Ustalmy dziedzinę funkcji: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{k}{3}\right\}$.

Rozwiążmy nierówność: $\frac{4-2x}{3x+k}<0\iff \left(4-2x\right)\left(3x+k\right)<0$.

Miejscami zerowymi trójmianu kwadratowego są: $x=2$ oraz $x=-\frac{k}{3}$.

Wykonajmy ilustrację graficzną nierówności, wykorzystując informację, że zbiór argumentów spełniających tę nierówność to $\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(2,\infty \right)$:

RhI9OIYn9h9eH

Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$, na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty: minus 1, dwa. Na rysunku przedstawiono ilustrację graficzną nierówności, której wykres biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności biegnie niemal pionowo w górę do punktu minus jeden. W punkcie minus jeden przebija nad oś, biegnie w górę, a następnie odbija w dół i biegnie do punktu dwa. W punkcie 2 przebija pod oś i biegnie niemal pionowo w dół do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział otwarty od minus nieskończoności do minus jeden, oraz przedział otwarty od dwóch do plus nieskończoności.

Zatem musi zachodzić równość: $-\frac{k}{3}=-1$

Stąd: $k=3$

Funkcja $f\left(x\right)=\frac{4-2x}{3x+k}$ przyjmuje wartości ujemne dla argumentów należących do zbioru $\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(2,\infty \right)$ dla $k=3$.

Dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Z warunków zadania wynika, że nierówność $\frac{2}{x}<-2x+a$ jest spełniona dla $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{1}{2},2\right)$.

Rozwiążmy nierówność:

$\frac{2}{x}<-2x+a|·x^2$

$2x<-2x^3+a{x}^2$

$2x^3-a{x}^2+2x<0$

$x\left(2x^2-ax+2\right)<0$

Aby ta nierówność była spełniona dla $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{1}{2},2\right)$, trójmian kwadratowy w nawiasie musi posiadać dwa miejsca zerowe równe $x=\frac{1}{2}$ oraz $x=2$.

Zatem spełnione muszą być warunki:

1. $\mathrm{\Delta }>0$

2. $x_1\cdot x_2=1$

3. $x_1+x_2=\frac{5}{2}$

RZgwG7sqU5JZr

Ilustracja przedstawia poziomą oś $X$, na której niezamalowanymi kółkami oznaczono następujące punkty od lewej: 0, 0,5, dwa. Na rysunku naniesiono wykres funkcji wielomianowej biegnący w następujący sposób: od minus nieskończoności do 0 wykres przyjmuje wartości ujemne i biegnie niemal pionowo w górę. W punkcie 0 przebija nad oś, gdzie początkowo biegnie w górę, następnie odbija w dół i biegnie do punktu 0,5; następnie w punkcie 0,5 wykres przebija pod oś i początkowo biegnie w dół, po czym odbija w górę i biegnie do punktu dwa. W punkcie dwa przebija nad oś i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Minusami zaznaczono przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli przedział otwarty od minus nieskończoności do zera, oraz przedział otwarty od 0,5 do dwóch.

$\mathrm{\Delta }=a^2-16>0$

$\left(a-4\right)\left(a+4\right)>0$

$a\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,\infty \right)$

$x_1+x_2=\frac{2}{2}=1$

$a\in \mathrm{ℝ}$

$\frac{a}{2}=\frac{5}{2}\iff a=5$

Wartości funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ są mniejsze od wartości funkcji $g\left(x\right)=-2x+a$ dla argumentów $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{1}{2},2\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=5$.

Warto także celem sprawdzenia poprawności obliczeń wykonać ilustrację graficzną zadania.

RHPO870hT5aCn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do ośmiu, oraz z pionową osią $Y$ od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f od x równej 2 podzielić na x, której wykresem jest hiperbola o gałęziach leżących w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, przechodzących przez punkty $\left(1;2\right)$, $\left(2;1\right)$, $\left(-2;-1\right)$, $\left(-1;-2\right)$. Na wykresie poprowadzono ukośną prostą, będącą wykresem funkcji g od x równa się minus 2 x dodać 5, która przechodzi przez punkt $\left(0;5\right)$, oraz przecina wykres funkcji dwukrotnie: w niezamalowanym punkcie $\left(2;1\right)$ oraz w niezamalowanym punkcie nawias jedna druga przecinek 4 zamknięcie nawiasu. Punkty te zrzutowano na oś X. Dodatkowo na osi X zaznaczono rozwiązanie, czyli otwarty przedział od minus nieskończoności do zera oraz otwarty przedział od jednej drugiej do dwóch.