Ćwiczenie 1

Rw2t8sUQWXo691

Przeciągnij i upuść.

$110$ , $323$ , $175$ , $135$ , $78$ , $51$

a) $3 \cdot 17 =$ ............ b) $2 \cdot 5 \cdot 11 =$ ............ c) $2 \cdot 3 \cdot 13 =$ ............
d) $5 \cdot 5 \cdot 7 =$ ............ e) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 =$ ............ f) $17 \cdot 19 =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Jeżeli pomnożymy liczby pierwsze, to otrzymamy liczbę złożoną.
Każdą liczbę złożoną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Na przykład

20 = 2 \cdot 2 \cdot 5

Mówimy, że liczbę $20$ rozłożyliśmy na czynniki pierwsze.

Nauczymy się zapisywać liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych. Poznamy różne metody rozkładania liczb na czynniki pierwsze.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Każdą liczbę złożoną można zapisać w postaci iloczynu co najmniej dwóch liczb naturalnych, większych od $1$ .

Ćwiczenie 2

Przedstaw liczbę $36$ w postaci różnych iloczynów tak, by czynniki były większe od $1$ .
Uwaga: Iloczyny $4 ∙ 9$ i $9 ∙ 4$ nie są różne, uznajemy je za takie same.
Który iloczyn przedstawia rozkład liczby $36$ na czynniki pierwsze?

$36 = 2 ∙ 18$
$36 = 4 ∙ 9$
$36 = 3 ∙ 12$
$36 = 6 ∙ 6$
$36 = 2 ∙ 3 ∙ 6$
$36 = 2 ∙ 2 ∙ 9$
$36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3$

Ćwiczenie 3

RYPjET957yxhX1

Przeciagnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

liczba 36 jako iloczyn dwóch liczb
liczba 36 jako iloczyn trzech liczb
rozkład liczby 36 na czynniki pierwsze

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RdiKLCHeaUmLm1

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze, a następnie przeciągnij i upuść.

$3 \cdot 3 \cdot 5$ , $2 \cdot 3 \cdot 13$ , $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$ , $3 \cdot 3 \cdot 11$ , $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ , $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ , $2 \cdot 2 \cdot 7$ , $3 \cdot 5$ , $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$ , $2 \cdot 3 \cdot 11$

a) $15 =$ .......................... b) $28 =$ .......................... c) $45 =$ ..........................
d) $66 =$ .......................... e) $108 =$ .......................... f) $180 =$ ..........................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze, uzupełniając liczby w drzewkach oraz zapis pod drzewkiem. Pamiętaj, aby czynniki w zapisie uporządkować rosnąco.

RtXbBgpPv8TK21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFSthUw2uoxOC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLpO1zc3A8l2B1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RX6lWN97YVyOE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iNFMQFfPFH_d5e315

Ćwiczenie 6

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze. Sprawdź poprawność swoich obliczeń, zapisując każdą liczbę w postaci iloczynu jej czynników pierwszych. Pamiętaj, aby czynniki w zapisie uporządkować rosnąco.

$70$
$120$
$270$
$520$

$2 ∙ 5 ∙ 7$
$2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5$
$2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5$
$2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 13$

Ważne!

RCQ9vgZPX4an91

Ważne!

Rx4053C2ox4oV1

Ćwiczenie 7

Znajdź liczby, w których rozkładzie na czynniki pierwsze występują wyłącznie

dwie dwójki, dwie trójki i dwie piątki
dwie dwójki, dwie piątki i jedna jedenastka
cztery trójki i jedna trzynastka
trzy dwójki i trzy piątki
jedna trójka, jedna piątka, jedna siódemka i jedna jedenastka

$900$
$1100$
$1053$
$1000$
$1155$

Ćwiczenie 8

Korzystając z rozkładu na czynniki pierwsze liczb $44$ i $105$ ,

$44 = 2 ∙ 2 ∙ 11$
$105 = 3 ∙ 5 ∙ 7$

podaj rozkład na czynniki pierwsze liczb

$44 ∙ 44$
$105 ∙ 105$
$44 ∙ 105$
$44 ∙ 44 ∙ 105$
$6 ∙ 105$

$2, 2, 2, 2, 11, 11$
$3, 3, 5, 5, 7, 7$
$2, 2, 3, 5, 7, 11$
$2, 2, 2, 2, 3, 5, 7, 11, 11$
$2, 3, 3, 5, 7$

Ćwiczenie 9

Wypisz wszystkie (większe od $1$ ) dzielniki liczb, których rozkłady na czynniki pierwsze są następujące

$3 ∙ 5$
$2 ∙ 2 ∙ 3$
$2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5$

$3, 5, 15$
$2, 3, 4, 6, 12$
$2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150$

Wskazówka. Wszystkie czynniki pierwsze oraz dowolne iloczyny tych czynników są dzielnikami danej liczby, np.: dzielnikami liczby $24 (24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3) s ą : 2, 3, 4 (2 ∙ 2), 6 (2 ∙ 3), 8 (2 ∙ 2 ∙ 2), 12 (2 ∙ 2 ∙ 3), 24 (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3) .$

Ćwiczenie 10

Nauczyciel chce podzielić trzydziestoosobową klasę na równe grupy, co najmniej dwuosobowe.
Ile może utworzyć grup? Ile osób będzie w każdej grupie? Na ile sposobów nauczyciel może dokonać podziału? Rozważ wszystkie możliwości. Uzupełnij zdania.

Klasę można podzielić na … grup/y po … osób/osoby.
Nauczyciel może podzielić klasę na … sposobów.

$2$ i $15, 3$ i $10, 5$ i $6, 6$ i $5, 10$ i $3, 15$ i $2$
$6$

Liczby pierwsze i liczby złożone

Trening mistrza. Ćwiczenia przed sprawdzianem

Rozkładanie liczb na czynniki pierwsze

Rozkład liczby na czynniki pierwsze