Przeczytaj
Chcąc określić liczbę wszystkich wyników doświadczenia losowego „na tworzenie liczb spełniających określone warunki” lub chcąc określić liczbę zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu w doświadczeniu związanym z liczbami, najczęściej korzystamy ze wzorów kombinatorycznych, które przypominamy poniżej.
Wzory kombinatoryczne | |
---|---|
Opis wzoru | Wzór |
Liczba permutacji zbioru –elementowego. | |
Liczba –elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru –elementowego. | |
Liczba –elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru –elementowego. | |
Liczba –elementowych kombinacji zbioru –elementowego. |
Zapoznaj się z filmem, który pokazuje jak można wykorzystać permutacje do zliczania ilości liczb spełniających określone warunki.
W następnym przykładzie skorzystamy z reguły mnożenia.
Jeżeli wynik pewnego doświadczenia losowego zależy od kolejno podejmowanych decyzji, to liczba wszystkich różnych wyników tych decyzji jest równa
gdzie:
, – liczba możliwości wyboru przy podejmowaniu decyzji .
Obliczymy ile jest liczb pięciocyfrowych w których cyfry:
nie mogą się powtarzać,
mogą się powtarzać.
Rozwiązanie:
Liczbą pięciocyfrową można traktować jako pięciowyrazowy ciąg utworzony ze zbioru dziesięciu cyfr.
Wszystkich takich liczb jest więc:
Wśród rozważanych ciągów są też takie, które mają na początku .
Zatem wszystkich liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest
..
Chcąc utworzyć liczbę czterocyfrową, w której cyfry mogą się powtarzać, mamy sposobów wyboru cyfry jedności tysięcy (cyfrą jedności tysięcy nie może być zero). Na każdym z pozostałych miejsc może stać jedna z dziesięciu cyfr.
Korzystamy z reguły mnożeniareguły mnożenia i wyznaczmy liczbę liczb:
Odpowiedź:
Liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest , a o powtarzających się cyfrach jest .
W dwóch koszykach znajdują się karteczki, na których zapisane są cyfry.
W pierwszym koszyku są karteczki z cyframi , , . W drugim koszyku są karteczki z cyframi: , , , , .
Losujemy dwie karteczki z pierwszego koszyka i trzy z drugiego. Z wylosowanych cyfr układamy liczby pięciocyfrowe. Obliczymy, ile można utworzyć takich liczb.
Rozwiązanie:
Z pierwszego koszyka losujemy dwie cyfry spośród trzech (kolejność losowania nie ma znaczenia):
Z drugiego koszyka losujemy trzy cyfry spośród pięciu (kolejność losowania nie ma znaczenia):
Mamy teraz pięć karteczek na których zapisane są różne cyfry.
Mamy
możliwości utworzenia liczb pięciocyfrowych.
Korzystamy z reguły mnożeniareguły mnożenia i obliczamy ile jest wszystkich możliwości utworzenia liczb spełniających warunki zadania.
Odpowiedź:
Można utworzyć liczb spełniających warunki zadania.
Obliczymy, ile jest wszystkich liczb naturalnych dziewięciocyfrowych, w zapisie dziesiętnym których nie występuje zero, występują dokładnie trzy jedynki, dwie dwójki, a pozostałe cyfry nie mogą się powtarzać.
Rozwiązanie:
Najpierw wybieramy trzy miejsca spośród dziewięciu dla jedynek.
Dwie dwójki można ustawić na
miejscach.
Pozostały nam jeszcze
miejsca.
Na tych miejscach możemy rozmieścić pozostałych siedem cyfr (, , , , , , ) na
sposobów.
Zatem wszystkich liczb jest więc
.
Odpowiedź:
Jest liczb spełniających warunki zadania.
W ostatnim przykładzie pokażemy zastosowania wariacji z powtórzeniami do wyznaczania liczby liczb spełniających określone warunki.
Słownik
jeżeli wynik pewnego doświadczenia losowego zależy od kolejno podejmowanych decyzji, to liczba wszystkich różnych wyników tych decyzji jest równa
gdzie:
, – liczba możliwości wyboru przy podejmowaniu decyzji