że funkcja $y = x^{2} - 8 x + 5$ ma dwa różne miejsca zerowe $4 - \sqrt{11}$ oraz $4 + \sqrt{11}$ .

igOAxoUD0e_d5e374

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Każdą funkcję kwadratową, daną w postaci ogólnej wzorem $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , można zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ . Stąd mamy $f (x) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}})$ .
Wynika z tego, że

jeżeli wyróżnik jest ujemny, to wyrażenie ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}$ jest dodatnie, więc w tym przypadku funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych,
jeżeli $Δ = 0$ , to $f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ . Jedynym miejscem zerowym funkcji $f$ jest $- \frac{b}{2 a}$ ,
jeżeli $Δ > 0$ , to wzór funkcji $f$ można przekształcić następująco

f (x) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}) = a ({(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}) = a (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a})

w tym przypadku funkcja $f$ ma więc dwa różne miejsca zerowe $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .
Istnienie i liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy zatem od znaku jej wyróżnika.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , $(a \neq 0)$

ma dwa różne miejsca zerowe rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik $∆$ jest dodatni.
Wówczas wzór funkcji $f$ można zapisać w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ,
gdzie $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .
ma dokładnie jedno miejsce zerowe $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ = 0$ . W tym przypadku wzór funkcji $f$ można zapisać w postaci iloczynowej $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdzie $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
nie ma pierwiastków rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ < 0$ . Wtedy wzoru funkcji $f$ nie można zapisać w postaci iloczynowej.

RcciHcEvsI0Ua1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D13yvTeOq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

igOAxoUD0e_d5e452

Ćwiczenie 1

R1Pf9DkQwmpkH1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 2

Funkcje $f$ , $g$ i $h$ dane są wzorami
$f (x) = (x - 1) (2 x + 2)$
$g (x) = 3 (x + 1) (x - 5)$
$h (x) = - 2 (x + 4) (x - 3)$
Wówczas

R1Ok9QA1FNpPq

miejscami zerowymi funkcji $g$ są $1$ oraz $- 5$
miejscami zerowymi funkcji $f$ są $1$ oraz $- 2$
$- 2$ jest miejscem zerowym funkcji $h$
funkcje $f$ i $g$ mają wspólne miejsce zerowe

static

Ćwiczenie 2

Funkcje $f$ , $g$ i $h$ dane są wzorami
$f (x) = (x - 1) (2 x + 2)$
$g (x) = 3 (x + 1) (x - 5)$
$h (x) = - 2 (x + 4) (x - 3)$
Wówczas

RR8WrApIhxT24

miejscami zerowymi funkcji $g$ są $1$ oraz $- 5$
miejscami zerowymi funkcji $f$ są $1$ oraz $- 2$
$- 2$ jest miejscem zerowym funkcji $h$
funkcje $f$ i $g$ mają wspólne miejsce zerowe

Ćwiczenie 3

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej, przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji $f$ , na innym – wykres funkcji $g$ , a na jeszcze innym – wykres funkcji $h$ .
Funkcje te określone są wzorami:
$f (x) = (x + 1) (x - 3),$
$g (x) = 2 (x + 1) (x + 3),$
$h (x) = - \frac{1}{2} (x + 3) (x - 1) .$
Na którym rysunku jest wykres funkcji $f$ , na którym wykres funkcji $g$ , a na którym – wykres funkcji $h$ ?

R1ZarS3gUMve71

Rysunek paraboli o miejscach zerowych x =-3 i x =1 oraz wierzchołku w punkcie (-1, -4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

wykres $f$ – rys. C
wykres $g$ – rys. D
wykres $h$ – rys. B

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1StI8R2LIYoB

Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = x^{2} - 7 x + 6$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = (x - 1) (x - 6)$ .
Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = 2 x^{2} + 3 x - 5$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = 2 (x + 1) (x - \frac{5}{2})$ .
Funkcji kwadratowej określonej wzorem $y = - x^{2} - 2 x$ nie da się zapisać w postaci iloczynowej.
Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = - x^{2} + 3 x + 10$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = - (x + 2) (x - 5)$ .

static

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RnNyYdfCybWWG

Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = x^{2} - 7 x + 6$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = (x - 1) (x - 6)$ .
Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = 2 x^{2} + 3 x - 5$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = 2 (x + 1) (x - \frac{5}{2})$ .
Funkcji kwadratowej określonej wzorem $y = - x^{2} - 2 x$ nie da się zapisać w postaci iloczynowej.
Funkcję kwadratową określoną wzorem $y = - x^{2} + 3 x + 10$ można zapisać w postaci iloczynowej wzorem $y = - (x + 2) (x - 5)$ .

classicmobile

Ćwiczenie 5

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej

R15vwgjIkOKwj1

Rysunek paraboli o miejscach zerowych x =-1 i x =3 oraz wierzchołku w punkcie (1, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Lxi8O5sVV9g1

Rysunek paraboli o miejscu zerowym x =2. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14koiO85oeBU1

Rysunek paraboli o miejscach zerowych x =-3 i x =0. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (1, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Run7uigB4bCpr1

Rysunek paraboli o miejscach zerowych x =-1 i x =1 oraz wierzchołku w punkcie (0, 1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami: $f (x) = x^{2} - 1$ , $g (x) = x^{2} + 3 x$ , $h (x) = x^{2} + 4 x + 4$ , $k (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ . Wówczas

R1QKeTGvw8rek

wykres funkcji $f$ przedstawiony jest na rysunku $d)$
wykres funkcji $g$ przedstawiony jest na rysunku $c)$
żaden z tych rysunków nie przedstawia wykresu funkcji $h$
na jednym z tych rysunków przedstawiony jest wykres funkcji $k$

static

Ćwiczenie 5

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej

R15vwgjIkOKwj1

R1Lxi8O5sVV9g1

R14koiO85oeBU1

Run7uigB4bCpr1

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami: $f (x) = x^{2} - 1$ , $g (x) = x^{2} + 3 x$ , $h (x) = x^{2} + 4 x + 4$ , $k (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ . Wówczas

RuPvLxPftDvQf

wykres funkcji $f$ przedstawiony jest na rysunku $d)$
wykres funkcji $g$ przedstawiony jest na rysunku $c)$
żaden z tych rysunków nie przedstawia wykresu funkcji $h$
na jednym z tych rysunków przedstawiony jest wykres funkcji $k$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RAiWnZ2xCyTlM

Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 10$ ma dwa różne miejsca zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 6 x + 9$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = 2 x^{2} + x$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = - x^{2} + 3$ nie ma miejsc zerowych.

static

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Ue07Gq9FHMi

Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 10$ ma dwa różne miejsca zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 6 x + 9$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = 2 x^{2} + x$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Funkcja kwadratowa $y = - x^{2} + 3$ nie ma miejsc zerowych.

igOAxoUD0e_d5e758

classicmobile

Ćwiczenie 7

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = x^{2} + 4 x + c$ . Wówczas

RSYohdIhDEUwm

dla $c = 0$ funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe
dla $c = 5$ funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe
jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest $1$ , to $c = 5$
jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest $- 1$ , to $c = 3$

static

Ćwiczenie 7

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = x^{2} + 4 x + c$ . Wówczas

RqkyaxiB8nSTM

dla $c = 0$ funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe
dla $c = 5$ funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe
jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest $1$ , to $c = 5$
jeśli jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest $- 1$ , to $c = 3$

Ćwiczenie 8

R1Qhp9fnJOsrN1

Połącz w pary wzór paraboli z jej miejscami zerowymi.

$y = x^{2} + x - 2$
$2 x^{2} - 2 x - 24$
$2 x^{2} - 8 x - \frac{9}{2}$
$y = 3 x^{2} - \frac{21}{2} x + \frac{9}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RBwD0QQ0ElXqA

Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 12 x + 11$ ma dwa różne miejsca zerowe, które są liczbami całkowitymi.
Jedno z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = 2 x^{2} + 9 x + 7$ jest liczbą dodatnią.
Każde z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = x^{2} - 2 x - 10$ należy do przedziału $"⟨"- 2, 4"⟩"$ .
Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} - 11 x + 3$ jest równy 1.

static

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R6oZC79Vw9xFG

Funkcja kwadratowa $y = x^{2} - 12 x + 11$ ma dwa różne miejsca zerowe, które są liczbami całkowitymi.
Jedno z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = 2 x^{2} + 9 x + 7$ jest liczbą dodatnią.
Każde z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = x^{2} - 2 x - 10$ należy do przedziału $"⟨"- 2, 4"⟩"$ .
Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} - 11 x + 3$ jest równy 1.

classicmobile

Ćwiczenie 10

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej $y = 2 (x + 3) (x - 5)$ to

RE8VPl4QVyfdN

$x_{1} = - 3, x_{2} = - 5$
$x_{1} = - 3, x_{2} = 5$
$x_{1} = 3, x_{2} = 5$
$x_{1} = 3, x_{2} = - 5$

static

Ćwiczenie 10

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej $y = 2 (x + 3) (x - 5)$ to

RBoeeMG58k2AR

$x_{1} = - 3, x_{2} = - 5$
$x_{1} = - 3, x_{2} = 5$
$x_{1} = 3, x_{2} = 5$
$x_{1} = 3, x_{2} = - 5$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ .

Rc6glM4ePbffh1

Rysunek paraboli o miejscach zerowych x =-1 i x =2. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $f$ jest określona wzorem

RHT5ZqBj9BdBJ

$f (x) = (x - 1) (x + 2)$
$f (x) = (x - 2) (x + 1)$
$f (x) = - (x - 1) (x + 2)$
$f (x) = - (x - 2) (x + 1)$

static

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ .

Rc6glM4ePbffh1

Funkcja $f$ jest określona wzorem

RiiuZI8kO2vRe

$f (x) = (x - 1) (x + 2)$
$f (x) = (x - 2) (x + 1)$
$f (x) = - (x - 1) (x + 2)$
$f (x) = - (x - 2) (x + 1)$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe są liczbami o przeciwnych znakach.

R1A5jO0y7Wges

$y = 2 (x - 3) (x - 4)$
$y = 3 (x + 1) (x + 2)$
$y = - 4 (x + 1) (x - 1)$
$y = - 5 (x + 2) (x + 4)$

static

Ćwiczenie 12

Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe są liczbami o przeciwnych znakach.

RCnryDjEEkatz

$y = 2 (x - 3) (x - 4)$
$y = 3 (x + 1) (x + 2)$
$y = - 4 (x + 1) (x - 1)$
$y = - 5 (x + 2) (x + 4)$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Funkcje liniowe $f$ i $g$ są określone wzorami $f (x) = \frac{1}{2} x - 1$ oraz $g (x) = x + 1$ . Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x) \cdot g (x)$ .

RbtJJzfcBQgXt

static

Ćwiczenie 13

Funkcje liniowe $f$ i $g$ są określone wzorami $f (x) = \frac{1}{2} x - 1$ oraz $g (x) = x + 1$ . Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji $y = f (x) \cdot g (x)$ .

R1LnEdwcKxSho

igOAxoUD0e_d5e1068

classicmobile

Ćwiczenie 14

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} - 6 x - 5$ to

R1TPK3nxYzJyG

$x_{1} = 1, x_{2} = 5$
$x_{1} = - 1, x_{2} = - 5$
$x_{1} = - 1, x_{2} = 5$
$x_{1} = 1, x_{2} = - 5$

static

Ćwiczenie 14

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} - 6 x - 5$ to

RT9NCBc4xiHFL

$x_{1} = 1, x_{2} = 5$
$x_{1} = - 1, x_{2} = - 5$
$x_{1} = - 1, x_{2} = 5$
$x_{1} = 1, x_{2} = - 5$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby $- 2$ oraz $\frac{1}{2}$ .

RREi9BWJWJxYx

$y = x^{2} + 3 x + 2$
$y = \frac{1}{2} x^{2} + x$
$y = x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$
$y = 2 x^{2} + 3 x - 2$

static

Ćwiczenie 15

Wskaż wzór funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby $- 2$ oraz $\frac{1}{2}$ .

RpyfPOb3onXuU

$y = x^{2} + 3 x + 2$
$y = \frac{1}{2} x^{2} + x$
$y = x^{2} + \frac{1}{2} x - 3$
$y = 2 x^{2} + 3 x - 2$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Do wykresu funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} - 28 x - 31$ należy punkt

RZYbQYeVWc8i9

$(0, 0)$
$(- 1, 0)$
$(- 2, 0)$
$(3, 0)$

static

Ćwiczenie 16

Do wykresu funkcji kwadratowej $y = 3 x^{2} - 28 x - 31$ należy punkt

RHv3vQFTNiCWY

$(0, 0)$
$(- 1, 0)$
$(- 2, 0)$
$(3, 0)$

classicmobile

Ćwiczenie 17

Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + bx + 10$ jest liczba $- 2$ . Wówczas liczba $b$ jest równa

Rv8PgOxDNLjM5

$3$
$7$
$- 3$
$- 7$

static

Ćwiczenie 17

Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + bx + 10$ jest liczba $- 2$ . Wówczas liczba $b$ jest równa

ROEO0KHqMV5UR

$3$
$7$
$- 3$
$- 7$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x + c$ nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy

R1Qnod13BIeoe

$c > 4$
$c = 4$
$c = - 4$
$c < - 4$

static

Ćwiczenie 18

Funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x + c$ nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy

Rq4WgQ4yhsuYW

$c > 4$
$c = 4$
$c = - 4$
$c < - 4$

Ćwiczenie 19

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

$y = - 6 x (x + 2)$
$y = (7 - x) (x + 11)$
$y = (3 x + 8) (4 x - 1)$
$y = (15 - 5 x) (16 x + 10)$

$0$ oraz $- 2$
$7$ oraz $- 11$
$- \frac{8}{3}$ oraz $\frac{1}{4}$
$3$ oraz $- \frac{5}{8}$

Ćwiczenie 20

Podana funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_{1}, x_{2}$ . Zapisz jej wzór w postaci iloczynowej $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

$y = 2 x^{2} - 22 x$
$y = - 3 x^{2} + 48$
$y = 9 x^{2} - 49$
$y = 25 x^{2} + 15 x$

$y = 2 x (x - 11)$
$y = - 3 (x - 4) (x + 4)$
$y = 9 (x - \frac{7}{3}) (x + \frac{7}{3})$
$y = 25 x (x + \frac{3}{5})$

Ćwiczenie 21

Wykaż, że podana funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe. Wyznacz to miejsce zerowe.

$y = x^{2} + 4 x + 4$
$y = - x^{2} + 2 x - 1$
$y = 3 x^{2} + 30 x + 75$
$y = - 2 x^{2} + 12 x - 18$

$y = {(x + 2)}^{2}$ , $x_{0} = - 2$
$y = - {(x - 1)}^{2}$ , $x_{0} = 1$
$y = 3 {(x + 5)}^{2}$ , $x_{0} = - 5$
$y = - 2 {(x - 3)}^{2}$ , $x_{0} = 3$

igOAxoUD0e_d5e1428

Ćwiczenie 22

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej mającej dwa różne miejsca zerowe $x_{1}, x_{2}$ . Zapisz wzór każdej z tych funkcji w postaci iloczynowej $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

ReZgsLJ4wzHEX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IedfyIio4It1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15s4ZyiT5psN1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R16cktComx4vm1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$y = (x - 2) (x + 1)$
$y = - (x - 1) (x + 3)$
$y = \frac{1}{3} (x - 1) (x + 3)$
$y = \frac{1}{2} (x - 3) (x + 1)$

Ćwiczenie 23

Wykaż, że funkcja nie ma miejsc zerowych.

$y = x^{2} + x + 2$
$y = x^{2} - 3 x + 3$
$y = 2 x^{2} - x + 5$
$y = - x^{2} + 5 x - 8$

$Δ = - 7 < 0$
$Δ = - 3 < 0$
$Δ = - 39 < 0$
$Δ = - 7 < 0$

Ćwiczenie 24

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

$y = 2 x^{2} + 3 x - 5$
$y = 4 x^{2} - 15 x - 19$
$y = - 3 x^{2} - 14 x - 8$
$y = - 5 x^{2} + 11 x - 2$

$1$ oraz $- 2 \frac{1}{2}$
$- 1$ oraz $4 \frac{3}{4}$
$- 4$ oraz $- \frac{2}{3}$
$\frac{1}{5}$ oraz $2$

Ćwiczenie 25

Funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = 6 x^{2} + x - 1$ ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że żadne z nich nie jest liczbą całkowitą.

Miejscami zerowymi są liczby $\frac{1}{3}$ oraz $- \frac{1}{2}$ . Żadna z tych liczb nie jest całkowita.

Ćwiczenie 26

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji $y = 24 x^{2} - 2 x - 15$ , przy czym $x_{1} < x_{2}$ . Oblicz $4 x_{1} + 6 x_{2}$ .

$4 x_{1} + 6 x_{2} = 2$

Ćwiczenie 27

Wyznacz miejsca zerowe funkcji.

$y = x^{2} - 4 x - 6$
$y = x^{2} + 2 x - 5$
$y = - x^{2} + 6 x + 11$
$y = - x^{2} - 8 x + 7$

$2 - \sqrt{10}$ oraz $2 + \sqrt{10}$
$- 1 - \sqrt{6}$ oraz $- 1 + \sqrt{6}$
$3 - 2 \sqrt{5}$ oraz $3 + 2 \sqrt{5}$
$- 4 + \sqrt{23}$ oraz $- 4 - \sqrt{23}$

Ćwiczenie 28

Funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 7$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}, x_{2}$ . Oblicz sumę $x_{1} + x_{2}$ oraz iloczyn $x_{1} x_{2}$ .

$x_{1} + x_{2} = - 2$ , $x_{1} x_{2} = - \frac{7}{2}$ (nauczyciel może wspomnieć o wzorach Viete’a)

Ćwiczenie 29

Funkcja kwadratowa $f (x) = 3 x^{2} - 6 x - 1$ ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że każde z nich należy do przedziału $(- 1, 3)$ .

Można obliczyć pierwiastki: $x_{1} = 1 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ oraz $x_{2} = 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ i pokazać odpowiednie oszacowania (czy też rozwinięcie dziesiętne z kalkulatora), albo zauważyć, że $p = 1 \in (- 1, 3)$ oraz $f (- 1) > 0$ i $f (3) > 0$ .

Ćwiczenie 30

Wykaż, że niezależnie od wartości współczynnika $b$ funkcja kwadratowa $f (x) = x^{2} + bx + b - 1$ ma miejsce zerowe równe $- 1$ . Dla jakiej wartości $b$ jest to jedyne miejsce zerowe tej funkcji?

Zauważmy, że $- 1$ jest jedynym miejscem zerowym funkcji $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ , a więc $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ . Stąd $b = 2$ .

Ćwiczenie 31

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = - 10 x^{2} + bx + 1$ jest liczba $- \frac{1}{2}$ . Oblicz $b$ oraz drugie miejsce zerowe funkcji $f$ .

$b = - 3$ , drugie miejsce zerowe to $\frac{1}{5}$

Ćwiczenie 32

Funkcja $g (x) = (x - 3) (x + 4)$ ma te same miejsca zerowe co funkcja $f$ określona wzorem $f (x) = - 2 x^{2} + bx + c$ . Wyznacz $b$ i $c$ .

$b = - 2, c = 24$

Ćwiczenie 33

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f (x) = x^{2} + 6 x + c$ . Ustal liczbę miejsc zerowych funkcji $f$ w zależności od wartości współczynnika $c$ .

Ponieważ wyróżnik $Δ = 36 - 4 c$ , więc $f$ : ma dwa różne miejsca zerowe dla $c < 9$ , ma dokładnie jedno miejsce zerowe dla $c = 9$ , nie ma miejsc zerowych dla $c > 9$ . Można też zapisać funkcję w postaci kanonicznej
$f (x) = {(x + 3)}^{2} + c - 9$ i komentować znak wyrażenia $c - 9 .$

Współrzędne wierzchołka paraboli

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej